Benutzer:Gunther~dewikibooks/Fermat

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von · Primzahlsatz


Großer Satz von Fermat[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Für eine natürliche Zahl hat die Gleichung

keine Lösungen in natürlichen Zahlen . (Die Null sei hierbei nicht als natürliche Zahl angesehen.)

Vorbemerkungen[Bearbeiten]

Alle Beweise erfolgen indirekt, d.h. sie nehmen die Existenz einer Lösung an und führen diese Annahme zu einem Widerspruch.

Sind zwei der Zahlen nicht teilerfremd, ist also sowohl Teiler von als auch Teiler von , so ist Teiler von , also ist Teiler von . Ersetzt man nun durch erhält man eine neue Lösung mit kleineren Zahlen. (Entsprechendes gilt, wenn und oder und nicht teilerfremd sind.) Es genügt also, zu zeigen, dass die Gleichung keine nichttrivialen Lösungen mit paarweise teilerfremden Zahlen besitzt.

Beweis für n = 3[Bearbeiten]

Es sei . Diese (komplexe) Zahl erfüllt die Gleichung . Die Menge bildet einen Ring . Er ist ein Hauptidealring.

Beweis für n = 4[Bearbeiten]

Wir beweisen die stärkere Aussage: Die Gleichung

hat keine Lösungen in natürlichen Zahlen. Jede Lösung der ursprünglichen Gleichung würde mit eine Lösung dieser Gleichung liefern.

Wir nehmen an, es gäbe eine Lösung, und wählen eine Lösung, bei der den kleinstmöglichen Wert besitzt. Wir können die Gleichung umschreiben in der Form

mit .

Gemäß der Theorie der pythagoräischen Zahlentripel gibt es natürliche Zahlen , so dass gilt:

(Eventuell muss man dafür und vertauschen, aber das macht keinen wesentlichen Unterschied.)

Die erste Gleichung kann zu

umgeformt werden, und auch das pythagoräische Zahlentripel muss primitiv sein, also gibt es teilerfremde Zahlen mit

(Da ungerade ist, können und hier nicht vertauscht sein.)

Setzt man diese Ausdrücke in ein, erhält man

Da die Zahlen , und paarweise teilerfremd sind und ihr Produkt eine Quadratzahl ist, müssen sie jeweils selbst eine Quadratzahl sein, d.h.

mit geeigneten Zahlen . Setzt man das in die Aussage ein, dass eine Quadratzahl ist, so heißt das, dass es eine Zahl gibt, so dass

gilt, d.h. ist eine Lösung der Gleichung . Da jedoch

gilt, widerspricht das der Bedingung, dass die ursprüngliche Lösung so gewählt wurde, dass den minimalen Wert besitzt.

Also gibt es keine Lösungen.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Großer fermatscher Satz · Kongruenzen · Pythagoräische Zahlentripel


Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von · Primzahlsatz