Dies ist der Anfang über den Laplac'schen Entwicklungssatzes
Bei der Berechnung von Determinanten über quadratische Matrizen stößt man schnell an Grenzen der manuellen Berechnbarkeit. Wenn eine Matrix mit vielen Nullen vorliegt kann man den Laplac'schen Entwicklungssatz anwenden. Denn
det
A
=
{\displaystyle \det A=}
(
+
−
+
−
−
+
−
+
+
−
+
−
−
+
−
+
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-&+&-\\-&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+\end{pmatrix}}}
det
(
1
2
5
−
2
0
8
0
0
9
1
−
5
−
3
0
−
3
2
0
)
=
+
8
⋅
det
(
1
5
−
2
9
−
5
−
3
0
2
0
)
=
−
2
⋅
(
+
8
)
⋅
det
(
5
−
2
−
5
−
3
)
=
−
2
⋅
8
⋅
(
5
⋅
(
−
3
)
−
(
−
5
)
⋅
(
−
2
)
)
=
400
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&2&5&-2\\0&8&0&0\\9&1&-5&-3\\0&-3&2&0\end{pmatrix}}=+8\cdot \det {\begin{pmatrix}1&5&-2\\9&-5&-3\\0&2&0\end{pmatrix}}=-2\cdot (+8)\cdot \det {\begin{pmatrix}5&-2\\-5&-3\end{pmatrix}}=-2\cdot 8\cdot (5\cdot (-3)-(-5)\cdot (-2))=400}
|
0
1
6
−
2
0
0
−
7
2
4
−
5
0
9
0
0
0
2
5
0
4
−
9
0
2
1
3
0
−
8
3
5
7
0
0
−
1
9
−
4
0
0
|
=
−
2
⋅
|
0
1
6
0
0
−
7
2
4
0
9
4
−
9
0
1
3
0
−
8
3
7
0
0
−
1
9
0
0
|
+
5
⋅
|
0
1
6
−
2
0
−
7
2
4
−
5
9
4
−
9
0
2
3
0
−
8
3
5
0
0
−
1
9
−
4
0
|
=
{\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&6&-2&0&0\\-7&2&4&-5&0&9\\0&0&0&2&5&0\\4&-9&0&2&1&3\\0&-8&3&5&7&0\\0&-1&9&-4&0&0\end{vmatrix}}=-2\cdot {\begin{vmatrix}0&1&6&0&0\\-7&2&4&0&9\\4&-9&0&1&3\\0&-8&3&7&0\\0&-1&9&0&0\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}0&1&6&-2&0\\-7&2&4&-5&9\\4&-9&0&2&3\\0&-8&3&5&0\\0&-1&9&-4&0\end{vmatrix}}=}
−
2
⋅
(
−
9
⋅
|
0
1
6
0
4
−
9
0
1
0
−
8
3
7
0
−
1
9
0
|
+
3
⋅
|
0
1
6
0
−
7
2
4
0
0
−
8
3
7
0
−
1
9
0
|
)
+
5
(
−
(
−
7
)
⋅
|
1
6
−
2
0
−
9
0
2
3
−
8
3
5
0
−
1
9
−
4
0
|
+
4
⋅
|
1
6
−
2
0
2
4
−
5
9
−
8
3
5
0
−
1
9
−
4
0
|
)
=
{\displaystyle -2\cdot \left(-9\cdot {\begin{vmatrix}0&1&6&0\\4&-9&0&1\\0&-8&3&7\\0&-1&9&0\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}0&1&6&0\\-7&2&4&0\\0&-8&3&7\\0&-1&9&0\end{vmatrix}}\right)+5\left(-(-7)\cdot {\begin{vmatrix}1&6&-2&0\\-9&0&2&3\\-8&3&5&0\\-1&9&-4&0\end{vmatrix}}+4\cdot {\begin{vmatrix}1&6&-2&0\\2&4&-5&9\\-8&3&5&0\\-1&9&-4&0\end{vmatrix}}\right)=}
−
2
⋅
(
−
9
⋅
(
−
4
)
⋅
|
1
6
0
−
8
3
7
−
1
9
0
|
+
3
⋅
(
−
(
−
7
)
)
⋅
|
1
6
0
−
8
3
7
−
1
9
0
|
)
+
5
(
7
⋅
3
⋅
|
1
6
−
2
−
8
3
5
−
1
9
−
4
|
+
4
⋅
9
⋅
|
1
6
−
2
−
8
3
5
−
1
9
−
4
|
)
=
{\displaystyle -2\cdot \left(-9\cdot (-4)\cdot {\begin{vmatrix}1&6&0\\-8&3&7\\-1&9&0\end{vmatrix}}+3\cdot (-(-7))\cdot {\begin{vmatrix}1&6&0\\-8&3&7\\-1&9&0\end{vmatrix}}\right)+5\left(7\cdot 3\cdot {\begin{vmatrix}1&6&-2\\-8&3&5\\-1&9&-4\end{vmatrix}}+4\cdot 9\cdot {\begin{vmatrix}1&6&-2\\-8&3&5\\-1&9&-4\end{vmatrix}}\right)=}
−
2
⋅
(
36
⋅
(
−
7
)
⋅
|
1
6
−
1
9
|
+
21
⋅
(
−
7
)
⋅
|
1
6
−
1
9
|
)
+
5
⋅
(
21
⋅
−
141
+
36
⋅
−
141
)
=
−
2
⋅
(
−
252
⋅
15
−
147
⋅
15
)
+
5
⋅
(
−
8037
)
=
−
28215
{\displaystyle -2\cdot \left(36\cdot (-7)\cdot {\begin{vmatrix}1&6\\-1&9\end{vmatrix}}+21\cdot (-7)\cdot {\begin{vmatrix}1&6\\-1&9\end{vmatrix}}\right)+5\cdot (21\cdot -141+36\cdot -141)=-2\cdot (-252\cdot 15-147\cdot 15)+5\cdot (-8037)=-28215}
