Benutzer:Yomomo/ Mathematik WH

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Funktionen[Bearbeiten]

Einheiten:
y in Abhängigkeit von x,
y in Bezug auf x usw.
Ist y angegeben, wird dieser Wert an der Stelle von f(x) eingesetzt, ist x angegeben, wird x durch diese Zahl ersetzt (GeoGebra: Löse, bei x sogar nicht notwendig)
Ist die Einheit nicht auf der x oder y Achse abzulesen, dann kann es die Ableitung (y-Achse durch x-Achse) oder das Integral (y-Achse mal x-Achse) sein.

1. Ableitung: ist die Steigung der Funktion, ist die Steigung der Tangente, ist der Tangens des Winkels mit der x-Achse, ist die momentane Änderungsrate. Sie ist an einem Punkt zu berechnen.

Mittlere Änderungsrate: ist die Steigung der verbindende Gerade zwischen zwei Punkten. Einheiten wie die 1. Ableitung der Funktion (also y-Achse durch x-Achse). Sie ist das Gleiche wie die 1.Ableitung NUR dann, wenn die Funktion eine Gerade ist, braucht allerdings immer zwei Punkte (im Gegensatz zur 1. Ableitung).

Relative Änderung: ist eine reine Zahl (möglicherweise auch in % ausgedrückt). Differenz der Werte durch Wert am Anfang: Befindet sich also im Nenner einer der beiden Werte des Zählers, ist der Bruch keine Steigung mehr (keine mittlere Änderungsrate) sondern eine relative Änderung. Prozentsatz ist allerdings dieser Bruch, nur wenn er mit 100% (was ja also 1 ist) multipliziert wird.

Absolute Änderung: die Differenz zwei Werte (y-Werte) der Funktion. Auch wenn sie an zwei Stellen (x-Werte) der Funktion gefragt wird, kann es sein, dass wir doch die entsprechenden y-Werte subtrahieren müssen!

Der entscheidende Unterschied zwischen Änderungsrate und relativer Änderung ist daher der Nenner des Bruches. Ist er einer der beiden Werte des Zählers, dann geht es (fast immer) um eine relative Änderung. Ist er eine Differenz von Werten (der x-Achse), dann geht es um eine mittlere Änderungsrate (Steigung). Die absolute Änderung hingegen ist (fast immer) kein Bruch sondern einfach eine Differenz von zwei Werten.

Die Steigung kann daher entweder eine mittlere Änderungsrate sein oder eine momentane (1. Ableitung einer Funktion):
mittlere Änderungsrate, wenn es um zwei Punkte geht (dann ist sie auch die Steigung der verbindenden Gerade),
momentane Änderungsrate, wenn es um einen Punkt geht. Nur bei einer Gerade sind diese gleich (aber doch nicht gleichbedeutend, eben wegen der Punkte).

Anwendung der Funktion selbst
allgemein
Am Punkt
Die Funktion hat an der Stelle c () den Wert d ()
in Abhängigkeit von
in Bezug auf

x-Achsenabschnitt
Lösungen der Funktion
Nullstellen

y-Achsenabschnitt
Die Funktion schneidet die y-Achse an ...
(oder Ähnliches)
Anwendung der ersten Ableitung
allgemein
(Wert der) Ableitung der Funktion
(an einem Punkt oder Stelle)
Steigung der Funktion
(an einem Punkt oder Stelle)
Steigung der Tangente der Funktion
(an einem Punkt oder Stelle)
Tangens des Winkels zwischen Tangente der
Funktion und x-Achse
(an einem Punkt oder Stelle)
momentane Änderungsrate

Die Funktion hat einen Extrempunkt
(Maximum: Hochpunkt oder Minimum: Tiefpunkt)
Die Tangente läuft parallel zur x-Achse
(oder senkrecht zur y-Achse, oder
"steht normal" auf der y-Achse)
Der Tangens ist null
Die Funktion hat einen Sattelpunkt
Anwendung der zweiten Ableitung
allgemein
Der Wert der zweiten Ableitung
(an einem Punkt oder Stelle)

Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle p
(an den Punkt )
Die Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle p
(an den Punkt )

Integral:

  • Wenn es um das Integral einer Funktion und nicht einer Differenz geht, dann ist das Integral dieser Funktion die Fläche zwischen Kurve und x-Achse und zwischen den Grenzen (Stellen, x-Werte), die im Integral angegeben werden. (1. Bild). sind daher hier Werte von x (Stellen). Die Funktion f(x) kann auch eine Zahl sein (!), z.B ist die Fläche zwischen der Gerade y=3 und zwischen x=a und x=b, also die Fläche eines Rechtecks im Diagramm (wie im 2. Bild).
  • Wenn es um das Integral einer Differenz geht, dann ist das Integral dieser Differenz die Fläche zwischen den beiden Funktionen (3. Bild). Aufpassen! Wenn ein Minus zwischen zwei Sachen da steht, dann haben wir schon zwei Funktionen. Dabei kann die eine nur eine Zahl sein, z.B. oder (4. und 5. Bild).
  • Sind keine Grenzwerte angegeben, soll das sogenannte unbestimmte Integral berechnet werden (z.B. mit Geogebra), in diesem Fall steht auch eine Konstante immer dabei. Das Integral berechnet die Änderung der Größe, die durch die Fläche berechnet wird, z.B. zurückgelegte Strecke in einem v-t Diagramm (wie im Bild) und Geschwindigkeits-Änderung (und nicht die Geschwindigkeit an einem Zeitpunkt: dafür braucht man auch die Geschwindigkeit am Anfang) in einem a-t Diagramm (a: Beschleunigung).

