Benutzer:Dirk Huenniger/star

Wir betrachten einen Gasball im Weltraum indem überall die gleiche Temperatur herrscht. Die Annahme einer konstanten Temperatur ist wahrscheinlich zu grobe Vereinfachung. Andernfalls wären braune Zwerge eine mögliche Realisation des Modells.

Die allgemeine Gasgleichung lautet:

$p\cdot V=R\cdot T$

Aus der allgemeinen Gasgleichung folgt für konstante Temperatur, dass Druck und Dichte proportional sind.

$\rho =\kappa p$

Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet.

$F=G{\frac {mM}{r^{2}}}$

Hieraus folgt für die Änderung des Drucks mit der Radius :

${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}=G{\frac {M\kappa p}{r^{2}}}$ (1)

Für die Änderung der in eine Kugel enthaltenen Masse mit Radius gilt.

${\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} r}}=4\pi r^{2}\kappa p$

Hieraus folgt

${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} r}}={\frac {1}{4\pi \kappa r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} r^{2}}}-{\frac {2}{4\pi \kappa r^{3}}}{\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} r}}$

Einsetzen in (1) liefert:

${\frac {1}{4\pi \kappa r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} r^{2}}}-{\frac {2}{4\pi \kappa r^{3}}}{\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} r}}=G\kappa {\frac {M}{r^{2}}}+{\frac {1}{4\pi \kappa r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} r}}$

Die allgemeine Form dieser Differentialgleichung lautet:

$\alpha xf''+(\beta x+\gamma )f'+\lambda xf=0\;$

Diese Gleichung besitzt eine (wie das Computeralgebrasystem zeigt) komplizierte Lösung die jedoch im Unendlichen stärker als Exponentiell abfällt. Damit ist die Gesamtmasse auch bei unendlichem Radius endlich.