Benutzer:Philipendula/SpielwieseLück

$\chi ^{2}$-Tests

Unabhängigkeitstest

Der Unabhängigkeitstest, auch Kontingenztest genannt, prüft, ob zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind. Wie schon die letztere Bezeichnung andeutet, verwenden wir hierfür eine Kontingenztabelle. Dieser Test wird im Allgemeinen in einem Atemzug mit dem Anpassungstest verwendet, denn die Vorgehensweise ist ähnlich - wir vergleichen auch hier die beobachteten Häufigkeiten mit den erwarteten und erhalten daraus eine $\chi ^{2}$-verteilte Prüfgröße.

Beispiel: Kreditwürdigkeitsprüfung

Hängt Kreditwürdigkeit eines Darlehensnehmers von der Art der Wohnung ab?

Im Rahmen einer Studie zur Kreditwürdigkeit wurden die Daten eines Kreditinstituts ausgewertet. Man untersuchte unter anderem, ob die Zahlungsmoral des Kunden davon abhängt, ob er ein Wohnungseigentum oder eine gemietete Wohnung hat, oder ob er kostenlos wohnt. Es ergab sich die Tabelle

${\begin{array}{|cc|cccc|c|}\hline &&&{\text{Eigentum }}WE&{\text{gemietet }}WM&{\text{kostenlos }}WK&{\text{Summe }}D\\&j&k&1&2&3&\\\hline {\text{nicht kreditwürdig }}D0&1&&80&180&40&300\\{\text{kreditwürdig }}D1&2&&100&540&60&700\\\hline {\text{Summe }}W&&&180&720&100&1000\\\hline \end{array}}$

in Anteilen ausgedrückt

${\begin{array}{|cc|cccc|c|}\hline &&&{\text{Eigentum}}&{\text{gemietet}}&{\text{kostenlos}}&{\text{Summe}}\\&j&k&1&2&3&\\\hline {\text{nicht kreditwürdig}}&1&&0,08&0,18&0,04&0,30\\{\text{kreditwürdig}}&2&&0,10&0,54&0,06&0,70\\\hline {\text{Summe}}&&&0,18&0,72&0,10&1\\\hline \end{array}}$

Wir können nun die verschiedenen Eigenschaften als Ereignisse definieren:

$D0$: Kunde ist nicht kreditwürdig

$D1$: Kunde ist kreditwürdig

wobei natürlich $D0={\overline {D1}}$ gilt.

$WE$: Der Kunde besitzt die Wohnung

$WM$: Der Kunde hat die Wohnung gemietet

$WK$: Der Kunde kann die Wohnung kostenlos nutzen

Wir interessieren uns für die Frage, ob möglicherweise die Zahlungsmoral eines Kunden von seiner Wohnsituation abhängt. Wir testen also die Hypothese:

$H_{0}$: Wohnsituation und Kreditwürdigkeit sind stochastisch unabhängig.

bzw.

$H_{0}$: Die Ereignisse $D0$, $D1$ und $WE$, $WM$, $WK$ sind stochastisch unabhängig.

Wenn diese Hypothese abgelehnt wird, kann man möglicherweise von der Wohnsituation auf die Kreditwürdigkeit des Kunden schließen.

Sehen wir uns nun die Konzeption des Testes an:

Es gilt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung das Gesetz: Sind die Ereignisse $D0$ und $WE$ stochastisch unabhängig, gilt

$P(D0\cap WE)=P(D0)\cdot P(WE)$.

Sind also $D0$ und $WE$ tatsächlich unabhängig, müsste in der Stichprobe der Anteil der Personen, die nicht kreditwürdig sind und Wohneigentum besitzen, ungefähr bei

liegen. $P_{D0;WE}$ ist der erwartete Anteil, falls $D0$ und $WE$ stochastisch unabhängig sind. Dann vergleichen wir den beobachteten Anteil der Nichtkreditwürdigen mit Wohneigentum mit dem hypothetischen $P_{D0;WELB}$, und ebenso die restlichen Ereignisse. Sind die Differenzen zu groß, lehnen wir die Hypothese ab.

