Benutzer:NavidRoux/Sandkasten
Ausblick: Cauchy-Folgen in metrischen Räumen
[Bearbeiten]Bisher haben wir Cauchy-Folgen in den reellen Zahlen betrachtet. Die wesentliche Eigenschaft ist die, dass die der Abstand der Folgenglieder untereinander im Unendlichen beliebig klein wird. Der Abstand der Folgenglieder und wird dabei durch wiedergegeben. Nun gibt es in der Mathematik auch andere Möglichkeiten, den Abstand zwischen zwei Objekten zu bestimmen. So könnte man den Abstand zweier Punkte auf einer Karte die kürzeste Strecke sein, mit der man diese Punkte mit dem Auto erreichen kann. Dies muss nicht umbedingt gleich der Luftlin
Nun will ich dir einen kleinen Ausblick geben, wie wir die Konzepte von oben weiter verallgemeinern werden. Genauer wirst du das dann im Kapitel Analysis II sehen.
Du hast gesehen, dass Cauchyfolgen und Grenzwerte (Konvergenz) alle definiert wurden, indem wir eine Aussage über den Abstand zwischen reellen Zahlen getroffen haben. Bei Cauchyfolgen war das der Abstand zwischen beliebigen Folgengliedern ab einer Grenze N: |a_n - a_m| < \vareps. Bei Grenzwerten war das zwischen einem Folgenglied und dem Grenzwert: |a_n - a| < \vareps. Diese Abstände hast du in den Aufgaben jeweils beliebig klein werden lassen, um auszudrücken, dass sich die Folgenglieder "nähern", vielleicht sogar konvergieren.
Stell dir nun vor, ich gebe dir nacheinander Punkte im dreidimensionalen Raum (R^3). Zuerst (0, 0, 0), dann (1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 0, 0), (3.14, 0, 0), (3.141, 0, 0).
Was tippst du, was "herauskommt", wenn ich dir unendlich oft mehr Punkte gebe?
Genau, (pi, 0, 0).
Statt reller Zahlen habe ich dir Objekte aus einem anderen Raum gegeben, nämlich dem R^3. Du merkst, dass es auch sinnvoll wäre, bei Folgen von dreidimensionalen Punkten von Konvergenz zu reden. Intuitiv hast du bereits die Konvergenz vermuten können, aber warum? Weil du gesehen hast, dass der Abstand zwischen den Vektoren immer kleiner wurde.
Wir brauchen also zwei Dinge: ein X und ein d: (X, d)
* eine Menge X von Objekten, über die wir reden möchten. Zum Beispiel X = R oder X = R^3 wie im Beispiel eben. * ein Konzept des Abstands zwischen zwischen Objekten aus X, formal: eine Funktion d(istance): X \times X -> R. Im Fall X = R hast du bisher immer |a - b| als Abstand zwischen a, b \in R genommen.
Fällt dir eine Abstandsfunktion (auch "Metrik") für den Fall X = R^3 von oben ein? Wie könntest du den Abstand zwischen (3.14, 0, 0) und (3.141, 0, 0) im Dreidimensionalen messen?
d(a, b) = ||a - b||_2
Wir möchten nun den Begriff der Konvergenz auf X = R^3 mit dieser Metrik erweitern. Erinnere dich an die bisherige Definition: forall eps ex. N forall n >= N. |x_n - x| < eps. Eigentlich können wir alles behalten bis auf die Abstandsmessung |x_n - x|. Diese nimmt gerade an, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten. (|.| haben wir für Vektoren erst einmal nicht definiert.). Wir ersetzen das also durch unsere Metrik:
forall eps ex. N forall n >= N. d(x_n, x) < eps
Das ist die allgemeine Definition der Konvergenz in einem metrischen Raum (X, d).
Aufgabe: versuche selbst, die Definition der Cauchy-Folgen anzupassen. Lösung: forall eps ex. N forall n, m >= N. d(x_n, x_m) < eps
Weißt du noch, wie oft wir die Dreiecksungleichung in Beweisen benutzt haben? Sehr oft. Ruf dir z. B. den Beweis von "Konvergenz => Cauchy-Folge" in Erinnerung (https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Cauchy-Folgen_und_das_Cauchy-Kriterium#Jede_konvergente_Folge_ist_eine_Cauchy-Folge). Statt |a-b| jeweils d(a, b). Ohne weitere Anforderungen an d wirst du nicht weiterkommen. Um die wichtigsten Resultate zu erhalten, stellt man deswegen weitere Anforderungen an die Metrik - pos. Definitheit, Symmetrie, Dreiecksungleichung
Fehlt:
- R kann bzgl. anderer Metrik auch unvollständig sein (phi(x) = x/(1+|x|)).
- Bolzano-Weierstraß gilt nur bei endl.-dim. Vektorräumen. Beschränktheit braucht sowieso Normdefinition
- Bild mit 3D Punkten wäre recht anschaulich
- Bild mit Funktionenfolge, welche Funktion? Aber vermutlich Metrik auslassen -> zu kompliziert für einen Ausblick