Hier geht es um Rechenmethoden der Physik.

Matizenrechnung

Einleitung

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, welche man üblicherweise in Runden Klammern aufschreibt:

Beispiele:

{\begin{aligned}\left({\begin{matrix}1&2\\3&4\\\end{matrix}}\right)&{\text{ }}&\left({\begin{matrix}1&1&1\\2&2&2\\\end{matrix}}\right)&{\text{ }}&\left({\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}

Matrizen kann man addieren sofern sie die beiden zu addierenden Matrixen in Spaltenzahl und Zeilenzahl übereinstimmen. Man addiert die Komponenten Weise. Die Zahl die oben Links in der Ergebnismatrix seht ist die Summe der Zahlen in den den Beiden zu summierenden Matrizen oben links stehen. Das selbe gibt für die Zahlen oben rechts, sowie oben links sowie für alle anderen Positionen. Es ist also fast das selbe wie die Vektoraddition die man aus der Schule kennt.

Beispiel:

\left({\begin{matrix}1&2\\3&4\\\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}6&8\\8&5\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}7&10\\11&9\\\end{matrix}}\right)

Man kann Matrizen auch multiplizieren. Die Regel ist hierfür Zeile mal Spalte. Zunächst einmal ein Beispiel:

\left({\begin{matrix}1&2\\3&4\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}6&8\\8&5\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}(1\cdot 6+2\cdot 8)&(1\cdot 8+2\cdot 5)\\(3\cdot 6+4\cdot 8)&(3\cdot 8+4\cdot 5)\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}22&18\\50&44\end{matrix}}\right)

Im Ergebnis steht oben links die Zahl 22. Diese ergibt sich nach der Rechnung $1\cdot 6+2\cdot 8$ . In der folgenden markierten Darstellung sind die entsprechenden Einträge hervorgehoben.

\left({\begin{matrix}\mathbf {1} &\mathbf {2} \\3&4\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}\mathbf {6} &8\\\mathbf {8} &5\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\mathbf {22} &18\\50&44\end{matrix}}\right)

Die erste Zeile der ersten Matrix ist $\left({\begin{matrix}1&2\end{matrix}}\right)$ . Die erste Spalte der zweiten Matrix ist. $\left({\begin{matrix}6\\8\end{matrix}}\right)$ . Um den Eintrag in der ersten Zeile und der ersten Spalte der neuen Matrix (also ${22}$ ) zu berechnen multipliziert also die erste Zeile der ersten Matrix mit der ersten Spalte der zweiten Matrix und das komponentenweise. Man nimte die erste Komponente aus der ersten Zeile der ersten Matrix (also ${1}$ ) und multipliziert sie mit der ersten Komponente der ersten Spalte (also ${6}$ ), das macht ${1}\cdot {6}={6}$ . Dann macht man das selbe für die jeweils zweiten Komponenten also ${2}\cdot {8}={16}$ . Schießlich bildet man die Summe also ${6}+{16}={22}$ . Genau so erhällt man dann auch die Ergebnisse in den anderen Zeilen und Spalten der Ergebnismatrix. Um zum Beispiel das Ergebnis in der ersten Zeile und zweiten Spalte der Ergebnismatrix zu erhalten multipliziert man die erste Zeile der ersten Matrix mit der ersten Spalte der zweiten Matrix. Dies ist in der folgenden Abbildung hervorgehoben.

\left({\begin{matrix}\mathbf {1} &\mathbf {2} \\3&4\\\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}6&\mathbf {8} \\8&\mathbf {5} \\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}22&\mathbf {18} \\50&44\end{matrix}}\right)

Die Rechnung lautet entsprechend $1\cdot 8+2\cdot 5=18$