Benutzer:Konrad Rind/ Spielwiese

Konrad Rind 10:36, 1. Jun. 2015 (CEST)

Das Dilemma der grischischen Mathematik

Schon die alten Griechen machten sich die Überlegung, ob die Diagonale eines Quadrates mit einer Kantenlänge von 1 (z.B. einem Meter) durch eine rationale Zahl ${\frac {p}{q}}$ dargestellt werden kann $p,q\in \mathbb {N} .$

Laut Pythagoras $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ist die Lösung also: $c={\sqrt[{\,}]{2}}.$

Betrachten wir nun die Gleichung:

${\sqrt[{\,}]{2}}={\frac {p}{q}}$

Wichtig hierbei ist, dass $p$ und $q$ teilerfremd sind, das also der Bruch nicht weiter gekürzt werden kann. Durch aufquadrieren und etwas umformen erhalten wir

$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}\Rightarrow p^{2}=2q^{2}$

$p^{2}$ muss also das Doppelte von $q^{2}$ und ist somit eine gerade Zahl sein,allgemein darstellbar als $2k.$

Mithilfe von Primfaktorzerlegungen kannst du erkennen dass eine geade Zahl potenziert $g^{n}$ immer eine gerade Zahl und eine ungerade Zahl $u^{n}$ immer eine ungerade ergibt. Wenn $p^{2}$ eine gerade Zahl ist, so muss auch $p$ gerade sein. Nun können wir $p=2k$ einsetzen und erhalten

$(2k)^{2}=2q^{2}\Rightarrow 4k^{2}=2q^{2}\Rightarrow 2k^{2}=q^{2}.$

Kannst du bereits erkennen, wo das Problem liegt?

Da $q^{2}$ gerade ist, muss auch $q$ gerade sein. Somit kann der Bruch ${\frac {p}{q}}$ im Zähler und im Nenner durch 2 gekürzen werden und ist nicht teilerfremd.