Benutzer:Qniemiec/Baustelle

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Das Cardanische Verfahren im allgemeinen[Bearbeiten]

Gesetzt den Fall, die Ausgangsgleichung dritten Grades besitzt die allgemeine Form

kann diese zunächst per Division durch A in die Normalform

und diese anschließend noch einmal durch Substitution

in die reduzierte Normalform

überführt werden, in der die beiden Parameter p und q folgende Werte haben:

    und    

Ein für den weiteren Fortgang der Rechnung entscheidender Wert schließlich ist die sich aus p und q errechnende „Diskriminante“ der reduzierten Normalform

For the cubic equation x³+bx²+cx+d=0 with three real roots, the roots are the projection on the x-axis of the vertices A, B, and C of an equilateral triangle. The center of the triangle has the same abscissa as the inflection point.

Ist Δ positiv, was einem über den gesamten Definitionsbereich streng monoton steigenden Kurvenverlauf mit lediglich einer reellen und/oder außerdem zwei komplexen Nullstellen entspricht, errechnet sich diese reelle Nullstelle der reduzierten Normalform als Summe

aus der sich schließlich durch Resubstitution die Lösung der Normalform der kubischen Ausgangsgleichung

beziehungsweise

ergibt.

Im Fall des sogen. Casus irreducibilis dagegen, der einem Kurvenverlauf mit drei reellen Nullstellen entspricht, ist Δ negativ und die drei Nullstellen errechnen sich, anders als zuvor, wie folgt:

    und    
[1]

Herleitungen[Bearbeiten]

Herleitung [H3O+](c0)[Bearbeiten]

Für den Zusammenhang zwischen Ausgangskonzentration c0 und Oxoniumionen-Konzentration [H3O+] einer Säure ergibt sich unter Einbeziehung der Stoffmengen- und Ladungsbilanz zunächst einmal die nachstehende Gleichung dritten Grades

beziehungsweise

deren Umstellung nach der Oxoniumionen-Konzentration [H3O+] eine Möglichkeit liefern sollte, diese nicht nur mit Hilfe von Näherungsformeln schätzen, sondern exakt aus der jeweiligen Ausgangskonzentration c0 berechnen zu können. Das jedoch macht, da es sich bei vorstehender Gleichung um ein Polynom dritten Grades handelt, den Einsatz der cardanischen Formeln und ggf. auch den Rückgriff auf komplexe Zahlen nötig.

Das Umstellen nach der Ausgangskonzentration c0 dagegen liefert problemlos die unecht gebrochenrationale Funktion

sowie deren erste und zweite Ableitung

,

die erkennen lassen, dass es sich bei c0([H3O+]) um eine für positive Oxoniumionen-Konzentrationen [H3O+] streng monoton steigende Funktion mit einem Wendepunkt bei

handelt, die Funktion c0([H3O+]) also auch nur für positive Oxoniumionen-Konzentrationen [H3O+] umkehrbar wäre, mit dem Ergebnis der eigentlich gesuchten Funktion [H3O+](c0).

Für negative Oxoniumionen-Konzentrationen [H3O+] dagegen, deshalb hier zunächst einmal nur von mathematischem Interesse, weist c0([H3O+]) ein Extremum auf, wegen des stets positiven Vorzeichens von c0"([H3O+]) in diesem Bereich genauer gesagt ein Minimum, dessen Lage mit Hilfe der Zählerfunktion und og. cardanischer Formeln bestimmt werden kann.

Ausgangspunkt ist die Normalform der Ausgangsgleichung dritten Grades

aus der sich folgende Parameter ergeben:

Wie zu sehen, ist diese Diskriminante stets positiv, also auch stets nur eine reelle Lösung zu erwarten, der Einfachheit halber hier nur für die beiden Fälle, dass KA2 sehr klein oder sehr groß gegenüber KW sei, diskutiert, wobei "sehr klein gegenüber KW" gleichbedeutend mit der Forderung KA2 ≤ KW/100 und "sehr groß gegenüber KW" gleichbedeutend mit KA2 ≥ KW*100 sein soll:

Fall 1

Fall 2

Fall 3

Das Cardanische Verfahren im speziellen[Bearbeiten]

Auf die Ausgangsgleichung dritten Grades

angewandt, liefert das Cardanische Verfahren dagegen zunächst einmal

Wie die Vorzeichenanalyse der Diskriminante Δ zeigt, muss Δ für positive Ausgangskonzentration c0 stets negativ sein, was heißt, dass der damit vorliegende casus irreducibilis – selbst wenn alle drei Lösungen reellwertig sein sollten – ohne Rückgriff auf komplexe Zahlen unlösbar ist.

Herleitung Formel II (über Dissoziationskonstante und Verdünnungsgesetz)[Bearbeiten]

Ostwaldsches Verdünnungsgesetz und Massenwirkungsgesetz unter Vernachlässigung der Autoprotolyse:

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S.110.