Um eine $\chi ^{2}$-verteilte Prüfgröße zu erhalten, nehmen wir aber nicht die Anteile, sondern die absoluten Häufigkeiten. Weiter oben haben wir die beobachteten Häufigkeiten schon gegeben. Nun ermitteln wir noch die erwarteten Häufigkeiten:

Wir multiplizieren zunächst die Randsummen miteinander:

\\${\begin{array}{|ccc|c|c|c|c|}\hline {\text{Spaltensumme}}&&&\qquad {\text{Eigentum}}\qquad &\qquad {\text{gemietet}}\qquad &\qquad {\text{kostenlos}}\qquad &\qquad {\text{Summe}}\qquad \\{\text{* Zeilensumme}}&j&k&1&2&3&\\\hline {\text{nicht kreditwürdig}}&1&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\\hline {\text{kreditwürdig}}&2&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\\hline {\text{Summe}}&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}}$

Wir sehen schon den riesigen Zahlen der Tabelle an, dass die Vergleichbarkeit mit den beobachteten Häufigkeiten von der Größenordnung her nicht gegeben ist. Wir müssen also die obigen Produkte noch durch $n$ teilen und erhalten dann die Tabelle der erwarteten Häufigkeiten $E_{jk}$, z.B.

${\begin{array}{|cc|cccc|c|}\hline {\text{erwartete}}&&&\qquad {\text{Eigentum}}\qquad &\qquad {\text{gemietet}}\qquad &\qquad {\text{kostenlos}}\qquad &\qquad {\text{Summe}}\qquad \\{\text{Häufigkeiten }}E_{jk}&j&k&1&2&3&\\\hline {\text{nicht kreditwürdig}}&1&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\\hline {\text{kreditwürdig}}&2&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\\hline {\text{Summe}}&&&&&&\\&&&&&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}}$

Jetzt können wir die Prüfgröße y konkret berechnen. Wir bilden wieder quadrierte Differenzen zwischen beobachteter und erwarteter Häufigkeit und teilen die Quadrate noch durch die erwarteten Häufigkeiten. Wir erhalten damit den Stichprobenwert

Der kritische Wert für die Ablehnung ist das $(1-\alpha )$-Quantil der $\chi ^{2}$-Verteilung mit $(m-1)\cdot (r-1)$ Freiheitsgraden, wobei $m$ die Zahl der Zeilen und $r$ die Zahl der Spalten der Kontingenztabelle darstellt. Das wäre in unserem Fall

Unser Stichprobenwert ist größer als 4,61. Wir lehnen also $H_{0}$ ab. Tatsächlich scheint sich die Wohnsituation auf die Kreditwürdigkeit auszuwirken.

Vor allem haben die Werte 12,52, 6 und 5,37 stark zu $y$ beigetragen. Bei 12,52 ist der tatsächliche Anteil größer als der erwartete. Die Wahrscheinlichkeit, bei Wohneigentum zu scheitern, ist also deutlich größer. Dagegen scheint Zahlungsunfähigkeit bei Mietern eher seltener aufzutreten (6). Ebenso sind dann auch Mieter eher kreditwürdig (5,37).

Nun wollen wir die Vorgehensweise allgemein gültig formulieren.

Test auf Unabhängigkeit zweier Variablen:

Gegeben ist eine Kontingenztabelle mit $m$ vielen Ereignissen $j(j=1,\ldots ,m)$ in den Zeilen und $r$vielen Ereignissen $k(k=1,\ldots ,r)$ in den Spalten. Die Elemente der Kontigenztabelle sind die beobachteten gemeinsamen Häufigkeiten $n_{jk}$ und die jeweiligen Randhäufigkeiten $n_{k}$ bzw. $n_{j}$. Zu jeder beobachteten Häufigkeit $n_{jk}$ wird die erwartete Häufigkeit

$E_{jk}={\frac {n_{j}\cdot n_{k}}{n}}$

gebildet. Die Prüfgröße der Realisation

$y=\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(n_{jk}-E_{jk})^{2}}{E_{jk}}}$

ist näherungsweise $\chi ^{2}$-verteilt mit $(m-1)(r-1)$ Freiheitsgraden\.

Wenn $y>\chi ^{2}(1-\alpha ;(m-1)(r-1))$ ist, wird die Hypothese abgelehnt.

Dieser Test kann für Daten aller Skalenniveaus verwendet werden. Bei einem stetigen Merkmal müssen wieder analog zum Verteilungstest Klassen gebildet werden, deren Häufigkeiten in die Tabelle eingehen. Für die verlangten Mindestwerte der erwarteten Häufigkeiten verwenden wir die Faustregel des Verteilungstests.