Benutzer:Shogun/Vorlesungsmitschriften/Geometrie

Gruppen

Sei $\Delta$ ein gleichseitiges Dreieck in der Ebene.

Gewisse Abbildungen $\varphi :E\rightarrow E$ bilden $\Delta$ in sich ab.

Beispiele:

i) Spiegelung an $s_{123}\,$: $\varphi _{123}$

ii) Drehung um 120°/240° um den Schwerpunkt: D/$D^{2}$

Es gilt:

$\varphi _{1}\circ \varphi _{2}=D$

$\varphi _{2}\circ \varphi _{1}=D^{2}$

$\varphi _{2}\circ (\varphi _{1}\circ \varphi _{2})=\varphi _{2}\circ D=\varphi _{3}$

Man bleibt immer im gleichen Bereich, deshalb nennt man das Gruppe!

Definition: Die euklidische Ebene ist die Menge $\mathbb {R} ^{2}$ zusammen mit der Abstandsfunktion

$d:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ={\sqrt {(x(q))-x(p))^{2}+(y(q))-y(p))^{2}}}$

Eine Isometrie ist eine Abbildung $\varphi :E\rightarrow E$, die Abstände erhält, d.h. für alle $p,q\epsilon E\,$ gilt:

$d(\varphi (p),\varphi (q))=d(p,q)$