Benutzer:Unag/ Leitfaden der Mathematik von der Grundstufe bis zum Abitur
Zusammenfassung des Projekts[Bearbeiten]
„Unag“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 10 % fertig
- Zielgruppe:
- Lernziele:
- Buchpatenschaft/Ansprechperson: Zur Zeit niemand. Buch darf übernommen werden. Früherer Hauptautor: Unag, seit 2010 inaktiv auf WB
- Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Ja, sehr gerne.
- Richtlinien für Co-Autoren:
- Projektumfang und Abgrenzung zu anderen Wikibooks:
- Themenbeschreibung:
- Aufbau des Buches:
Dieser Leitfaden ist eine neue Generation von Schulbüchern, das den kompletten Lehrinhalt von der 1. Klasse bis zum Abitur beinhaltet, also der gesamten Allgemeinbildung. Mit einer neuen pädagogischen Philosophie, einer einfachen Strukturanalyse der Wissenschaft Mathematik selber und sachlogisch zusammenhängend aufbauend kann ein Förder-, Realschüler oder Gymnasiast gleichermaßen daraus den "schwierigen" Lehrstoff schnell begreifen bzw. wenn die Lehrer diese einfache Betrachtungsweise lehren. Die logischen Sachkomplexe sind daher die Grundstufe (1.-4.), die Mittelstufe (5.-7.), die Oberstufe (8.-10. Klasse) und die Abiturstufe.
Die Besonderheit des Lehrbuches und sein Gebrauch[Bearbeiten]
(Neuartigkeit der Lernmethodik und der Lernintensität)
Einführung[Bearbeiten]
Mathematik - Übersicht[Bearbeiten]
M A T H E M A T I K - Ü B E R S I C H T
Elementarmathematik ( 1. bis 10. Klasse )
A L G E B R A (Gleichungslehre)
Berechnungsaufgabe : gegeben : a, b, c, d gesucht: ; x oder y(x) (Funktion) Lösungsansatz: Gleichung ( = ) ; Ungleichung ( < > )
z.B. 9 + 3 – 13 = 20 -> Arithmetik (Zahlenlehre) 1.-7.Klasse
allg. a + b x – c = d Zahlenarten : Ganze u. gebrochene Zahl
Ziffer Koeff.Unbe- Zahl Zahl Grundrechnung: Summe(+) / Differenz (–)
kannte (Zifferncode) 1. Rechenstufe: Punktrechnung ( , : )
Lösungsergebnis: x = (c+d–a)/b Bestimmungsgleichung (1 Ergebnis, 2 bei x^2 , 3 bei x^3 )
a x + b y + d = d x -> Funktionslehre 8.–10.Klasse
Koeff. Var.1 Koeff. Var.2 Konst. Term Term : Rechenglied
Koeffizient: Zahlenfaktor vor Variabler
Lösungsergebnis: y = f (x)Funktionsgleichung Variable : Größe mit theoretisch
(Ergebnismenge über Zuordnungstabelle unendlich vielen Werten
und /oder Grafik: Kurve im x-y-Diagramm z.B. x^2; x; 1/x ; a^x ;log x; sin x)
1. Nullstellenlösung y = 0 setzen (Schnittpunkt x-Achse)
2. Systemlösung: 1. Schnittpunktlösung y1 = y2 (Ein-/Gleichsetzungsverfahren)
2. Funktionssumme y1 + y2 (Summenverfahren)
Empirische Funktionen: Wahrscheinlichkeitslehre (Voraussagetheorie)
(aus praktischer Erfahrung) Grundlage: Statistik (Erfassen von konstanten Größen)
Stochastik (Erfassen von Funktionen, Abläufen)
Analytische Geometrie ist Algebra
G E O M E T R I E (Gebildetheorie, nur Konstruktionen) Winkel-Funktionen
(Trigonometrie)
Berechnungen, funktionelle Betrachtungen
Planimetrie 2 D-Gebilde (Flächen): Vier-/n-Eck Kreis/Ellipse Dreieck
Stereometrie 3 D-Gebilde (Körper) : parallel : Prisma Zylinder Prisma
(Quader)
spitz : Pyramide Kegel Pyramide
gleichseitig: Polyeder Kugel Tetraeder
„Höhere“ Mathematik Funktionslehre Abiturstufe
A n a l y s i s (Problemuntersuchende Mathematik in der Algebra und der Geometrie)
Funktionsklassifizierungen, Ergänzungen und spezielle Termberechnungen
Folgen und Reihen sowie ihre Partial(Teil)Summen und Grenzwerte
Integral- u. Differentialrechnung (Flächensumme u. Differenzverhältnis)
Lineare Gleichungssysteme als Matrix-Rechnung (die Zahl ist auch eine Matrix!)
Wahrscheinlichkeitsrechnung (statistische und stochastische Prozesse)
Rechnen mit Komplexen Zahlen und „Beweisverfahren“
Koordinatengeometrie: Punkte, Geraden und Ebenen, Darstellungsformen und Berechnungen
Vektorendarstellungen in Ebene und Raum und ihre Berechnungen
Algebra/Arithmetik 1.-4.Klasse[Bearbeiten]
Übersicht[Bearbeiten]
Voraussetzungen: Unterscheidungsmerkmale von Sachen, Gegenständen, Zahlen und Größen
Nur Gleichartiges kann miteinander verglichen, zusammengefasst bzw. geordnet werden!
Vergleiche: mehr/größer als (>), weniger/kleiner als (<), gleich viel / gleich groß (=)
Zahlenarten: Ganze Zahlen (Abart natürliche Z.): 1 2 3 . . . bis 1.000.000 (1 Million)
Unterbegriffe: gerade (durch 2 teilbar) + ungerade (nicht durch 2 teilbar)
'Gebrochene Z.: ganzzahliges Ergebnis mit Rest 12 : 5 = 2 Rest 2 -> 2,4
oder 25 m + 85 cm = 25,85 m (vorrangig für Größen verrechnen)
Zahlenaufbau: Einstellige "Zahlen" 0 bis 9 sind Ziffern, aus denen eine Zahl besteht
Die Zahl ist verschlüsselte Gleichung: 2·100 + 3·10 + 5·1 = 2H + 3Z +5E = 235
Rechenarten: 2 gegensätzliche Grundrechenarten (alle anderen sind Spezialfälle dieser beiden)
Summe bilden ("+" Zusammenzählen, Summe bilden, vergrößern, mehr)
Differenz bilden ("-" Abziehen, verkleinern, weniger / von - bis Unterschied)
Multiplizieren "·" ist bereits Spezialfall (Kurzschreibweise) der Summe
0 + 4 + 4 + 4 = 3· 4summiert = 12 = das 3fache von 4
Kleines "1·1" sind die Reihensummen bzw. die Vielfachen der Ziffern 2 bis 9
'Teilen ist Spezialfall der Differenz: 12 -4 -4 -4 = 0 = 3· 4abgezogen von 12
12 : 3 = 4 (3fach abgezogene Zahl) oder 12/3 = 4 = 1/3 von 12 (3 ist Teiler von 12)
Rechenregeln: 1. Nur Gleichartiges verrechnen (Einer nicht mit Zehnern, Meter nicht mit m²
E unter E, Z unter Z oder 1.Stelle mit 1.Stelle, 2.Stelle mit 2.Stelle usw.)
2. "Höhere" Rechenart zuerst (Punkt- vor Strichrechnung), Klammern () jedoch
zu aller erst, bei gleicher Rechenart ist Reihenfolge egal.
3. Beim Umformen immer doppeltes Negieren (Umkehren) anwenden! oder
Für Gegenseite die Gegenrechenart anwenden; Kontrollrechnung
+3 + x = 10 -> x = 10 -3 = 7 -> denn (Kontrolle) 7 + 3 = 10
statt mehrfachem Abziehen die Zahlen addieren und ihr Ergebnis abziehen
36 -5 -8 -5 = 36 -(5+5+8) -> 36 - 18 = 18 oder vorwärts zählen:
18 bis 20 bis 30 bis 36 ; Ergebnisse zusammen 2 + 10 + 6 = 18
oder Minus als negatives Vorzeichen sehen: 36 + (-18) = 18 ->
ohne Änderung in Umkehrrechenart umwandeln (Umschreiben)!
Sachaufgaben:
1. Es gibt nur einen einzigen Lösungsweg (Rechenablauf) für jede Aufgabe:
Aufgabe -> rechnerische Formulierung (Gleichung/Ungleichung) -> Umformung, Beherrschen
der 3 Rechenregeln (Unbekannte links, alle gegebenen Größen rechts) -> Lösungsergebnis
(rechte Seite verrechnet) -> Ergebnisformulierung (Antwortsatz, Bild / Grafik)
2. Hilfsmittel für Aufgabenlösung:
Gesuchte Zahl/Größe (Unbekannte) - Symbolik: ; ? ; x z.B. 4 > x
Gesuchte Rechenoperation/Rechenart - Symbolik: O z.B. 3 O 5 = 8
Hilfsdarstellung der Aufgabe: Rechenfiguren, Gitter, Tabelle, Operatorpfeil, Zahlengerade
Zahlenzerlegung: Beherrschen von Ergänzungszahlen, Rechnen über die "Vollen" 10er, 100er
24 + 8 { 6+2} -> 24 + 6 = 30 ; 30 + 2 = 32 (8 in 6/ Ergänzungszahl + 2 zerlegt)
oder 24 + 8{10 -2} -> 24 +10 = 34 ; 34 - 2 = 32 (8 in 10 - 2 zerlegt)
3 - 5 -> 3 - 3 = 0; 0 - 2 = - 2 (2 borgen, im Minus stehen, Konto überziehen)
Kopfrechnen: 7·32 = 7· (3·10 + 2) = 7·3·10 + 7·2 = 210 + 14 = 224
7·38 = 7· ( 40 - 2) = 7 · 40 - 7·2 = 280 - 14 = 266
3. Größen: Länge, Masse, Volumen, Zeit, Geld - bestehend aus Zahlenwert· Einheit
physikal. Einheiten haben codierte Zahlsymbole z.B. 5 Km = 5·1000·m (K=1000)
Kilo K = 1000, Dezi d = 1/10 (1 von 10 gleichen Anteilen), Zenti c = 1/100
1 €: 100 = 1 Cent ; 1 Cent = 1/100 von 1 €(1 von 100 Cent-Anteilen)
4. Zahlen-/Reihenfolge: Zahlen ordnen - Vorgänger, Nachfolger (3 Vorgänger von 4)
Die 3 grundlegenden Rechenregeln[Bearbeiten]
'Alle aus der Grund(Strich-)Rechnung Summe / Differenz hervorgehenden höheren Rechenweisen gibt folgender Überblick zum jeweiligen Gebrauch bzw. zur Vorausschau:
höhere Stufe -> Codierung ; Verrechnung ax log Exponential-Fkt. (spezielle Potenz) und Logarithmus 10. Klasse xn ƒ–x Potenz und Wurzel als spezielles Mal und Geteilt 8. Klasse . : Z/N Mal und Geteilt/Bruch als spezielle Summe/Differenz 3. Klasse ; dy/dx allgemeines Summensymbol u. Differenz-(Verhältnis) 11. Klasse + - Plus und Minus als spezielle Grundrechensymbole 1. Klasse
Diese Unterteilung wird entsprechend der Klassenstufe ständig wiederholt und vertieft. Alle weiteren Rechenregeln können daran abgelesen werden und man muss sie nicht extra "lernen".
1. Regel: Nur Gleichartiges kann verrechnet werden!
Das genaue Zusammen- oder Untereinanderschreiben und Verrechnen von Zahlen ergibt sich von ganz allein durch die gleichartige Bezeichnung von Einern, Zehnern, Hundertern, denn jeweils nur diese können miteinander verrechnet werden! Später gilt das Gleiche für x, x2, y, gleichnamige Brüche, Glieder (Terme) sowie Funktionen.
2. Regel: Die Reihenfolge der Verrechnung geht von der höheren zur niederen Rechenart, nur die Klammer unterbricht die
- Reihenfolge! Bei gleicher Rechenart ist die Reihenfolge egal. (ersetzt Aussage von Kommutativ-, Assoziativ- und Distributiv-"Gesetz".
