Benutzer:Erzbischof/Stochastische Integration

Zusammenfassung des Projekts

• Zielgruppe:

Studenten, welche eine Verstaltung zu stochastischen Prozessen bereits besucht haben.

• Lernziele:

Die Definition des Itō-Integrals, Lokalisierung und Itō-Formel.

• Buchpatenschaft/Ansprechperson:

Benutzer:Erzbischof

• Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?

Ich muss mich erstmal in einfühlen und möchte nicht garantieren, dass dies keine Eintagsfliege wird. Rückmeldungen werden also begrüßt, inhaltliche Ergänzungen ebenfalls, wenn die Marschrichtung erstmal klar ist.

• Richtlinien für Co-Autoren:

• Projektumfang und Abgrenzung zu anderen Wikibooks:

Vorerst eher ein Heft, als ein Buch.

• Themenbeschreibung:

• Aufbau des Buches:

Gliederung siehe Inhaltsverzeichnis.

Einführung

Im Folgenden geht es darum, einen Integralbegriff – das Itō-Integral – für stochastische Prozesse $f(t,\omega )$ und $X(t,\omega )$ über eine geeignete Funktion $I_{t}$zu definieren

$I_{t}(f,X)=\int _{0}^{t}f(s,\omega )dX_{s}(\omega ).$

Im einfachsten Fall handelt es sich bei $(X_{t})=(X_{t}(\omega ))$ um eine Brownschen Bewegung $(B_{t})=(B_{t}(\omega ))$ und bei $f$ um Funktional $f(t,\omega )=f(B_{t}(\omega ))$, das zu definierende Integral hätte dann die Gestalt

$I_{t}(f,B)=\int _{0}^{t}f(B_{s})dB_{s}.$

Auf diesen Fall stößt man auf ganz natürliche Weise, wenn man versucht, eine Verallgemeinerung der Brownschen Bewegung $Y_{t}$ zu definieren, bei der die Stärke der Streuung $\sigma (y)$ vom Ort $y$ des Teilchens abhängig ist. Man modelliert

$Y_{t+h}-Y_{t}\approx \sigma (Y_{t})(B_{t+h}-B_{t})$

und ein symbolischer Grenzübergang für $h\rightarrow 0$ führt zu

$dY_{t}=\sigma (Y_{t})dB_{t},\quad t\geq 0.$

Die Pfade der Brownschen Bewegung sind stetig, aber, wie P. Lévy gezeigt hat, nicht differenzierbar und daher hat $dB$ keine Interpretation im Sinne der klassischen Integralrechnung.

$\int _{0}^{t}B_{s}df(s,\omega )$.

Erstes Ziel ist also eine Funktion $I_{t}(f,X)(\omega )$ zu definieren, welche mit gutem Gewissen ein Integral genannt werden kann, welche also im Integranden und Integrator linear ist und folgende Eigenschaften des Stieljes-Integrals konserviert:

Requisiten

Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$ versehen mit einer Filtrierung $({\mathfrak {F}}_{t})_{t\geq 0}$ und einer an diese adaptierten reellen stetigen Brownschen Bewegung (Standard-Wiener-Prozess) $(B_{t})_{t\geq 0}$. Das heißt $(B_{t})_{t\geq 0}$ hat Werte in ${\mathfrak {\mathbb {R} }}$, startet $\mathbb {P}$-fast sicher in 0 und erfüllt für $0\leq s<t$:

$B_{t}-B_{s}$ ist unabhängig von ${\mathfrak {F}}_{s}$ und ist $N(0,t-s)$-verteilt.

Für die Existenz eines solchen Prozesses und die Definition eines Wahrscheinlichkeitsraumes, der reichhaltig genug ist, wird auf externe Literatur verwiesen, zum Beispiel ...