Benutzer:Dirk Huenniger/quad

Sei $Q_{x}$ ein Quadrat der Seitenlänge $x$ und $K_{x}$ ein Kreis vom Durchmesser x. Die Differenz der Flächeninhalte ergibt sich zu:

$A(x)=x^{2}-{\frac {\pi }{4}}x^{2}=\left(1-{\frac {\pi }{4}}\right)\cdot x^{2}$

Das größtmögliche Quadrat, das man in einen Kreis einbeschreiben kann, hat den Durchmesser des Kreises $d$ als Diagonale. Seine Seitenlänge beträgt daher:

$s={\frac {1}{\sqrt {2}}}d$

Betrachtet man eine verschachtelte Figur aus einbeschieben Kreisen und Quadraten, so hat man

$A_{\mathrm {gesamt} }=\sum _{0}^{\infty }A\left(d\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{i}\right)=\sum _{0}^{\infty }d^{2}\left(1-{\frac {\pi }{4}}\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}$

Dies ist die geometrische Reihe. Demnach

$A_{\mathrm {gesamt} }=2d^{2}\left(1-{\frac {\pi }{4}}\right)$

Ein bisschen was zu geometrischen Reihe:

$\sum _{i=0}^{1}q^{i}=1+q={\frac {(1+q)(1-q)}{1-q}}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}$

Weiterhin ist

$\sum _{i=0}^{2}q^{i}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}+q^{2}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}+{\frac {q^{2}-q^{3}}{1-q}}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}$

Enstsprechend ist

$\sum _{i=0}^{n}q^{i}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}+{\frac {q^{2}-q^{3}}{1-q}}+...+{\frac {q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Nun wollen wir die Arithmetische Reihen berechnen.

$s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}i=?$

Sei n für unseren ersten Versuch eine gerade Zahl. Dann haben wir die Zahlen die Menge der Zahlen von 1 bis n-halbe.

$A=\{1,2,..,{\frac {n}{2}}\}$

Die Anzahl der Element von A ist n-halbe. Weiterhin haben wir die Menge der restlichen zu summierenden Zahlen:

$B=\{{\frac {n}{2}}+1,{\frac {n}{2}}+2,..,{\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}}\}$

Die Anzahl der Elemente von B ist ebenfalls n-halbe. Jetzt nehmen wir das erste Element von A und das letzte Element von B und zählen diese Zusammen.

$a_{1}=1+{\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}}=n+1$

Nun nehmen wir das zweite Element von A und das Vorletzte von B.

$a_{2}=2+{\frac {n}{2}}-1+{\frac {n}{2}}=n+1$

Es kommt wie man sich leicht überlegt immer n+1 dabei heraus. Da die Anzahl der Elemente in den Mengen je n-halbe beträgt haben wir.

$s_{n}={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

Damit ist die Aussage für alle geraden n bereits bewiesen. Es bleibt die Aussage für ungerade n zu zeigen. Für n gleich 1 ist die Aussage trivial. Für jedes weitere ungerade n gibt es die gerade Zahl n-1. Dafür ist die Aussage bereits bewiesen. Es ist

$s_{n}=s_{n-1}+n={\frac {(n-1)\cdot n}{2}}+{\frac {2\cdot n}{2}}={\frac {(n+1)n}{2}}$

Damit ist die Aussage für alle n gezeigt.