- Man sagt kurz: Punktrechnung geht vor Strichrechnung
2 + 5 - ( + 5 - 3) = 2 + 5 -( 2 ) = 6 (Klammer zuerst rechnen) ; aber auch
2 + 5 + (-5) + 3 = 6 (Klammer auflösen durch Vorzeichenumkehr, (s. Regel 3: Doppeltes negieren , Rechenzeichen + und die Vorzeichen)
3. Regel: Beim Umformen der Gleichung oder eines Gliedes wird immer doppelt negiert! oder beide Seiten einer Gleichung/Ungleichung,
- eines Bruches gleichartig ändern
Kurzfassung: Gegenseite -> Gegenrechnung
In der Mathematik trifft diese Regel den Hauptkern der Aufgabenlösung: Das Zerlegen, die Umformung, das Zusammenfassen und die Umstellung der Zahlen bzw. Glieder (Terme). Die Unbekannte muss herausgestellt (eliminiert, die Gleichung aufgelöst) werden. Es entsteht die Berechnungsformel. Egal wie "kompliziert" die Gleichung ist, wird die Zahl (das Glied) auf die Gegenseite gebracht, muss die Gegenrechnung angewendet werden (doppelte Umkehrung: Gegenseite und Gegenrechnung, beim Bruch später sind es die 2 "Seiten" Zähler und Nenner).
Aufgabe: 3 + x = 11 | -3 Ausführlich: -3 + 3 + x = 11 -3 -> 0 + x = 11 - 3 (gleichartiges ändern beider Seiten) Kurzfassung: + 3 + x = 11 -> x = 11 - 3 (Gegenseite mit Gegenrechnung)
'Negation (Negieren) heißt Umkehr, Gegenrichtung oder Gegenlösung
'Doppelte Umkehr bedeutet aber keine Wertänderung, die Gleichung bzw. das Ergebnis bleibt gleich. Die Verrechnung von Klammern wird durch dieses Verständnis kaum noch falsch gelöst:
- (- 3) = +3 oder (-2)·(-3) = +6 <-> +2·(-3) = -6 Gegenteil vom Negativen = Positiv oder doppelt negiert = positiv 1mal negiert = negativ
Diese Regel allgemeiner formuliert in Gegenseite -> Gegenprinzip hat aber noch ein viel größeres Anwendungsgebiet. Nicht nur in der Mathematik, sondern in allen Wissenschaftsbereichen ist sie gültig, da die Natur dual (2seitig) aufgebaut ist! Man braucht nur eine Seite richtig zu begreifen und kennt damit auch die Gegenseite als deren Umkehrprinzip. Damit wird auch das Lernen auf die Hälfte reduziert, wenn man richtig Schlussfolgern (logisch denken) kann. Im späteren Fach Technik ist diese Betrachtung wichtig für das logische "Nicht", das den technischen Gegenzustand darstellt (symbolisiert). Die Elektrotechnik z.B. hat nur 2 Schaltzustände "An" und "Aus". Alle Dezimalzahlen (Ziffern 0 bis 9) müssen deshalb für die Technik in Dualzahlen (nur 0 und 1) umgewandelt (codiert) werden!
Der 1. Rechen-Spezialfall: Multiplizieren (Produkt) und Teilen (Bruch)[Bearbeiten]
1.3.1 Das Multiplizieren (Malnehmen, Vervielfachen) - das Produkt
Ein Spezialfall ergibt sich, wenn immer die gleichen Zahlen aufsummiert werden, z.B. die Dreier-Reihe:
Faktor "Grundzahl"
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 30 = 10 * 3
Faktor Anzahl
Zahlenreihen können mit der logischen Aussage "Ich soll die Zahl 3 10mal summieren"
kürzer gefasst (codiert) werden als Produkt "10 · 3summiert".
Das "Kleine Einmaleins"
Beim Erlernen oder besser Einprägen des Kleinen "1x1" (die Ergebnisse dürfen nicht erst errechnet werden!) wird mit folgender Systematik der sicherste und schnellste Erfolg erzielt:
Wenn man nicht über die einzelnen Ziffernreihen, sondern über die wenigen sich ergebenden Produktergebnisse des Einer-, 10er-, 20er- bis 80er-Bereiches geht, werden sowohl Wiederholungen durch Faktorentausch als auch falsche Ergebnisse vermieden.
4 2·2 10 2·5 20 4·5 30 5·6 40 5·8 54 6·9 72 8·9
6 2·3 12 2·6;3·4 21 3·7 32 4·8 42 6·7 56 7·8
8 2·4 14 2·7 24 4·6;3·8 35 5·7 45 5·9
9 3·3 15 3·5 25 5·5 36 6·6;4·9 48 6·8 63 7·9 81 9·9
16 4·4;2·8 27 3·9 49 7·7 64 8·8
18 3·6;2·9 28 4·7
Der Zählanfang 1 = "1*Ziffer" ist weggelassen, da es die Ziffer selber ist und ebenfalls das 10fache, da an die Ziffer nur eine Null angehängt wird!
An einem Tag nur einen 10er Bereich erlernen, also maximal nur 6 Ergebnisse mit ihren dazugehörigen Produkten. Die Ergebniszahlen (fett) ohne Beachtung der Produkte 5 min stur vorwärts (4 ->6 ->8 ->9) und 5 min rückwärts (9 ->8 ->6 ->4) einprägen. Nach kleiner Pause die Produktfolge (2·2, 2·3, 2·4, 3·3) mit Vertauschen der Faktoren der Reihe nach vorwärts 5min abfragen lassen, dann rückwärts und erst zuletzt durcheinander. Der schnelle Lerneffekt liegt darin verborgen, dass beim reihenweise Abfragen das Ergebnis bereits im Kopf ist und die dazugehörigen Faktoren bzw. Produkte sich leichter einprägen. Ein falsches Ergebnis wird dadurch kaum genannt. Am nächsten Tag wiederholen. Mit den anderen Zehnerbereichen genauso verfahren. Ein zusätzlicher Lerneffekt ist die Tatsache, dass einen Zähler unterhalb des Ergebnisses gleicher Faktoren (später Quadratzahl genannt) das Produkt aus dem nächstniedrigeren Faktor mal dem nächsthöheren Faktor liegt: z.B. 4· 4 = 16 , 3· 5 = 1
Algebra/Arithmetik 5.-7. Klasse[Bearbeiten]
Geometrie 5.-7. Klasse[Bearbeiten]
Algebra/Funktionslehre 8.-10.Klasse[Bearbeiten]
Geometrie 8.-10. Klasse[Bearbeiten]
Zielstellung:[Bearbeiten]
1. Beherrschen der geometrischen Begriffe am Dreieck und Kreis
2. Begreifen der Verhältnisse (Bruch-Proportionalitäten) und ihre Ausdrucksformen
a) Streckenteilungen und Anwendungen z.B. Goldener Schnitt bei Perspektivbildern
b) Streckenverhältnisse zwischen Zentralstrahlen und schneidenden Parallelen in der
Anwendung für ähnliche (verwandte / affine) Abbildungen
c) Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als die Winkelgrundfunktionen
d) Winkel- und Seitenverhältnisse am allgemeinen Dreieck als komplexe Winkelfunktionen
e) Winkel- und Sehnenverhältnisse am Kreis unter Verwendung von b) bis d)
3. Sicheres Berechnen von Körpern und Körperstumpfen
4. Die behandelten geometrischen Darstellungen und ihre daraus abgeleiteten Funktionen sind
nur einfache Sonderfälle einer sehr vielgestaltigen und komplizierteren Allgemeinheit!
5. Verstehen der Begriffe Parallel- und Zentralprojektion (Projektionsstrahlen), der senkrechten
und schrägen Projektion (Fallrichtung der Strahlen), Tafelprojektion ...
6. Erstellen von Schrägbildern, Tafelbildern und Perspektivbildern
Begriffe:
Umbenennung: Äußere „Teilung“ (unsachlich) in Streckung harmonische (äußere) „Teilung“ in
harmonische Streckung und als deren Gegenteil die (stetige) Teilung in harmonische Teilung
-> logische Struktur: Teilung - Streckung, harmonische Teilung - harmonische Streckung!
Projektion (Abbildung) wird in zweierlei Bedeutungssinn gebraucht:
1. Mehrfach„projektion“, mehrseitige Betrachtung eines Körpers, deren Ansichten
als „Tafeln“ abgebildet werden. In der Praxis Technisches Zeichnen: 3-Seitenansicht
2. Ein Objekt wird direkt über Parallel- oder Zentralstrahlsymmetrie abgebildet
(projiziert, eigentliche Bedeutung): Körperzeichnung selbst bzw. dessen Projektion
Entfällt: Strahlen- und Ähnlichkeits-„Sätze“ durch Sachverstand ersetzt
Sekantensätze sind nur Näherungen
Übersicht[Bearbeiten]
Geometrische Aufgaben werden auf konstruktive (darstellende) und rechnerische Weise (funkti-onell) gelöst. Je nach Aufgabenstellung (Verwendung) wird die Geometrie unterteilt:
Nach der Dimension in Planimetrie (2-dimensional) und Stereometrie (3-dimensional) Nach den Darstellungsmöglichkeiten in darstellende oder noch spezieller projektive Geometrie Für generelle rechnerische Anwendung in analytische Geometrie der Ebene bzw. des Raumes Für Winkelbetrachtungen (Dreieck, Kreis) in ebene und sphärische (räumliche) Trigonometrie oder speziell für generelle Winkelfunktionsanwendungen die Goniometrie (Winkellehre) Für Berechnungen an krummen Figuren in Differenzial- und Integralgeometrie (Abiturstufe) Bei Verwendung eines Koordinatensystems die Koordinatengeometrie (Sonderfälle bis 10.Kl.) Wird im Koordinatensystem nur mit Vektoren gearbeitet die Vektorgeometrie (Abiturstufe)
Es ist zu erkennen, dass für eine rechnerische (algebraische) Lösung eine geometrische Untergliederung kaum noch Sinn macht. So wird z.B. die Berechnung einer Geraden oder Strecke im logischen Zusammenhang, aber eben in unterschiedlicher Gleichungsdarstellung als Koordinaten-, Vektor- oder Parameterdarstellung behandelt. Letztere 2 werden aber erst in der Abitur-stufe gelehrt. Die Geometriebereiche finden sich also in den verschiedenen Darstellungsformen wieder! Generell sollte Koordinatengeometrie (Abb. im Koord.system) als Oberbegriff stehen!
Bisher in Geo 1 die Grundfiguren in der Ebene und im Raum
in Geo 2 grundsätzliche Beziehungen auf der Basis ihrer Symmetrieeigenschaften
ab Geo 3 werden die Figuren neben grundlegenden Darstellungsmöglichkeiten tiefergehend funktionell betrachtet (analysiert, untersucht): Streckenverhältnisse sind an den ebenen Figuren Strahlenbüschel (Ähnlichkeiten) und Dreieck (Winkelfunktionen), sowie beides zusammengesetzt im Kreis (Winkel- und Sehnenverhältnisse) zu untersuchen. Die Berechnungen sind dementsprechend Verhältnisgleichungen oder in codierter Form z.B. die Winkelfunktionen. Wie unterschiedlich und problematisch allein die Darstellung von ebenen Figuren und Körpern oder zusätzlich ihrer Projektionen im Raum auf der Blattebene ist, lernen wir in der darstellen-den Geometrie (6.6) kennen. Die rechnerische Gleichbehandlung drückt sich nur durch einen Pa-rameter (die Raumkoordinate) mehr aus! Die Funktion hat einen Term mehr. Der Lösungsab-lauf ist damit der gleiche wie unter 5.3 die Funktionen über ihren Grafen und/oder ihre Bestim-mungsgleichungen gelöst bzw. unter 5.4 Termumformungen vorgenommen wurden. Die Lösungen sind noch relativ einfach, da die Seiten der Figuren als konstante Werte a, b, c.. bzw. beim Kreis der Kreisbogen als Konstante 2πr (Umfang) in die Formel eingeht.
