Benutzer:WonderBlood/ZF BSc/Geodäsie/AR/Einfache Ausgleichungsprobleme

Ausgleichung direkter Beobachtungen

Vermittelnde Ausgleichung mit 1 Unbekannten

Ausgangsproblem
- Für eine Größe liegen mehrere Beobachtungen vor (überbestimmt)
Lösungsansatz
- Mittels MdkQ, dies ergibt ausgeglichene Unbekannte

MdkQ - Gewichstsmittel

gesuchte Größe: X
Beobachtungen: $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ , ...
mit Gewichten: $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ , ...

Unterscheiden sich die Gewichte, resultiert dies aus ungleich genauen Beobachtunen

Vermittelnder Ansatz

Beobachtungsgleichung (BGL): $L_{1} + v_{1} = X$; $L_{2} + v_{2} = X$ = $\overline{L} = L + v = f (x)$ Funktion der Unbekannten X; $L_{3} + v_{3} = X$
Aufgelöst nach v (Verbesserungsgleichung, VGL): $v_{1} = X - L_{1}$; $v_{2} = X - L_{2}$ = $v = f (x) - L$; $v_{3} = X - L_{3}$

Bilanz

Es sind

n Verbesserungen und
1 Unbekannte ( $X$ ) zu bestimmen

Lösung

Berechnung von $X$ mit dem Gewichtsmittel: $X = \frac{\sum p \cdot L}{\sum p}$

Ausgleichung von bedingten Beobachtungen

Bedingte Ausgleichung (Bedeutet, dass die Beobachtung eine Bedingung erfüllen muss, z.B. Winkelsumme 400 gon) mit 1 Bedingungsgleichung

Ausgangsproblem: Winkelsumme mit Horizontschluss; Beobachtungen: $α_{1}, α_{2}, α_{3}$; Gewichte: $p_{1}, p_{2}, p_{3}$

Bedingter Ausgleichungsansatz

$(α_{1} + v_{1}) + (α_{2} + v_{2}) + (α_{3} + v_{3}) = 400 g o n$ , d.h. eine Gleichung für 3 gesuchte Größen (Verbesserungen)

Bedingung lautet: $(L_{1} + v_{1}) + ... + (L_{n} + v_{n}) - S = 0$ mit $S$ = Sollwert (z.B. 400 gon); $v_{1} + v_{2} + v_{3} + ... + v_{n} + \sum L - S = 0$ mit $\sum L - S = w$ = Gemessen - Soll
w = Widerspruch: $\sum v + w = 0$ (Nebenbedingung)

Lösung mit Prinzipalfunktion

$Ω = \underset{1}{\underset{⏟}{\sum p v v}} - \underset{2}{\underset{⏟}{2 \cdot k}} \cdot \underset{3}{\underset{⏟}{(\sum v + w)}}$

1: Minimumsfunktion

2: Hilfsgröße

k

= Korrelate

3: "Nebenbedingung"

$v_{i} = \frac{k}{p_{i}} \to \frac{k}{p_{1}} + \frac{k}{p_{2}} + w = 0$ mit $k = \frac{- w}{\sum \frac{1}{p_{i}}}$ ergibt $v_{i} = \frac{- 1}{p_{i}} \cdot \frac{w}{\sum \frac{1}{p_{i}}}$ Nach der Methode der kleinsten Quadrate ist der Summen-Widerspruch $W$ umgekehrt proportional zu den Gewichten zu verteilen.