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Beweisarchiv: Zahlentheorie

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Großer Satz von Fermat

Aussage

Für eine natürliche Zahl $n>2$ hat die Gleichung

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$

keine Lösungen in natürlichen Zahlen $a,b,c$. (Die Null sei hierbei nicht als natürliche Zahl angesehen.)

Vorbemerkungen

Alle Beweise erfolgen indirekt, d.h. sie nehmen die Existenz einer Lösung an und führen diese Annahme zu einem Widerspruch.

Sind zwei der Zahlen nicht teilerfremd, ist also $t>1$ sowohl Teiler von $a$ als auch Teiler von $b$, so ist $t^{n}$ Teiler von $a^{n}+b^{n}=c^{n}$, also ist $t$ Teiler von $c$. Ersetzt man nun $a,b,c$ durch $a/t,b/t,c/t$ erhält man eine neue Lösung mit kleineren Zahlen. (Entsprechendes gilt, wenn $a$ und $c$ oder $b$ und $c$ nicht teilerfremd sind.) Es genügt also, zu zeigen, dass die Gleichung keine nichttrivialen Lösungen mit paarweise teilerfremden Zahlen $a,b,c$ besitzt.

Beweis für n = 3

Es sei $\omega ={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$. Diese (komplexe) Zahl erfüllt die Gleichung $\omega ^{2}+\omega +1=0$. Die Menge $\{a+b\omega \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ bildet einen Ring $\mathbb {Z} [\omega ]$. Er ist ein Hauptidealring.

Beweis für n = 4

Wir beweisen die stärkere Aussage: Die Gleichung

$a^{4}+b^{4}=C^{2}\qquad (*)$

hat keine Lösungen in natürlichen Zahlen. Jede Lösung der ursprünglichen Gleichung würde mit $C=c^{2}$ eine Lösung dieser Gleichung liefern.

Wir nehmen an, es gäbe eine Lösung, und wählen eine Lösung, bei der $C$ den kleinstmöglichen Wert besitzt. Wir können die Gleichung umschreiben in der Form

$A^{2}+B^{2}=C^{2}$ mit $A=a^{2},B=b^{2}$.

Gemäß der Theorie der pythagoräischen Zahlentripel gibt es natürliche Zahlen $u,v$, so dass gilt:

$A=u^{2}-v^{2},\quad B=2uv,\quad C=u^{2}+v^{2}$

(Eventuell muss man dafür $A$ und $B$ vertauschen, aber das macht keinen wesentlichen Unterschied.)

Die erste Gleichung kann zu

$a^{2}+v^{2}=u^{2}$

umgeformt werden, und auch das pythagoräische Zahlentripel $(a,v,u)$ muss primitiv sein, also gibt es teilerfremde Zahlen $x,y$ mit

$a=x^{2}-y^{2},\quad v=2xy,\quad u=x^{2}+y^{2}.$

(Da $a$ ungerade ist, können $a$ und $v$ hier nicht vertauscht sein.)

Setzt man diese Ausdrücke in $B=2uv$ ein, erhält man

$b^{2}=2\cdot (x^{2}+y^{2})\cdot 2xy=4xy(x^{2}+y^{2}).$

Da die Zahlen $x$, $y$ und $x^{2}+y^{2}$ paarweise teilerfremd sind und ihr Produkt eine Quadratzahl ist, müssen sie jeweils selbst eine Quadratzahl sein, d.h.

$x={\tilde {a}}^{2},\quad y={\tilde {b}}^{2}$

mit geeigneten Zahlen ${\tilde {a}},{\tilde {b}}$. Setzt man das in die Aussage ein, dass $x^{2}+y^{2}$ eine Quadratzahl ist, so heißt das, dass es eine Zahl ${\tilde {C}}$ gibt, so dass

${\tilde {a}}^{4}+{\tilde {b}}^{4}={\tilde {C}}^{2}$

gilt, d.h. $({\tilde {a}},{\tilde {b}},{\tilde {C}})$ ist eine Lösung der Gleichung $(*)$. Da jedoch

${\tilde {C}}\leq {\tilde {C}}^{2}=x^{2}+y^{2}<4xy(x^{2}+y^{2})=b^{2}<C$

gilt, widerspricht das der Bedingung, dass die ursprüngliche Lösung $(a,b,C)$ so gewählt wurde, dass $C$ den minimalen Wert besitzt.

Also gibt es keine Lösungen.

Wikipedia-Verweise

Großer fermatscher Satz · Kongruenzen · Pythagoräische Zahlentripel

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