In Geo 4 (Abschnitt 8; Abiturstufe) werden noch einmal gleiche Sachbezüge behandelt, nur dort werden Figuren generell in ein Koordinatensystem eingezeichnet und die Seiten als lineare Funktion a = mx + n oder als Vektor a (gerichtete Strecke) betrachtet. Die etwas komplexere (umfangreichere) Funktionsdarstellung wird dennoch Term für Term wie unter 5.3/4 gelöst!
Ähnlichkeitsbetrachtungen (Strahlensymmetrie)[Bearbeiten]
Ähnlichkeit ist die geometrische Verwandtschaft ebener Figuren. Sie besitzen die gleiche Gestalt (gleiche Winkel), sind aber unterschiedlich groß. Praktisch ist es das Zoomen (zentrisches Vergrößern /Verkleinern, s. Strahlensymmetrie 4.2.1). Auf Zentralstrahlen verschoben werden nur die entsprechenden Seitenverhältnisse proportional verändert, d.h., dass gleichliegende Strecken zuein-ander gleiche Verhältnisse bilden. Sind an den Strahlen Maße angetragen, nennen sie sich auch Polarkoordinaten als Gegenstück zu den uns bisher bekannten rechtwinkligen x-y-Koordinaten.
Streckenverhältnisse
(Innere) Teilung C
Jede Strecke AB kann in einem beliebigen Verhältnis geteilt 5 werden. Generell wird die 1. ins Verhältnis zur 2.Teilstrecke E gesetzt und damit das Teilungsverhältnis TV>1 oder <1 3 festgelegt, im Beispiel 5/3. Den Teilungspunkt T findet man, A 5 T B S wenn 5/8 der Gesamtstrecke AB abgetragen werden, denn 5+3 3 ergeben 8 Teileinheiten. Die Teilung ist bei 5 Einheiten. D Allg.: AT = AB (Z-Zähler, N-Nenner des Teilungsverhältnisses) . Aufwändiger ist die konstruktive Lösung: An 2 Parallelen durch A und B (AC, DE) werden die Einheiten ganzzahlig abgetragen und hier die 5. der einen (C) mit der 3. der anderen Parallele (D) verbunden und so die Teilung vollzogen.
Streckung (alt: äußere „Teilung“):
Die Grundstrecke AB wird ja nicht geteilt, sondern um einen bestimmten Teil gestreckt (erwei-tert). Die neue Gesamtstrecke AS wird ins Verhältnis zur Erweiterung BS gesetzt. Da wie bei der Teilung aber auch der Streckpunkt S im Bruchverhältnis zwischen A und B gesetzt wird, ist die Strecke SB negativ und damit auch das Verhältnis selbst: < 0 . A B S
Harmonische Streckung (alt harmonische „Teilung“):
Ist genau die Streckung, die das gleiche Verhältnis hat, wie eine vorgegebene Teilung: = Harmonie ist also eine Verhältnis(Bruch)Gleichung zweier (gleicher) Verhältnisse. Mit Gesamtstrecke AS = AT+TB+|SB| = |SB| wird die Streckung zu |SB| = TB berechnet. Sie ist das Produkt von 2. Teilstrecke TB mit dem Quotienten aus Summe und Diffe-renz beider Teilstrecken der inneren Teilung. Konstruktiv wird dieses Verhältnis gefunden, wenn die 3 Einheiten auf der 2. Parallele zwischen BD jetzt von B aus nach oben abgetragen werden und der Punkt E gefunden wird. Vom End-punkt der ersten Parallele C wird durch E eine Gerade gezogen, die den Streckpunkt S in gerader Verlängerung der Strecke AB erbringt.
Harmonische Teilung (alt stetige Teilung):
Die vorgegebene Teilung > 1 wird hier gleichgesetzt mit dem Verhältnis A´ von Grundstrecke AB zur größeren Teilstrecke : = M Für diesen Fall ergibt sich weiterhin, dass AT gleich der Strecken- B´ ½ AB erweiterung |SB| ist (siehe B’S’=AT) und die harmonische Teilung S´ auch auf das Verhältnis von Gesamtstrecke AS zur Grundstrecke A T B AT S AB zutrifft: = = (siehe Streckung ABS gleichbedeutend mit ATB)
Nach dem späteren Sekanten-Tangenten-Satz gilt: (AB)2 = AT(AB +AT)
(AT)2 +AB(AT) = (AB)2 (AT)2+AB (AT) – (AB)2 = 0
Auflösung: AT1,2 = – ½ AB
Die harmonische Teilung ist bei AT1 = 0,618 AB
AT2 = – 1,618 AB (unmöglich, da |AT| < AB)
Damit ist die die harmonische Teilung im Gegensatz zur Harmonischen Streckung nur das ein-zige Teilungsverhältnis von 10 : 6,18 oder als Verhältniszahl 1,618 bzw. 161,8% !
Konstruktive Lösung: Die hälftige Strecke wird in B senkrecht nach oben abgetragen und mit diesem Radius ein Kreis gezogen. Der gestreckte (verlängerte) Durchmesser (dAB) durch A ist dieser Strahl, auf dem die Streckung (mit AT = SB) umgekehrt abgetragen ist! Diese Konstruktion wird auch Goldener Schnitt genannt und für Perspektivbilder verwendet . Die Augenparallaxe (das subjektive Sehen) geschieht für das Auge immer strahlensymmetrisch. Deswegen werden Objekte in ihrer Tiefe „sehtechnisch“ immer kleiner. Bei der Konstruktion von Perspektiv-Bildern werden so die Objekte zwischen den 2 Strahlen (siehe AS, A´S´) harmonisch (in gleichen Proportionen) abgebildet.
Algebra/Funktionslehre Abiturstufe[Bearbeiten]
=== Übersicht (siehe auch 5.1 ; 5.4.8 und 8.2)
* Funktionen: Einteilungen, Begriffe und spezielle Ergänzungen
* Schreibformen: lineare Funktionssysteme als
Koordinatendarstellung y = f (x) homogene ax + by = 0
mit Parametern y = f (x(t), t) inhomogene ax + by = c
Vektordarstellung* y = f ( x ) Matrixform (y1, y2, y3) = (ax1, bx2, cx3)
bzw. für Vektorkomponenten
Je nach Auflösung: (Vektor: gerichtete Strecke)
allgemeine (implizite) Form: ax + by = c
Varianten* : Achsenabschnittsform 1 =[[Image:]]
(*Abschnitt 8 Koordinatengeometrie) Punktrichtungsform m = [[Image:]]
Zweipunktform [[Image:]]
Normalform (explizite Form): y = mx + n
* Folgen, Reihen (analog Zahlenreihen: Summe Produkt und Grenzwerte
* Differenzial (Kurvensteilheit = Unterfunktion) ; Integral (Flächensumme = Stamm-Fkt.)
* Lineare Gleichungssysteme in Matrizenform (Summen- und Einsetzungs-Verfahren)
* Wahrscheinlichkeitstheorie besonders Verteilungen und Tafelbilder
* Rechnen mit komplexen Zahlen
* Mathematische Beweisverfahren
Zusammensetzen (/Verketten für Einzelglieder mit äußerer und innerer Funktion ) bzw. Zerlegen (Vereinzeln) von Funktionen dient zur rechnerischen Vereinfachung, Lösungshilfe und besseren Begreifbarkeit (Analyse) auch der geometrischen (grafischen) Deutung (Interpretation). Voraussetzung ist die Gleichartigkeit, gleiche Definitionsmengen -> 7.2.3 Bereits ab der 8. Klasse wurde dargelegt, dass die Normal- / Polynom-(mehrgliedrige) Form der Funktion ein Verknüpfen (Summieren) der Terme als Grund- (eingliedrige) Funktionen ist. Besonders in der Differenzial- und Integralrechnung sowie der analytischen Geometrie werden Funktionen bzw. Vektoren zerlegt und wieder zusammengesetzt, genau wie in der Zahlenlehre z.B. gleichnamige Brüche zusammengesetzt oder in diese wieder zerlegt werden können. Es ist also „nur“ eine tiefergehende Betrachtung von Termumformungen (s. 5.4 ; 5.5 ; 7.2.3.)
Zusammengesetzte und verkettete Funktionen
F = f1 + f2 F = f1f2 F = f2f1 allg. F = f1(f2) Potenz und Wurzel bzw.
F–1 = f1 – f2 F–1 = [[Image:]] F–1 = [[Image:]] allg. F = f1(f2) Logarithmus als verkettete F
F = f1(f2) f1 äußere Funktion, f2 die innere Funktion.
In der Differenzialrechnung wird f2 oft durch einen Parameter ersetzt (substituiert) F–1, f Symbole der Umkehrfunktion (F–1 ist nicht gleichzusetzen mit negativem Exponent!) f1, f2 oder u, v - mögliche Symbole für die Einzelglieder (den Grundfunktionen).
Umkehrfunktionen
wie beim letzten Beispiel sind ein selbständiger Abschnitt in den Schulbüchern für Anwendungen von Integration und Differenziation. Um die oft schwerverständliche Symbolik und Zuordnung zu verstehen, soll hier logisch einfach noch einmal festgestellt sein:
Funktion Umkehrfunktion
y = f(x) x = f(y) y = f(x) x = f(y)
einfach negiert: nur Funktion nur Variable
nur Variable nur Funktion
y = x2 x =[[Image:]] = [[Image:]] y =[[Image:]] = [[Image:]] x = y2 ( [[Image:]] = y2 ) doppelt Variable Variable Variable Variable negiert: + Funktion + Exponent + Funktion + Exponent y = sin x x = arcsin y y = arcsin x x = sin y doppelt negiert (3. Rechenregel) ist eine gleiche Funktion (identische Kurve)! Funktion y y Definitionsgröße Definitionsgröße y y Funktion
y = x2 x = y2
x = y y = x P(y,x) P(x,y) Funktion x Definitionsgröße x Definitionsgröße x Funktion x
7.3.2 Reihen, Partialsummen und Partialsummenfolgen (Summe der Folgeglieder)
Übersicht:
Arithmet. Folge Geometr. Folgen :
Mal-Folge Faktor-Folge Fakultät ! Potenz-F. Binompotenz-F
a1 = a1 d = a a1 = a1·q0 a1 =1; q=n q = a a1 = (a + b)1
a2 = a1+d = a1+ 1·d a2 = 2·a a2 = a1·q = a1·q1 a2 =1·2 a2 = a2 a2 = (a + b)2
a3 = a2+d = a1+ 2·d a3 = 3·a a3 = a2·q = a1·q2 a3 =1·2·3 a3 = a3 a3 = (a + b)3
an+1= an+d an=a1+(n–1)d an = na an+1=anq an=a1qn-1 an = n! an = an an = (a + b)n
rekursiv explizit explizit rekursiv explizit explizit explizit explizit
an = sn + (Pascalsches )
Reihen: sn = a1 + a2 + a3…+ an = [[Image:]] (sn - Summe aller einzelnen Folgeglieder)
Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen (Funktionen und Vektoren)[Bearbeiten]
Zielstellung:[Bearbeiten]
Es soll erkannt werden, dass alle funktionellen Zusammenhänge auf die vielfältigste Weise dargestellt und interpretiert werden können, über die Matrizenrechnung aber eine allseitig anwendbare mathematische Rechenweise existiert, die auf der Grundlage der Elementar-mathematik (1. bis 10. Klasse) eine konkrete Berechnung für alle „Probleme“ durchführt. Sie muss unterschieden werden in die Matrixumformung für normales LGS (6.7.2 Summen- und 6.7.3 Einsetzungsverfahren) sowie in die echte Matrizenverrechnung (6.7.4 à Vektoren)! Die Fähigkeit zur Verallgemeinerung (Abstrahierung) konkreter Objekte oder Systeme zu abstrakten Strukturen bzw. Modellen ist dabei der Hauptkern.
