Benutzer:WonderBlood/ZF BSc/Geodäsie/AR/Vermittelnde Ausgleichung

Allgemeine Problemstellung

Gegeben

n Beobachtungen $L_{1},...,L_{n}$ mit theor. Standardabweichungen $\sigma _{1},...,\sigma _{n}$ bzw. mit Gewichten $p_{1},...,p_{n}$.

Gewicht ergibt sich aus $p_{i}={\sigma _{0}^{2} \over \sigma _{i}^{2}}$

Gesucht

u Unbekannte Parameter $X,Y,Z$

Fallunterscheidung

$n=u$ → Ausgleichung nicht möglich, jedoch Genauigkeitswerte bestimmbar

$n>u$ → Ausgleichung notwendig

Beobachtungsgleichung (BGL)

Die BGL geben den Zusammenhang zwischen den

• ausgeglichenen, verbesserten Beobachtungen ${\overline {L}}$ und den
• Unbekannten $X,Y,Z$ (Widerspruchsfreies System)

Es gibt: pro Beobachtung eine BGL:

Allgemeine Form

${\overline {L}}=v=f(X,Y,Z)$ Funktion $f$ der Unbekannten

System der Beobachtungsgleichung

bei n Beobachtungen $L_{1},...,L_{n}$ und $u=3$ unbekannten Parameter $X,Y,Z$

$L_{1}+v_{1}=f_{1}(X,Y,Z)$

$L_{2}+v_{2}=f_{2}(X,Y,Z)$ usw.

Verbesserungsgleichung (VGL)

Allgemeine Form

$v_{i}=f(X,Y,Z)-L_{1}$

Problematik nicht-linearer Funktionen

Linearisieren von Funktionen, die in Bezug zu den unbekannten Parametern nicht linear sind, durch Näherungswerte $X_{0},Y_{0},Z_{0}$ für $X,Y,Z$

$X=X_{0}+x$

$Y=Y_{0}+y$

$Z=Z_{0}+z$

$x,y,z$ sind verkürzte Parameter