Benutzer:Dirk Huenniger/stetig

Die Aufgabe stammt aus Königsberger Analysis 2. Da ich hier eine Lösung angebe darf ich sie zitieren.

Wir betrachten zwei nicht leer offene Teilmengen A und B eines Metrischen Raumes X und wollen zweigen, das es offene disjunkte U und V von X gibt so das $A\subset U$ und $A\subset V$. Wir definieren $\phi :X\rightarrow \mathbb {R}$ durch:

$\phi (x)={\frac {d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}}$

Offenbar ist $\phi$ wegen der Stetigkeit von $d$ stetig. Ferner gilt

$\phi |A=0$

und

$\phi |B=1$

Das die Urbilder der Offenen Intervalle (-1,0.1) und (0.9,2) sind offen und enthalten A bzw B vollständig.