Begriffsbestimmungen[Bearbeiten]
LGS Kürzel für Lineare Gleichungssysteme. Exakter handelt es sich jedoch um lineare Funktionssysteme mit mindestens 2 funktionell zusammenhängenden Funktionen, die eine gemeinsame Lösung suchen, den gemeinsamen Schnittpunkt der Funktionskurven bzw. die Nullstelle einer sich ergebenden Gesamtfunktion.
Matrix ist ein einheitliches Zahlenschema (verschlüsselte Form) für Funktionssysteme in Gleichungs-, Tabellen- oder Grafenform, das zur Erkennung der Codierung in runde Klammern gefasst wird. Dies gilt auch für wirtschaftliches Rechnen, wo die benötigten Daten oft in Tabellen vorliegen. Die einfachste Erklärung ist das „Element“ Zahl, die ja bekanntlich die Funktion von 10 Ziffern ist, sie ist eine Ziffernmatrix. Allgemein für alle Anwendungen wird jedoch konkreter von der Koeffizientenmatrix gesprochen, denn nur die Koeffizienten vor den Variablen (hier die Stellenwerte / Zehnerpotenzen) werden herausgeschrieben: Zahl (Zifferncode): 345 = 3·100 + 4·10 + 5 · 1 (3 4 5) Zeilenmatrix a ·102 + b ·101 + c ·100 (a b c) (1 Zeile)
Gleichungssystem: y1 = a1· x1 + a2· x2 + a3· x3 a1 a2 a3 y1 Spaltenmatrix y2 = b1· x1 + b2· x2 + b3· x3 b1 b2 b3 y2 (Ergebnismatrix)(1 Spalte)
Vektorzerlegung : V1 = a1 x + a2 y + a3 z a1 a2 a3 V1 V2 = b1 x + b2 y + b3 z b1 b2 b3 V2
Bilanzierung/Optimierung (Aufwand-Nutzen à Wirtschaftsmathematik) :
W1 = w1x1 + w2x2 + w3x3 w1 w2 w3 W1 W2 = w21y1 + w22y2 + w23y3 w21 w22 w23 W2 à Maximum
W1 Gesamtwert der Produktionslinie 1 mit Bruttowerten wn der Einzelprodukte xn W2 Gesamtwert der Produktionslinie 2 mit Bruttowerten wkn der Einzelprodukte ykn Die gesamte Warenproduktion W1 + W2 muss ein Maximum werden. Größtenteils liegt lineare Optimierung vor. Wird jedoch z.B. die menschliche Leistung in die Berechnungen einbezogen, die ja weder über den Tag konstant ist, noch linear abnimmt, liegen nichtlineare Funktionen (Produktionsfaktoren) vor. In bestimmten Sonderfällen kann aber ein nichtlineares Funktionssystem in ein lineares umgeformt und über Matrizen gelöst werden, wenn durch das Summenverfahren die nichtlinearen Glieder wegfallen.
Zeilenmatrix: Die Matrix einer Gleichung, Zahl (345) oder eines Vektors hat nur eine Zeile Spaltenmatrix: Die Matrix einer einzigen Spalte, z.B. Ergebnismatrix oder ein Vektor Determinante: Ist der ausgerechnete Gesamtwert einer Matrix (des Koeffizientenschemas), der in die vorgegebenen Berechnungsformeln für die einzelnen Variablen eingesetzt wird à siehe
„Cramersche Regel“, welche dem Einsetzungsverfahren entspricht à Der Gesamt„wert“ (rechte Seite) einer explizit gegebenen Variablen wird in der nächsten Funktion für diese eingesetzt. Schreibformen sind |A| oder det (A) der Matrix A
Linearkombination Entspricht der Normalform einer linearen Gleichung / Funktionsgleichung: Bei Vektoren die Vektorensumme/~Differenz bzw. ein aus seinen Koordinatenkomponenten zusammengesetzter Vektor: Elementarvektor 48 = Linearkombination aus 4·101 + 8·100
Linearfaktoren Die Zahl als Code bzw. Ergebnis ist gleichbedeutend mit der decodierten (aufgeschlüsselten) Produktform (Primfaktoren): 48 = 2 · 2 · 3 · 4 Die „Primfaktoren“ einer Funktionsgleichung heißen Linearfaktoren und sind oft in Klammern zu setzende Binompotenzen 1. Grades (linear). Z.B. besteht das Ergebnis einer Polynomdivision aus Linearfaktoren y = f(x) = (x – n1)1 · (x – n2)1 à quadratische Gleichung aus Linearfaktoren { = x2 – (n1+n2) x + n1n2 } à Normalform (n1, n2 - Nullstellen)
Lineare Operatoren Ein Operator symbolisiert mathemat. Operationen wie bei der Summe das „+“ oder „Σ“, logische Operatoren wie UND () und ODER (), geometrische Operatoren wie „Verschiebung“ und „Drehung“ (Abbildungen). In der Funktionstheorie bezeichnet man eine festgelegte Zuordnungsvorschrift, also eine Funktion selber als Operator, wenn sie Werte oder Größen aus verschiedenen Bereichen („Räumen“) in dieser Funktion (gemeinsamen „Raum“) abbildet. Ein linearer Operator (1. Grades) macht das verzerrungsfrei : F (A,B) = A1(x) x + B1(y) y
Gesamtlösung eines Funktionssystems:
Wie aus 5.4 bekannt, werden Funktionssysteme über das Summenverfahren oder das Einsetzungsverfahren zur Bestimmungsgleichung und damit konkreten Werteberechnung gebracht. Das Nullstellenverfahren ist ja die konkrete Lösung einer Funktion, also nicht des Systems. Durch Reduzierung der Variablen über beide Verfahren (zusammengefasste, „erweiterte“ Gleichungen) ergibt sich eine Bestimmungsgleichung für eine Variable. Diese wird mit ihrem errechneten Wert zurückgehend in die letzte Funktion eingesetzt und damit konkret die 2. Variable bestimmt, diese wieder in die davor liegende Gleichung und bestimmt die nächste Variable usw.
„Gaußsches Verfahren“ (Summenverfahren mit einer Matrix)[Bearbeiten]
In 5.4 lagen zur Anwendung dieses Verfahrens bereits 2 gleichgroße y1 = a1x1 + a2x2 gleichartige Glieder (gleiche Spalte, hier a1x1) vor, so dass die + – y2 = a1x1 + b2x2 E(–1) Summe oder Differenz beider Gleichungen zur Reduzierung y1– y2 = 0 + (a2 – b2) x2 einer Variablen führte. Um im Beispiel mit der Summe zu rechnen, muss man nur eine Gleichung mit –1 multiplizieren, was für das zu eliminierende Glied a1x1 + (– a1x1) das Gleiche bedeutet. Solange Rechenregel 3 (beide Gleichungsseiten!) beachtet wird, erweitert man nur die Gleichung. Genauso wird das System nur erweitert, wenn wie oben zwei Gleichungen durch Summe eine dritte ergeben (Linearkombination), in der ja beide enthalten sind (Prinzip des Summenverfahrens). Eine davon kann dafür gestrichen werden!
Diese 2 Rechenvorgänge hintereinander mehrmals angewendet, durch Hineinmultiplizieren einer Zahl ein gleichgroßes Glied zu schaffen und dieses durch Differenz /Summe) mit einer 2. Gleichung zu eliminieren (1Variable weniger), führt zur Lösung auch jeden größeren Systems. Die normale Lösung des LGS wird zur Matrix-Umformung
Auf die Matrix umgesetzt, stehen also an den Stellen der herausgefallenen Variablen überall Nullen. Vor dem Gesamtaufwand einer Lösung untersucht man mit diesem Prinzip das System auf Lösbarkeit.
Kriterium für die Lösbarkeit eines linearen Funktionssystem:
2 Probleme werden dabei näher untersucht: Existiert überhaupt eine Lösung und wenn ja, kann das verwendete Verfahren diese Lösung liefern? Ein System ist nur lösbar, wenn durch die 2 Rechenvorgänge eine Zeile mit Nullen entsteht, d.h. eine Zeilennullmatrix mit dem Ergebnis 0 auf der anderen Seite. à ( 0 0 0 ) = ( 0 )
y1 = 3x1 + 4(x0) y1 3 4 In Spalte 2 liegt ein gleicher Wert (3) vor. Differenz ergibt 0 – y2 = 3x1 + 5(x0) y2 3 5 In Spalte 3 ist die Differenz 4 –5 = –1 , aber keine 0 0 0 –1 à keine Lösung des Systems möglich.
Grafisch erklärt: Parallelität
y
Aus der linearen Funktion y = mx + n wissen wir, dass bei gleicher Steilheit (m=3) hier 2 parallele Geraden vorliegen, die bei 4 bzw. 5 die y-Achse schneiden. Bei Parallelität kann es keinen Schnittpunkt/ keine gemeinsame Lösung geben! x Man spricht von Unvereinbarkeit oder widersprüchlichen Funktionen. y I x + 2y = 2 | · 3 Idendität :
II – 3x + 6y = 6 à II ist ein Vielfaches von I (linear abhängig) und
x ( 0 0 ) (0) damit wertmäßig identisch mit I, analog wie ein
I und II à y = – 0,2 x + 1 Bruch durch Erweitern oder Kürzen seinen Wert
nicht ändert. Die Differenz beider Gleichungen ergibt die Zeilennullmatrix à das „System“ ist lösbar! Die 2 Grafen sind kongruent, da es nur 1 einzige Funktion ist und „es“ hat unendlich viele gemeinsame Lösungen (gleiche Wertepaare).
y Normalfall:
S Alle anderen Funktionssysteme zwischen den 2 vorgenannten Extremen
ergeben genau eine Lösung, den Schnittpunkt aller Geraden S(x, y).
x Die Funktionen müssen dafür aber unabhängig und widerspruchsfrei sein!
Beispiel: I 2x + 1y + 3z = 20 2 1 3 20 gemeinsame Lösung für x = 3
II 1x + 2y + 1z = 11 1 2 1 11 y = 2
III x – y + 2z = 9 1 –1 2 9 z = 4
I – II – III 0 0 0 0 0 0 0 0
Das Lösungskriterium ist zwar erfüllt, allerdings ist Gleichung I die Linearkombination von
II + III und damit bereits eine Erweiterung des Ausgangssystems mit nur 2 unabhängigen
Funktionen aber 3 Variablen II 1 2 1 11
III 1 –1 2 9
und damit rechnerisch nicht lösbar.
Es müssen mindestens gleichviel Gleichungen vorliegen, wie es Variable gibt! Die mögliche grafische Lösung mit Raumkoordinaten dürfte zeichnerisch sehr schwierig sein!
Matrixrechnung à Die Matrix wird in die Zeilenstufenform (Dreiecksmatrix) gebracht:
I 3x + y + 2z = 13 Von links oben werden diagonal nach rechts unten „führende Einsen“
II x + 2y + 3z = 10 geschaffen und darunter Nullen. Zur Vereinfachung oder Abkürzung
III 4x – 2y + 4z = 12 können Zeilen (Gleichungen) vertauscht werden (hier II mit I).
Nicht mehr benötigte Zeilen werden mit den erweiterten überschrieben!
I 1 2 3 10 | ·3 Ziel: 0 in Zeile II / Sp.1 à Z. I wird gedanklich mit 3 erweitert
II 3 1 2 13 | I – II und Zeile II von I abgezogen (I – II à 0). Z. II wird mit dieser
III 4 –2 4 12 neuen Linearkombination (Gleichungsdifferenz) überschrieben!
Zeile I ( nur für Rechnung erweitert) bleibt mit 1 erhalten!
