Benutzer:WonderBlood/ZF BSc/Geodäsie/AR/Einfache Ausgleichungsprobleme

Ausgleichung direkter Beobachtungen

Vermittelnde Ausgleichung mit 1 Unbekannten

• Ausgangsproblem
  • Für eine Größe liegen mehrere Beobachtungen vor (überbestimmt)
• Lösungsansatz
  • Mittels MdkQ, dies ergibt ausgeglichene Unbekannte

MdkQ - Gewichstsmittel

gesuchte Größe

X

Beobachtungen

$L_{1}$, $L_{2}$, $L_{3}$, ...

mit Gewichten

$p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, ...

Unterscheiden sich die Gewichte, resultiert dies aus ungleich genauen Beobachtunen

Vermittelnder Ansatz

Beobachtungsgleichung (BGL)

$L_{1}+v_{1}=X$

$L_{2}+v_{2}=X$ = ${\overline {L}}=L+v=f(x)$ Funktion der Unbekannten X

$L_{3}+v_{3}=X$

Aufgelöst nach v (Verbesserungsgleichung, VGL)

$v_{1}=X-L_{1}$

$v_{2}=X-L_{2}$ = $v=f(x)-L$

$v_{3}=X-L_{3}$

Bilanz

Es sind

• n Verbesserungen und
• 1 Unbekannte ($X$) zu bestimmen

Lösung

Berechnung von $X$ mit dem Gewichtsmittel: $X={\sum {p\cdot L} \over \sum {p}}$

Ausgleichung von bedingten Beobachtungen

Bedingte Ausgleichung (Bedeutet, dass die Beobachtung eine Bedingung erfüllen muss, z.B. Winkelsumme 400 gon) mit 1 Bedingungsgleichung

Ausgangsproblem

Winkelsumme mit Horizontschluss

Beobachtungen: $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$

Gewichte: $p_{1},p_{2},p_{3}$

Bedingter Ausgleichungsansatz

$(\alpha _{1}+v_{1})+(\alpha _{2}+v_{2})+(\alpha _{3}+v_{3})=400gon$, d.h. eine Gleichung für 3 gesuchte Größen (Verbesserungen)

Bedingung lautet

$(L_{1}+v_{1})+...+(L_{n}+v_{n})-S=0$ mit $S$ = Sollwert (z.B. 400 gon)

$v_{1}+v_{2}+v_{3}+...+v_{n}+\sum {L}-S=0$ mit $\sum {L}-S=w$ = Gemessen - Soll

w = Widerspruch

$\sum {v}+w=0$ (Nebenbedingung)

Lösung mit Prinzipalfunktion

$\Omega =\underbrace {\sum {pvv}} _{1}-\underbrace {2\cdot k} _{2}\cdot \underbrace {\left(\sum {v}+w\right)} _{3}$

1: Minimumsfunktion

2: Hilfsgröße $k$ = Korrelate

3: "Nebenbedingung"

$v_{i}={k \over p_{i}}\rightarrow {k \over p_{1}}+{k \over p_{2}}+w=0$ mit $k={-w \over {\sum {1 \over p_{i}}}}$ ergibt $v_{i}={-1 \over p_{i}}\cdot {w \over {\sum {1 \over p_{i}}}}$ Nach der Methode der kleinsten Quadrate ist der Summen-Widerspruch $W$ umgekehrt proportional zu den Gewichten zu verteilen.