Benutzer:Mingliaozi/ Spielwiese

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Limes Superior und Limes Inferior[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Limes Superior und Limes Inferior (ab jetzt lim sup und lim inf)heißt auf gut Deutsch nichts anderes als größter beziehungsweiße kleinster Häufungspunkt einer Folge. Erstmal lässt sich darüber besser eine Folge charakterisieren. Wir werden später ein Lemma beweisen welches besagt das "außerhalb" von lim sup und lim inf nur endliche viele Folgeglieder liegen. Später dazu mehr. Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass lim sup und lim inf einer Folge immer exsistieren. Beim gewöhnlichen Limes muss das nicht immer der Fall sein.

Definition[Bearbeiten]

Der Limes Superior einer Folge ist der größter Häufungspunkt einer Folge in . Wir schreiben dafür . Der Limes Inferior einer Folge ist der kleinste Häufungspunkt einer Folge in .Wir schreiben dafür . Als Übung bietet es sich an folgende, nützliche Identität zu beweisen: Eine Folge konvergiert geau dann wenn gilt:

Wie kommt man auf den Beweis? (Tipps zum Beweis)

Die Aussage erstmal anschaulich auf dem Papier veranschaulichen. Widerspruchbeweis bietet sich bei der einen Richtung an. Bei Schwierigkeiten in die Defintionen schauen!

Beispiel (Ein etwas schwieriges Beispiel)

Für die Knobler unter euch ;)