I 1 2 3 10 Entweder I · 4 und I – III oder siehe Zeile III : 4
II 0 5 7 17 | :5 2 Schritte: 1. In Z.II /Sp. 2 (Zahl 5) führende 1 schaffen
III 4 –2 4 12 | : 4 und I – III 2. An 1. Stelle (4) eine 0 schaffen, alte III überschreiben
I 1 2 3 10
II 0 1 7/5 17/5 | · 5/2 und Z II gedanklich mit dem Faktor unter der 1 (5/2) erweitern,
III 0 5/2 2 7 | II – III um darunter (Z III / Sp.2) eine 0 zu schaffen
I 1 2 3 10
II 0 1 7/5 17/5
III 0 0 3/2 3/2 | · 2/3 In Z. III /Sp. 3 mit Kehrwert die letzte 1 schaffen
I 1 2 3 10 1. Rücktransformation nach führenden Variablen :
II 0 1 7/5 17/5 x + 2y + 3 z = 10 x = 10 – 4 – 3 = 3
III 0 0 1 1 y + 7/5 z = 17/5 y = 17/5 – 7/5 = 2 (einsetzen)
z = 1 (einsetzen)
2. Reduzierte Zeilenstufenform (Einheitsmatrix):
à Auch oberhalb der führenden „Einsen“ Nullen schaffen, so dass direkt die Größe der
Variablen aus der Ergebnismatrix abgelesen werden kann!
I 1 2 3 10
II 0 1 7/5 17/5 | · (–2) und II + I
III 0 0 1 1 | · (– 7/5) und III + II
(Einheitsmatrx)
I 1 0 1/5 16/5 1 0 0 3 x = 3
II 0 1 0 2 0 1 0 2 y = 2
III 0 0 1 1 | · (– 1/5) und III + I 0 0 1 1 z = 1
Lösungsaufgabe: Hat das System der 3 Zahlen 123, 492 und 246 eine gemeinsame Lösung?
H Z E
I 8 1 2 3 = 123 · 8 8 16 24 984 I – II 0 0 0
II 2 · 4 8 12 = 492 · 2 à 8 16 24 = 984 à II – III 0 0 0
III 4 2 4 6 = 246 · 4 8 16 24 984 III – I 0 0 0
Die gemeinsame Lösung ist das gemeinsame Vielfache 984! Durch Erweitern jeder Zahl
(Gleichung) mit einem Zahlenfaktor wurde für jeden Stellenwert (jedes Glied) ein gleichgroßer Wert geschaffen, der durch die Differenz mit je einer anderen Zeile (Gleichung) verschwindet (zu 0 wird). Im Zahlenbeispiel ist die gesamte Matrix Null, da in jeder Zeile das gleiche Ergebnis steht. Bei 3 Funktionsgleichungen können für die Variablen x1, x2, x3 oder für das geometrische Verständnis x, y, z (Raumkoordinaten eines Punktes) unterschiedliche Werte stehen. Ein Raum-(Schnitt-)Punkt (oder Tripel) ist ja die gemeinsame Lösung der 3 Funktionsgleichungen.
7.6.3 Cramersche Regel (Einsetzungsverfahren mit Matrixwerten / Determinanten)
Im Gegensatz zum Summenverfahren, wo über gleichgroße Glieder die Variablen reduziert werden, wird beim Einsetzungsverfahren der gesamte Wert einer Variablen (x1) für diese in der anderen Gleichung eingesetzt (linke Seite):
Matrixrechnung:
konkret:
I 2x1 + 4x2 = 10 à x1 = –2x2 + 5 2 4 10 D = 2·5 – 4·3
II 3x1 + 5x2 = 12 3 (–2x2 + 5) + 5x2 = 12 3 5 12 D = – 2
allgemein – 6x2 + 15 + 5x2 = 12
I a1x1 + a2x2 = c1 a1 a2 c1 – x2 = 12 – 15 x2 = [[Image:]]E 2 10 = – ½ (24 – 30)
II b1x1 + b2x2 = c2 b1 b2 c2 x2 = 3 x2 = 3 3 12
x2 in I eingesetzt 2x1 + 4·3 = 10 x1 = [[Image:]]E 10 4 = – ½ (50 – 48)
x1 = – 1 x1 = – 1 12 5
I: Nach x1 umgestellt wird hier der Koeffizient von x2 und der Ergebnis-Wert halbiert (rot).
Die Matrixrechnung (rechts) behält die Werte bei, überschreibt dafür aber die x2 - Spalte mit der Ergebnis-Spalte. Im linken LGS wird für die Lösung der Koeffizient vor x2 geteilt. In Ihm sind alle Koeffizienten (die Matrixwerte) verrechnet. Rechts wird gleichfalls dieser Gesamtwert der Koeffizientenmatrix, die Determinante D = – 2 geteilt bzw. der Kehrwert eingesetzt.
Determinieren heißt eineindeutig definieren (exakt bestimmen).
Gegenüber der Matrix, die nur eine schematische Zusammenfassung der Koeffizienten ist, bedeutet die Determinante immer eine bestimmte Zahl/Wert. Zur Unterscheidung schreibt man sie als quadratisches Schema in einfachen senkrechten Strichen. Die quadratische Form ergibt sich aus der Notwendigkeit, dass gleichviel Gleichungen existieren müssen, wie es Variable gibt:
1. Die Determinante der Variabelenmatrix bestimmen über die Differenz der „Kreuzprodukte“
(Näheres siehe Vektorprodukt unter 8.3.2 und unten folgende Determinantenberechnung)
D = = a1 b2 – a2 b1 Die Determinante wird in der 1. Zeile von links her bestimmt!
2. Diese Determinante wird in die Bestimmungsgleichung einer Variablen als Kehrwert eingesetzt und mit der Determinante aus den Koeffizienten der anderen Variablen (Spalte) und der Ergebnisspalte multipliziert (wieder Differenz der Kreuzprodukte).
x1 = E = E(c1b2 – a2c2) x2 = E = E (a1c2 – c1b1)
(x1) x2 x1 (x2)
Beachte! Die Ergebnisspalte (c1c2) überschreibt die Koeffizienten der gesuchten Variablen (x)!
Das kreuzweise Multiplizieren der Elemente gilt auch für größere Determinanten, wobei sich verschiedene Handlungsweisen herausgebildet haben, die jedoch im Grunde identisch sind:
Cramersche Regel: Eine Determinante wird bestimmt durch die Summe aller möglichen
Elementarprodukte, wobei deren Faktoren aus unterschiedlichen Zeilen
und Spalten (verschiedenen Koordinaten) stammen müssen.
Dieser Charakter des Vektor-(Kreuz-)-Produktes wird durch diagonale Produktbildung erreicht.
Die Permutation n! (s. 5.6.2) ergibt die Anzahl der Elementarprodukte einer n x n - Matrix.
D = Σ (–1)k a1 j a2 j a3 j . . aij . . ann mit k = i + j
Die Zeilenindizes i bilden die natürliche Zählfolge (im Beispiel die Diagonale nach unten).
Die Spaltenindizes j sind alle verschieden und bilden eine Permutation der n Faktoren.
+ + + – – –
a11 a12 a13 a11 a12 D = + a11Ea22 a33 + a12Ea23 a31 + a13Ea21 a32
a21 a22 a23 a21 a22 – a11Ea23 a32 – a12Ea21 a33 – a13Ea22 a31
a31 a32 a33 a31 a32 (A11) (A12) (A13)
– – – + + + = a11 (a22 a33 – a23 a32) – a12 (a21 a33 – a23 a31) + a13 (a21 a32 – a22 a31)
Diese 3-reihige Determinante hat also 3! = 6 Produkte mit je 3 Faktoren, deren 3 Spaltenindizes die 6 Permutationen bilden. Jedes Produkt enthält nur je ein Element (Faktor) aus jeder Zeile und jeder Spalte.
1. Betrachtung:
Determinante ohne letzte Spalte kopieren, so dass alle diagonal nach rechts unten gerichteten
positiven Elementarprodukte (rechts 1. Zeile) bzw. alle diagonal nach links unten gerichteten
negativen Elementarprodukte (rechts 2. Zeile) herausgeschrieben werden können.
2. Betrachtung: Unterdeterminanten
Die oben rechts in der 3. Zeile ausgeklammerten Faktoren, die Elemente der 1. Determinantenzeile, ergeben eine andere Sicht- und Handlungsweise.
Mit a11 dürfen ihre nächsten 2 Faktoren nicht mehr aus der 1. Zeile und a11 a12 a13
1. Spalte sein! Beide werden gedanklich gestrichen und es ergibt sich a21 a22 a23
zugehörig die gelbe Unterdeterminante A11 = a22 a33 – a23 a32 mit nur noch a31 a32 a33 A11
(n –1) = 2 Faktoren, in der das rechtsgerichtete Produkt a22 a33 ebenfalls
„+“ und das linksgerichtete a23 a32 „–“ ist. a11 a12 a13
Für a12 gilt analog durch Streichung von Z.1 und Sp.2 die blaue Unterdeter- a21 a22 a23
minante A12 = a21 a33 – a23 a31, wobei jetzt für die Richtigkeit des 3faktorigen a31 a32 a33 – A12
a12-Binoms (oben Mitte) A12 oder a12 negativ werden muss!
Der letzte Koeffizient a13 hat die Unterdeterminante A13 = a21 a32 – a22 a31 a11 a12 a13
Hier stimmt das Vorzeichen wieder überein mit dem Gesamtprodukt nach a21 a22 a23
der 1. Betrachtung. A13 a31 a32 a33
Unterdeterminanten Aij heißen auch noch Adjunkten (Gehilfen) oder Komplemente (Gegenstücke) der Elemente aij.
Im vorliegendem Fall spricht man von der Entwicklung der Determinante nach der 1. Zeile:
D = + a11·A11 – a12 ·A12 + a13 ·A13 = D = Σ (–1)i+j aijEAij
Determinanten können aber auch nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt werden.
Vorteil ist dabei, große Zahlen aus zu klammern, mit denen sonst in den Adjunkten mehrfach gerechnet werden muss.
Wird die Determinante z.B. nach der 2. Zeile entwickelt, gilt für das richtige Zusammenzählen:
D = – a21 ·A21 + a22 ·A22 – a23 ·A23
Damit die Vorzeichen für Aij bzw. aij mit dem Zeilenindex i und dem + – + –
Spaltenindex j richtig gewählt werden, gilt folgende Regel: – + – +
Das erste Produkt mit a11 (links oben) ist immer positiv. + – + –
Zeilenweise bzw. Spaltenweise wechselt jeweils das Vorzeichen. – + – +
Oder man geht von der Formel aus: D = Σ (–1)i+j aijEAij ,
das heißt., negativ sind alle Elemente oder Adjunkten, deren
Summe von Zeilen- und Spaltenindex ungerade ist (Exponent, ungerade Anzahl von „–“)!
Eine ältere Erklärung geht von der ungeraden Anzahl von Inversionen (Umkehrungen) der
Spaltenindizes j aus, d.h., wie oft der Spaltenindex rückwärts (entgegen Zählrichtung) auftritt:
1 2 3 0 Inversionen 2 3 1 2 Inv. 3 1 2 2 Inv. 0 und 2 gerade à positiv +
1 3 2 1 Inversion 2 1 3 1 Inv. 3 2 1 3 Inv. 1 und 3 ungerade à negativ –
Jede weitere Unterdeterminante n – (1.. 2.. 3) aber mit n >2, die wieder über die Elemente einer Zeile entwickelt wird, hat das gleiche Vorzeichenschema mit „+“ beginnend, da sie wiederum als Determinante mit mehreren Adjunkten angesehen werden muss!
Eigenschaften von Determinanten:
1. Ein gemeinsamer Faktor in allen Elementen einer Zeile kann als Faktor vor die Determinante
gezogen werden, da er ja auch in allen Kreuzprodukten gemeinsam auftreten würde.
2. Beim Vertauschen zweier Zeilen ändert die Determinante ihr Vorzeichen. Die Elemente
wechseln in den Kreuzprodukten und damit ihre Ausrichtung.
3. Durch Vertauschen der Zeilen mit den Spalten (Transponieren) ändert sich der
Determinantenwert nicht, symbolisiert wird sie mit AT als transponierte Matrix. Bildlich
wird die Matrix an der rechtsgeneigten Diagonale (pos. Kreuzproduktachse) gespiegelt
4. D = 0 , wenn eine Zeile die Linearkombination einer anderen Zeile ist ( siehe Matrix).
Das Summenverfahren ergibt dabei eine Zeile aus Nullen. Das System ist nicht lösbar!
5. Eine Determinante lässt sich nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln.
6. Eine Determinante kann vorher mit teilweisem Summenverfahren vereinfacht werden.
Durch die entstehenden Nullen entfallen mehrfach Kreuzprodukte und auch die Chance auf
einen gemeinsamen Faktor (Punkt 1) erhöht sich.
Zu 3. 3 1 6 3· 9 + 8· 4 + 6· 2·5 3 2 4 3· 9 + 2 ·5· 6 + 4 · 8
A = 2 1 8 – 2· 9 – 6 · 4 – 3· 8· 5 AT = 1 1 5 – 2· 9 – 4 · 6 – 3· 5· 8
4 5 9 = 1· 9 + 2· 4 – 12 · 5 = – 43 6 8 9 = 1· 9 + 6 · 6 – 11 · 8 = – 43
Zu 6.
nach 3. Zeile entwickeln
3 9 6 12 :3(auskl.) 1 3 2 4 1 3 2 4 + – + –
2 –1 8 3 = 3· 2 –1 8 3 = 3E21E 2 –1 8 3 – + – +
4 8 3 –5 4. – 3.Z. 0 0 21 21 : 21 0 0 1 1 + – + –
1 2 6 4 (E4) 1 2 6 4 1 2 6 4
Adjunkte für a31 (0) und a32 (0) entfallen!
+ – + – ( + – + )
1 3 4 1 3 2
= 63 · 1· 2 –1 3 – 1· 2 –1 8 = 63 +1(– 4 – 3·2) –3 (2·4 – 3·1) +4 (2·2 – (–1)·1)
1 2 4 1 2 6 –1 (– 6 – 8·2) +3 (2·6 – 8·1) – 2 (2·2 – (–1)·1)
beide nach 1. Zeile entwickelt = 63 (– 10 – 15 + 20 + 96 + 12 – 10) = (–63)· 93
= 5 859
7.6.4 Rechnen mit mehreren Matrizen
Bisher galt es, mit der Variablen- und der Ergebnismatrix ein Funktionsgleichungssystem zu lösen (Matrixumformung (Gauß) und Determinantenrechnung (Cramer)). In der praktischen Anwendung liegen aber vorwiegend Daten in Tabellenform vor. In der Produktion spricht man von Verflechtungsmatrizen, z.B. die Produktion einzelner Zulieferer untereinander und mit dem Finalproduzenten abzustimmen. Die einzelnen Matrizen (Produktionsdaten) müssen also vorwiegend mit Summe, Differenz oder Multiplikation miteinander verknüpft werden.
Eine andere Kurzform für Ansatz und Lösung eines Linearen Systems ist folgende:
Lineares System A·x = B x Variable, A Variablenmatrix, B Ergebnis(spalten)matrix
Lösung allgeimein x = A–1 · B à x = · B Cramer: x1 = ·
A–1 ist nur im übertragenem Sinn der „Kehrwert“. Sie wird als Inverse zur Matrix A bezeichnet und ist das direkte Komplement, das zur Einheitsmatrix führt A· A–1 = (Einheitsmatrix)
Die transponierte Matrix AT (gleicher Wert) wird über die rechtsgeneigte Diagonale gespiegelt.
Die inverse Matrix A–1 (Gegenwert) wird über die linksgeneigte Diagonale gespiegelt mit der „Minus“-Kennung daran: z.B. A = [[Image:]] à A–1 = [[Image:]] [[Image:]] mit D = |A| = 2
Während die Cramer-Regel die Ergebnismatrix B in die Determinante einbezieht, wird hier B mit der Gegenmatrix A–1 multipliziert, also eine Matrizen-Produkt durchgeführt:
Summe und Differenz von Matrizen
Rechenregel 1 sagt: Nur Gleichartiges kann verrechnet werden. In einer Matrix beim Summen-
verfahren waren es die gleichen Spalten-Elemente ai j. In mehreren Matrizen sind dies die Elemente an der gleichen Stelle aij, wobei Index i die Zeile und j die Spalte angibt. Demzufolge können auch nur Matrizen gleicher Größe (Zeilen- und Spaltenzahl) verrechnet werden.
Aij G Bij = aij G bij à bei den Matrizen A und B wird nur von den jeweils gleichstelligen
Elementen (Z./Sp., Index ij) die Summe bzw. Differenz gebildet wird.
2 3 4 1 3 2 3 6 6 a b c j k l a + j b + k c + l
1 2 3 + 2 3 2 = 3 5 5 d e f + m n o = d + m e + n f + o
5 0 1 1 4 3 6 4 4 g h i p q r g + p h + q i + r
Multiplikation von Matrizen
Schulisch gehört sie eindeutig in die Koordinatengeometrie mit Vektoren, denn sie stellt das Skalarprodukt zweier Vektoren dar (siehe 8.3.2/3). Matrizen sind deshalb keine normalen „Faktoren“ und dürfen nicht vertauscht werden: AEB @ BEA
Beim Zahlenprodukt liegen alle Elemente auf einer Koordinate, der Zahlengeraden. Hier werden alle sich ergebenden Elementarprodukte („Jedes mit Jedem“) aufsummiert:
123E456 = (100+20+3)E(400+50+6) = 100E(400+50+6) + 20E(400+50+6) + 3E(400+50+6)
Dieses in die Summe von 9 Elementarprodukten aufgespaltete Zahlenprodukt entspricht im
Koordinatensystem xyz aber nur einem einzigen Elementarprodukt z.B. nur xEx auf einer Koordinate (eine Richtung, hier x-Achse).
Beim Skalarprodukt mit 3 Koordinaten sind dies analog 3 Elementarprodukte, die aufsummiert werden müssen! Nur gleichliegende Elemente der gleichen Richtung bilden hier das Produkt!
(x y z)E(x y z) = (x2 + y2 + z2 ) à (1 2 3)E(4 5 6) = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32
3 Elementarprodukte à 1 Element
entsprechend 3 Koordinaten der Ergebnismatrix
Die praktizierte Matrizenmultiplikation wird jedoch mit x
der Transponierten AT der 2. Matrix vorgenommen: (x y z) E y = ( x2 + y2 + z2 )
(AT ist diagonal umgesetzte Matrix: Zeile wird Spalte) z « 1 Element der
Jede Zeile mal Spalte ergibt jeweils 1 Element der Ergebnismatrix
Ergebnismatrix an der Kreuzungsstelle von Zeile und Spalte!
Die buchstabenmäßige Zuordnung der Koeffizienten, z.B. a zu x oder b zu y wird im Interesse der Gleichbehandlung von Vektor-(Kreuz-)Produkt und Matrizen der Wirtschaftsrechnung theoretisch aufgehoben.
2. Zeile / 1. Spalte 1. Zeile / 2. Spalte
a1 a2 a3 d1 d2 d3 a1d1 + a2e1 + a3f1 a1d2 + a2e2 + a3f2 a1d3 + a2e3 + a3f3
b1 b2 b3 · e1 e2 e3 = b1d1 + b2e1 + b3f1 b1d2 + b2e2 + b3f2 b1d3 + b2e3 + b3f3
c1 c2 c3 f1 f2 f3 c1d1 + c2e1 + c3f1 c1d2 + c2e2 + c3f2 c1d3 + c2e3 + c3f3
Damit ergibt sich als theoretisch festgelegte Rechenweise:
Matrizen werden multipliziert, indem die Summe aller Elementarprodukte aus gleichstelligen Elementen von Zeile mal Spalte gebildet wird.
7.7 Rechnen mit komplexen Zahlen
Bei der Lösung von Funktionsgleichungen geraden nten Grades (gerader Wurzelexponent) kann der Wurzelwert (Radikant) negativ sein, z.B. [[Image:]] = [[Image:]] = 2·[[Image:]] = 2· j = 2j
Der negative Wert wird mit „–1“ umgeformt, so dass aus dem positiven Faktor die Wurzel gezogen und Ö–1 = j als dessen imaginäre Einheit bezeichnet wird bzw. der Gesamtwert 2j als imaginäre Zahl, bestehend aus reeller Zahl und Imaginäreinheit. jy
Eine komplette Funktion in Normalform z = x + jy ist dann eine Z = z1 + z2 z1
Komplexe Zahl z, bestehend aus reeller Zahl x und Imaginärzahl jy! r
z2 j
Das Verrechnen entspricht der Vektorrechnung (s. 8.3) –x
Z = x + jy mit x = r·cos j und y = r·sin j à Z = r (cos j + j sin j)
Ähnliche Beziehungen entstehen durch die Quadrate von Winkelfunktionen:
sin(Arccos x) = Ö1 – x2 à führt zur Eulerschen Formel ejj = cos j + j sin j
oder auch die Kepplerschen Gravitationsgesetze: ejwt = cos wt + j sin wt
Euler führte auch die Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen und den Exponentialfunktionen als Hyperbolische Winkelfunktionen, z.B. Sinushyperbolicus sinh x ein (à Hochschule).
Beisp. aus der Physik: Scheinwiderstand Z = Ö R2 + X2 X - Blindwiderstand
Der Blindwiderstand kann durch die Phasenverschiebung cos j negativ werden und dadurch auch die Wurzel.
=
F
–1 =
allg. F = f
1
(f
2
) Logarithmus als
verkettete
F
F = f
1 (f 2 )
f
1 äußere Funktion, f 2 die innere Funktion.
In der Differenzialrechnung wird f
2 oft durch einen Parameter ersetzt (substituiert)
F
–1 , f Symbole der Umkehrfunktion (F –1 ist nicht gleichzusetzen mit negativem Exponent!)
f 1 , f 2 oder u , v - mögliche Symbole für die Einzelglieder (den Grundfunktionen).
Umkehrfunktionen
wie beim letzten Beispiel sind ein selbständiger Abschnitt in den Schulbüchern für Anwendungen von Integration und Differenziation. Um die oft schwerverständliche Symbolik und Zuordnung zu verstehen, soll hier logisch einfach noch einmal festgestellt sein:
Funktion
Umkehrfunktion
y = f(x)
x = f(y)
y = f(x)
x = f(y)
einfach negiert
- nur Funktion nur Variable
nur Variable nur Funktion
y = x
2
x =
=
y =
=
x = y
2
(
= y 2 )
doppelt Variable Variable Variable Variable
negiert: + Funktion + Exponent + Funktion + Exponent
y = sin x
x = arcsin y
y = arcsin x
x = sin y
doppelt negiert (3. Rechenregel) ist eine gleiche Funktion (identische Kurve)!
Funktion y y Definitionsgröße Definitionsgröße y
y Funktion
y = x 2
x = y
2
x = y
y =
x
P(y,x) P(x,y)
Funktion x Definitionsgröße x
Definitionsgröße x Funktion x
7.3.2 Reihen, Partialsummen und Partialsummenfolgen (Summe der Folgeglieder)
Übersicht:
Arithmet. Folge
Geometr. Folgen
Mal-Folge Faktor-Folge Fakultät !
Potenz-F. Binompotenz-F
a
1 = a 1
d = a a
1 = a 1 •q 0
a
1 =1; q=n q = a a 1 = (a + b) 1
a
2 = a 1 +d = a 1 + 1•d a 2 = 2•a a 2 = a 1 •q = a 1 •q 1
a
2 =1•2 a 2 = a 2
a
2 = (a + b) 2
a
3
= a
2
+d = a
1
+ 2•d a
3
= 3•a a
3
= a
2
•q = a
1
•q
2
a
3 =1•2•3 a 3 = a 3
a
3 = (a + b) 3
a n+1 = a n +d a n =a 1 +(n–1)d a n = n a a n+1 =a n q a n =a 1 q n - 1
a
n = n! a n = a n
a
n = (a + b) n
rekursiv explizit explizit rekursiv explizit explizit explizit e
xplizit
a n = s n
+
(Pascalsches )
Reihen
- s
n = a 1 + a 2 + a 3 …+ a n
=
(s
n - Summe aller einzelnen Folgeglieder)
Wahrscheinlichkeitslehre II Abiturstufe (Grundlagen siehe 5.6)[Bearbeiten]
7.9.1 Übersicht
Aufbauend auf den Grundlagen in 5.6 werden relativ schwierige Problemstellungen betrachtet und es kommt eine enorme Vielgestaltigkeit hinzu. Neue bildhafte Hilfsmittel sind neben der Tabelle und dem Baumdiagramm besonders die Mehrfeldtafel und die Verteilungskurven. Letztere sind auch als Tabelle im Tafelwerk zu ersehen. Besonders wichtig ist bei der Kompliziertheit der Aufgaben, den richtigen Ansatz aus der richtigen Problematik zu finden! Dazu soll der nachfolgende Lösungsablauf helfen. Bei der immensen Vielfalt der Berechnungsmöglichkeiten ist nur eines hilfreich: Eine ganz klare Einordnung in einstufige bzw. wiederholt einstufige Vorgänge (unbedingte P) mit unabhängigen Ereignissen oder in die mehrstufigen Vorgänge mit abhängigen Ereignissen (bedingte P) geben zu können! Das für mehrstufige Versuche charakteristische Baumdiagramm wird irritierend auch für einstu- fige Versuche verwendet, verständlich für die bildhafte Erstellung der möglichen Ergebnisse, aber ein falsches Bild, da vom Start aus immer nur eine einzige Verteilungsverzweigung besteht! Für jeden Normalschüler soll im Folgenden die oft undurchsichtige und schwerverständliche Theorie etwas klarer strukturiert werden, damit ein „roter Leitfaden“ zu erkennen ist. Eine Wahrscheinlichkeit der Erfolgsquote soll aber nicht erfragt werden.
Allgemeiner Lösungsablauf :
1. Aufgabe analysieren
In jeder Aufgabe geht es um Ergebnisse, Ereignisse oder Zufallsgrößen. Letztere sind meist anders definierte Ereignisse von Ereigniskombinationen z.B. Gewinn oder Treffer. Die innerste Möglichkeit ist dabei ein Treffer mit einer Auswahl aus einer Auswahl aus einer Gesamtmenge. Alles sind Mengenzusammenstellungen aus der Kombinatorik. Sie werden n-Tupel genannt. Eine Tupelschreibweise für Zufallsgrößen ist z.B. das 5-Tupel (x1 x2 x3 x4 x5). Jede Aufgabe ist prinzipiell ein Verteilungsproblem. Der 1. Entscheidungsschritt ist deshalb immer, dessen Art und Weise zu erkennen und damit die Einordnung: a) Wird gleichzeitig aus einem „Topf“ verteilt (einstufiger Vorgang, unbedingte P) b) Wird diese Verteilung immer wieder wiederholt (einstufige Versuchsserie, Normal- /Gauß-Verteilung, bei Binärereignissen A-A Binominal-/Bernoulli-Verteilung oder Bernoulli-Kette) c) Wird nacheinander aus dem Topf verteilt (mehrstufiger Vorgang, abhängige E, bedingte P) d) Sind beim mehrstufigen Vorgang noch andere zufallsbedingte Funktionsparameter im Spiel, diese jedoch mit festen Größen einkalkulierbar Markowsche Ketten, stochstische Prozesse)
2. Was ist erfragt?
Mit Ausnahme der Verteilungskurven, die meist die relative Häufigkeit (statistische P) in Abhängigkeit von der Versuchsanzahl N widerspiegeln, geht es in fast allen Fällen um die klassische Wahrscheinlichkeit, deren gefragte Fälle bzw. ihre Berechnung den umfangreichsten Bereich in der Wahrscheinlichkeitstheorie in Verbindung mit der Kombinatorik ausmachen! Ein Denkproblem ist oft die Zuordnung der Verteilungssachen: 3 Karten werden auf 15 Schüler verteilt. 3 Karten sind unrelevant, die Auswahl (Kombination) ist 3 Schüler von 15 Schülern!
Klassische Wahrscheinlichkeit: P (E) = [[Image:]] k - gefragte, n - mögliche Fälle
Statistische Wahrscheinlichkeit P (E) = [[Image:]] H - Absolute Häufigkeit, N-Versuchsanzahl Axiomatische Wahrscheinlichkeit (nach Kolmogorow): Alle Zufallsereignisse müssen zu dem selben System gehören.
3. Welche Vorgehensweise?
Bei einfachen und übersichtlichen Fällen wird sofort die Formel der klassischen Wahrscheinlichkeit verwendet, wenn die gefragten Fälle leicht abgezählt oder kombinatorisch ersichtlich ermittelt werden können. Die Ersichtlichkeit der 6 Kombinatorik-Formeln ist aber oft die Schwierigkeit und bei bestimmten Aspekten müssen diese auch noch abgewandelt werden. Bei schwierigen Aufgaben, aber immer nur für kleine Ereigniszahlen, wird die Tabelle, die Mehrfeldtafel (für 2 –3 duale Ereignisse) oder bei abhängigen Ereignissen das Baumdiagramm als Hilfsmittel gewählt. Dabei können allgemein die Ereigniskombinationen eingeschrieben werden um bildhaft leichter die richtigen Formeln zu finden oder bei nicht so umfangreichen direkt die Einzelwahrscheinlichkeiten, um in deren UND bzw. ODER -Verbindungen gleich die Gesamtwahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Liegen statistische Daten vor, geht die Fragestellung zu den Verteilungskurven hin mit der Statistischen Wahrscheinlichkeit.
4. Verteilungskurven
Ein eigenständiger Bereich, in dem es um umfangreiche statistische Untersuchungen geht wie Qualitätstests, Optimierung der Logistik oder wirtschaftliche, verwaltungstechnische oder politische Prognosen. Aus ihnen werden bestimmte Merkmale/Größen wie Erwartungswert, Streuung oder Standardabweichung herausgefiltert, um entsprechende Bewertungen oder Prognosen geben zu können. Sie gehören eindeutig zum einstufigen Prozess, der in n Versuchen (n-mal) wiederholt wird.
5. Formeln
Die „Ereignisalgebra“ sind alle Formeln/Funktionen, die aus der Kombinatorik für die
zusammengestellten Tupel eingesetzt bzw. aus ihnen hergeleitet werden. Dies sind die Permutation
sowie die Variation und Kombination mit und ohne Wiederholung. In diesen 6 Formeln müssen
wiederum 2 weitere Aspekte Berücksichtigung finden:
1. Liegt ein einstufiger oder mehrstufiger Vorgang (Ereignisabhängigkeit) vor?
Der einstufige bedeutet gleichzeitig, dass ein ideeller Tupel vorliegt.
Wenn das selbe Element mehrmals gezogen werden kann, ist es ein gedankliches Zählen und in
diesem Fall „mit Wiederholung“. Ein „reales“ Elemente -Tupel wird beim
mehrstufigen Vorgang erzeugt. Es kann nicht mehr zusammengestellt werden, als im
„Topf“ real vorhanden ist. Fast ausschließlich geht es aber nicht um die einzelnen Elemente,
sondern um ihre Eigenschaften. Meist sind gleiche Eigenschaften bei mehreren Elementen
vorhanden (5 rote Kugeln) und damit auch „mit Wiederholung“ möglich.
2. Die gefragten Ereignisse können sein:
a) Eine Tupelanzahl, die gefragten Charakter besitzt (Auswahl oder Komplexereignis)
b) Ein oder mehrere Tupel, bei denen es um den Elementecharakter innerhalb des Tupels geht,
z.B. Trefferquote für 2 rote Kugeln oder 4er bei 6 aus 49 usw. (Auswahl aus einer
Auswahl). Hierbei ist formelmäßig zu beachten, dass zur Berechnung der inneren Auswahl
noch der Faktor der äußeren Auswahl hinzu kommt zur totalen Wahrscheinlichkeit zur
äußeren möglichen Gesamtmenge einschließlich aller Gegenereignisse q = p = (1 – p) . Sie drückt
sich in der Produktregel aus mit P = p k p n – k = p
k (1 – p) n – k (bei Zufallsgrößen) in der Summenregel aus mit P = P(A) + P(A) = P(A) + (1 – P(A))
Oft wird vom Urnenmodell aus die Theorie einstufig (mit)
und mehrstufig (ohne Zurücklegen) erklärt und aufbauend folgend die
1. Pfadregel , die UND -Verknüpfung (Produkt) zu einem Ereignis (1 n-Tupel) und die
„2. Pfadregel“, die ODER -Verknüpfung (Summe) mehrerer Pfade zum Komplexereignis.
7.9 Wahrscheinlichkeitslehre II
(Grundlagen siehe 5.6)
7.9.1 Übersicht
Aufbauend auf den Grundlagen in 5.6 werden relativ
schwierige Problemstellungen
betrachtet und es kommt eine
enorme Vielgestaltigkeit
hinzu. Neue bildhafte Hilfsmittel sind neben der Tabelle und dem Baumdiagramm besonders die Mehrfeldtafel und die Verteilungskurven.
Letztere sind auch als Tabelle im Tafelwerk zu ersehen.
Besonders wichtig ist bei der Kompliziertheit der Aufgaben, den
richtigen Ansatz
aus der
richtigen Problematik
zu finden! Dazu soll der nachfolgende Lösungsablauf helfen.
Bei der immensen Vielfalt der Berechnungsmöglichkeiten ist nur eines hilfreich:
Eine ganz klare Einordnung in
einstufige
bzw. wiederholt einstufige
Vorgänge
(
unbedingte P
) mit
unabhängigen
Ereignissen oder in die
mehrstufigen Vorgänge
mit
abhängigen
Ereignissen
( bedingte P ) geben zu können!
Das für mehrstufige Versuche charakteristische Baumdiagramm wird irritierend auch für einstu-fige Versuche verwendet, verständlich für die bildhafte Erstellung der möglichen Ergebnisse, aber ein falsches Bild, da vom Start aus immer nur
eine
einzige Verteilungsverzweigung besteht!
Für jeden Normalschüler soll
im Folgenden die oft undurchsichtige und schwerverständliche Theorie etwas klarer strukturiert werden, damit ein „roter Leitfaden“ zu erkennen ist. Eine Wahrscheinlichkeit der Erfolgsquote soll aber nicht erfragt werden.
Allgemeiner Lösungsablauf :
1.
Aufgabe analysieren
In
jeder
Aufgabe geht es um Ergebnisse, Ereignisse oder Zufallsgrößen. Letztere sind meist anders definierte Ereignisse von Ereigniskombinationen z.B. Gewinn oder Treffer. Die innerste Möglichkeit ist dabei ein Treffer mit einer Auswahl aus einer Auswahl aus einer Gesamtmenge.
Alles sind Mengenzusammenstellungen aus der Kombinatorik. Sie werden
n
-
Tupel
genannt.
E ine Tupelschreibweise für Zufallsgrößen ist z.B. das 5-Tupel (x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ).
Jede
Aufgabe
ist prinzipiell ein
Verteilungsproblem
. Der 1. Entscheidungsschritt ist deshalb immer, dessen Art und Weise zu erkennen und damit die Einordnung:
a) Wird gleichzeitig aus einem „Topf“ verteilt ( einstufiger Vorgang , unbedingte P)
b) Wird diese Verteilung immer wieder wiederholt (
einstufige Versuchsserie
, Normal-/Gauß-
Verteilung, bei Binärereignissen A-A Binominal-/Bernoulli-Verteilung oder Bernou
lli-Kette)
c) Wird
nacheinander
aus dem Topf verteilt (
mehrstufiger Vorgang
, abhängige E, bedingte P)
d) Sind beim mehrstufigen Vorgang noch andere zufallsbedingte Funktionsparameter im Spiel,
diese jedoch mit festen Größen einkalkulierbar
Markowsche Ketten, stochstische Prozesse)
2. Was ist erfragt?
Mit Ausnahme der Verteilungskurven, die meist die relative Häufigkeit (
statistische P
) in Abhängigkeit von der Versuchsanzahl N widerspiegeln, geht es in fast allen Fällen um die
klassische Wahrscheinlichkeit
, deren
gefragte Fälle
bzw. ihre Berechnung den umfangreichsten Bereich in der Wahrscheinlichkeitstheorie in Verbindung mit der
Kombinatorik
ausmachen!
Ein Denkproblem ist oft die Zuordnung der Verteilungssachen: 3 Karten werden auf 15 Schüler verteilt. 3 Karten sind unrelevant, die Auswahl (Kombination) ist 3 Schüler von 15 Schülern!
Klassische
Wahrscheinlichkeit:
P
(E)
=
k - gefragte, n - mögliche Fälle
Statistische
Wahrscheinlichkeit
P
(E)
=
H - Absolute Häufigkeit, N-Versuchsanzahl
Axiomatische
Wahrscheinlichkeit (nach Kolmogorow):
Alle Zufallsereignisse müssen zu dem selben System gehören.
3.
Welche Vorgehensweise?
Bei einfachen und übersichtlichen Fällen wird sofort die Formel der klassischen Wahrscheinlichkeit verwendet, wenn die gefragten Fälle leicht abgezählt oder kombinatorisch ersichtlich ermittelt werden können. Die Ersichtlichkeit der 6 Kombinatorik-Formeln ist aber oft die Schwierigkeit und bei bestimmten Aspekten müssen diese auch noch abgewandelt werden.
Bei schwierigen Aufgaben, aber immer nur für kleine Ereigniszahlen, wird die
Tabelle
, die
Mehrfeldtafel
(für 2 –3 duale Ereignisse) oder bei abhängigen Ereignissen das
Baumdiagramm
als Hilfsmittel gewählt. Dabei können allgemein die Ereigniskombinationen eingeschrieben werden um bildhaft leichter die richtigen Formeln zu finden oder bei nicht so umfangreichen
direkt die Einzelwahrscheinlichkeiten, um in deren UND bzw. ODER -Verbindungen gleich die Gesamtwahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Liegen statistische Daten vor, geht die Fragestellung zu den
Verteilungskurven
hin mit der Statistischen Wahrscheinlichkeit.
4. Verteilungskurven
Ein eigenständiger Bereich, in dem es um umfangreiche statistische Untersuchungen geht wie Qualitätstests, Optimierung der Logistik oder wirtschaftliche, verwaltungstechnische oder
politische Prognosen. Aus ihnen werden bestimmte Merkmale/Größen wie Erwartungswert , Streuung oder Standardabweichung herausgefiltert, um entsprechende Bewertungen oder Prognosen geben zu können. Sie gehören eindeutig zum einstufigen Prozess , der in n Versuchen (n-mal) wiederholt wird.
5. Formeln
Die „ Ereignisalgebra “ sind alle Formeln/Funktionen, die aus der Kombinatorik für die zusammengestellten Tupel eingesetzt bzw. aus ihnen hergeleitet werden. Dies sind die Permutation sowie die Variation und Kombination mit und ohne Wiederholung. In diesen 6 Formeln müssen wiederum 2 weitere Aspekte Berücksichtigung finden:
1. Liegt ein einstufiger oder mehrstufiger Vorgang (Ereignisabhängigkeit) vor?
Der
einstufige bedeutet gleichzeitig, dass ein ideeller Tupel vorliegt. Wenn das selbe Element mehrmals gezogen werden kann, ist es ein gedankliches Zählen und in diesem Fall „mit Wiederholung“. Ein „ reales “ Elemente - Tupel wird beim mehrstufigen Vorgang erzeugt. Es kann nicht mehr zusammengestellt werden, als im „Topf“ real vorhanden ist. Fast ausschließlich geht es aber nicht um die einzelnen Elemente, sondern um ihre Eigenschaften. Meist sind gleiche Eigenschaften bei mehreren Elementen vorhanden (5 rote Kugeln) und damit auch „mit Wiederholung“ möglich.
2. Die gefragten Ereignisse können sein:
a) Eine Tupelanzahl, die gefragten Charakter besitzt (
Auswahl oder Komplexereignis )
b) Ein oder mehrere Tupel, bei denen es um den Elementecharakter innerhalb des Tupels geht,
z.B. Trefferquote für 2 rote Kugeln oder 4er bei 6 aus 49 usw. (
Auswahl aus einer Auswahl ). Hierbei ist formelmäßig zu beachten, dass zur Berechnung der inneren Auswahl noch der Faktor der äußeren Auswahl hinzu kommt zur totalen Wahrscheinlichkeit zur äußeren möglichen Gesamtmenge einschließlich aller Gegenereignisse q = p = (1 – p) . Sie drückt sich
in der Produktregel aus mit P = p
k p
n – k = p
k (1 – p) n – k
(bei Zufallsgrößen)
in der Summenregel aus mit P = P(A) + P(A) = P(A) + (1 – P(A))
Oft wird vom Urnenmodell aus die Theorie einstufig (mit) und mehrstufig (ohne Zurücklegen) erklärt und aufbauend folgend die
1. Pfadregel , die UND -Verknüpfung (Produkt) zu
einem Ereignis (1 n-Tupel) und die
„2. Pfadregel“, die ODER -Verknüpfung (Summe)
mehrerer
Pfade zum Komplexereignis.
7.6 Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen
(Funktionen und Vektoren)
Zielstellung
Es soll erkannt werden, dass alle funktionellen Zusammenhänge auf die vielfältigste Weise dargestellt und interpretiert werden können, über die Matrizenrechnung aber eine allseitig anwendbare mathematische Rechenweise existiert, die auf der Grundlage der Elementar-mathematik (1. bis 10. Klasse) eine konkrete Berechnung für alle „Probleme“ durchführt.
Sie muss unterschieden werden in die
Matrixumformung
für normales LGS (6.7.2 Summen- und 6.7.3 Einsetzungsverfahren) sowie in die echte
Matrizenverrechnung
(6.7.4
à
Vektoren)!
Die Fähigkeit zur Verallgemeinerung (Abstrahierung) konkreter Objekte oder Systeme zu abstrakten Strukturen bzw. Modellen ist dabei der Hauptkern.
7.6.1 Begriffsbestimmungen
LGS
Kürzel für Lineare Gleichungssysteme. Exakter handelt es sich jedoch um lineare Funktionssysteme mit mindestens 2 funktionell zusammenhängenden Funktionen , die eine gemeinsame
Lösung suchen, den gemeinsamen Schnittpunkt der Funktionskurven bzw. die Nullstelle einer sich ergebenden Gesamtfunktion.
Matrix
ist ein einheitliches Zahlenschema (verschlüsselte Form) für Funktionssysteme in Gleichungs-, Tabellen- oder Grafenform, das zur Erkennung der Codierung in runde Klammern gefasst wird. Dies gilt auch für wirtschaftliches Rechnen, wo die benötigten Daten oft in Tabellen vorliegen.
Die einfachste Erklärung ist das „Element“
Zahl
, die ja bekanntlich die Funktion von 10 Ziffern ist, sie ist eine
Ziffernmatrix
. Allgemein für alle Anwendungen wird jedoch konkreter von der
Koeffizientenmatrix
gesprochen, denn nur die Koeffizienten vor den Variablen (hier die Stellenwerte / Zehnerpotenzen) werden herausgeschrieben:
Zahl (Zifferncode): 345 = 3•100 + 4•10 + 5 • 1 (3 4 5) Zeilenmatrix
a •10
2 + b •10 1 + c •10 0
(a b c)
(1 Zeile)
Gleichungssystem: y 1
= a
1 • x 1 + a 2 • x 2
+ a
3 • x 3
a
1
a
2
a
3
y
1
Spaltenmatrix
y 2
= b
1 • x 1 + b 2 • x 2
+ b
3 • x 3
b
1
b
2
b
3
y
2
(Ergebnismatrix)
(1 Spalte)
Vektorzerlegung : V
1
= a
1 x + a 2 y + a 3 z a 1
a
2
a
3
V
1
V
2
= b
1 x + b 2 y + b 3 z b 1
b
2
b
3
V
2
Bilanzierung/Optimierung (Aufwand-Nutzen
à
Wirtschaftsmathematik) :
W
1
= w
1
x
1
+ w
2 x 2
+ w
3 x 3
w
1
w
2
w
3
W
1
W
2 = w 21 y 1
+ w
22 y 2 + w 23 y 3
w
21
w
22
w
23
W
2
à Maximum
W 1 Gesamtwert der Produktionslinie 1 mit Bruttowerten w n der Einzelprodukte x n
W 2
Gesamtwert der Produktionslinie 2 mit Bruttowerten w
kn der Einzelprodukte y kn
Die gesamte Warenproduktion W 1 + W 2 muss ein Maximum werden.
Größtenteils liegt lineare Optimierung vor. Wird jedoch z.B. die menschliche Leistung in die Berechnungen einbezogen, die ja weder über den Tag konstant ist, noch linear abnimmt, liegen nichtlineare Funktionen (Produktionsfaktoren) vor. In bestimmten Sonderfällen kann aber ein nichtlineares Funktionssystem in ein lineares umgeformt und über Matrizen gelöst werden, wenn durch das Summenverfahren die nichtlinearen Glieder wegfallen.
Zeilenmatrix
- Die Matrix einer Gleichung, Zahl (345) oder eines Vektors hat nur
eine Zeile
Spaltenmatrix
- Die Matrix
einer einzigen Spalte , z.B. Ergebnismatrix oder ein Vektor
Determinante
- Ist der ausgerechnete
Gesamtwert einer Matrix (des Koeffizientenschemas), der in die vorgegebenen Berechnungsformeln für die einzelnen Variablen eingesetzt wird à siehe
„
Cramersche Regel
“, welche dem Einsetzungsverfahren entspricht
à
Der Gesamt„wert“ (rechte Seite) einer explizit gegebenen Variablen wird in der nächsten Funktion für diese eingesetzt.
Schreibformen sind
|A|
oder det (A) der Matrix A
Linearkombination
Entspricht der Normalform einer linearen Gleichung / Funktionsgleichung:
Bei Vektoren die Vektorensumme/~Differenz bzw. ein aus seinen Koordinatenkomponenten zusammengesetzter Vektor: Elementarvektor 48 = Linearkombination aus 4•10 1 + 8•10 0
Linearfaktoren Die Zahl als Code bzw. Ergebnis ist gleichbedeutend mit der decodierten (aufgeschlüsselten) Produktform (Primfaktoren): 48 = 2 • 2 • 3 • 4
Die „Primfaktoren“ einer Funktionsgleichung heißen Linearfaktoren und sind oft in Klammern zu setzende Binompotenzen 1. Grades (linear).
Z.B. besteht das Ergebnis einer Polynomdivision aus Linearfaktoren
y = f(x) = (x – n
1 ) 1 • (x – n 2 ) 1
à
quadratische Gleichung aus Linearfaktoren
{ = x
2 – (n 1 +n 2 ) x + n 1 n 2 } à
Normalform (n
1 , n 2 - Nullstellen)
Lineare Operatoren
Ein Operator symbolisiert mathemat. Operationen wie bei der Summe das „+“ oder „Σ“,
logische Operatoren wie UND (
) und ODER (
), geometrische Operatoren wie „Verschiebung“ und „Drehung“ (
Abbildungen
). In der Funktionstheorie bezeichnet man eine festgelegte
Zuordnungsvorschrift
, also eine Funktion selber als Operator, wenn sie Werte oder Größen aus verschiedenen Bereichen („Räumen“) in dieser Funktion (gemeinsamen „Raum“)
abbildet
.
Ein
linearer
Operator (1. Grades) macht das
verzerrungsfrei
- F (A,B) =
A 1 (x) x + B 1 (y) y
Gesamtlösung eines Funktionssystems
Wie aus 5.4 bekannt, werden Funktionssysteme über das Summenverfahren oder
das
Einsetzungsverfahren
zur Bestimmungsgleichung und damit konkreten Werteberechnung gebracht.
Das Nullstellenverfahren ist ja die konkrete Lösung einer Funktion, also nicht des Systems.
Durch Reduzierung der Variablen über beide Verfahren (zusammengefasste, „erweiterte“ Gleichungen) ergibt sich eine Bestimmungsgleichung für
eine
Variable. Diese wird mit ihrem errechneten Wert zurückgehend in die letzte Funktion eingesetzt und damit konkret die 2. Variable bestimmt, diese wieder in die davor liegende Gleichung und bestimmt die nächste Variable usw.