Normalverteilung[Bearbeiten]

Die Einheiten der x-Achse sind die Einheiten der gefragten Größe.

Erstes Bild: In der Mitte ist der Erwartungswert (auch Durchschnitt, Median, Modus). An der Stelle des Wendepunkts ist der Wert so viel wie der Erwartungswert um eine Standardabweichung reduziert (links) bzw. erhöht (rechts).

Zweites und drittes Bild: Ist der Erwartungswert erhöht bei gleicher Standardabweichung, dann verschiebt sich das Diagramm nach rechts (hat aber die gleiche Form), ist die Standardabweichung mehr bei gleichem Erwartungswert, dann bleibt das Diagramm an der gleichen Stelle (die Mitte ist die gleiche), wird aber "platter" (also breiter und kleiner).

Die Fläche zeigt uns Anteil ("Prozentsatz"). Die gesamte Fläche unterhalb der Kurve hat den Wert 1 (100%). Die Fläche bis eine Standardabweichung rechts vom Erwartungswert ist ca. 84,13% (erstes Bild). Das bedeutet dann, es bleiben 15,87% bis zum Ganzen (100%), also rechts von dieser Stelle (zweites Bild). Symmetrisch auf der anderen Seite: unterhalb einer Standardabweichung links vom Erwartungswert bleiben dann eben auch 15,87% (drittes Bild). Das bedeutet, dass es symmetrisch eine Standardabweichung um den Erwartungswert 100-2⋅15,87=68,27% der Werte (gerundet) gibt (viertes Bild).

Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein!

Boxplot[Bearbeiten]

BoxplotIQ-inc.png

Die Daten sind eingeordnet. Die genauen Daten kann man nicht ablesen. Klar ist nur: die ein viertel kleinsten Werte befinden sich zwischen "Antenne" links (oder unten) und Anfang (links oder unten) des Rechtecks das sich irgendwo in der "Mitte" befindet; Diese linke (oder untere) Seite des Rechtecks ist das erste "Quartil". In diesem Rechteck und bis zur "Linie" irgendwo in seiner "Mitte" befindet sich das zweite viertel der eingeordneten Werte. Daher ist diese Linie (die nur in seltenen Fällen genau in der Mitte des Rechtecks ist) der Median (Zentralwert). Das dritte viertel befindet sich dann bis zur rechten (bzw. oberen) Seite des Rechtecks (drittes Quartil) und die größten viertel Werte sind darüber.

(Inter)Quartilabstand (IQR): Die Differenz der Werte an den Seiten des Rechtecks.

Spannweite (allgemein und nicht nur im boxplot): Maximum minus Minimum.

Möglicherweise gibt es "Ausreißer": Oft werden sie mit Hilfe des IQR definiert: ist der Wert links (einer der größten) mehr als das 1,5-fache des IQR als das dritte Quartil (rechte bzw obere Seite des Rechtecks), dann ist es ein Ausreißer.

Mittelwerte[Bearbeiten]

Arithmetisches Mittel ist der Durchschnitt, Zentralwert der Median, Modalwert(e) der Modus (die Modi). Erwartungswert ist etwas wie der Durchschnitt (siehe Binomialverteilung). Die Standardabweichung zeigt, wie "breit" um den Durchschnitt sich die Werte verteilen.

Binomialverteilung[Bearbeiten]

Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse. Aufpassen: manchmal sind mehrere mögliche Ergebnisse angegeben (z.B. rot, blau oder schwarz) aber dann doch nur zwei gefragt (z.B. rot oder nicht rot)!

BinomialGeogebra.png

In Geogebra: n ist die Anzahl der Versuche (hier 51), p die Wahrscheinlichkeit bei einem Versuch (eine Zahl zwischen 0 und 1, also falls als Prozent angegeben, erst durch 100, z.B. 0,3%=0,003, hier 3%=0,03). Oben rechts können wir dann ablesen, wie viel die Wahrscheinlichkeit ist, dass das gefragte Ergebnis (z.B. rot) genau kein ODER ein ODER 2 ODER 3 usw. (bis n) mal nach n Versuche vorkommt (Hier 21,15%=0,2115 dass das Ereignis kein mal vorkommt, 33,36%=0,3336 dass das Ergebnis genau ein mal vorkommt usw.)

Für mindestens (ab), höchstens (bis) oder dazwischen benutzt man die Klammern darunter (und ENTER klicken!): Im Bild: dass etwas mit 3% Wahrscheinlichkeit pro Versuch bei 51 Versuchen ab 20 bis 31 mal vorkommt, ist die Wahrscheinlichkeit fast 0%. Bitte bei null immer fast benutzten, genau null ist sie nie. [1]

Formeln (Formelsammlung anschauen):

Erwartunsgwert

Standardabweichung


n: die Anzahl der Versuche. Selbstverständlich ist es gar nicht auszuschließen, dass im Text ein anderes Symbol dafür benutzt wird, z.B. b oder 3m oder was auch immer.
p die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E bei einem Versuch.Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein!
P(E) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E genau k mal nach n Versuchen vorkommt.

Wahrscheinlichstes Ergebnis: das k mit der größten Wahrscheinlichkeit. Wenn der Vorgang aus n Versuchen besteht, dann ist es am wahrscheinlichsten, dass das Ergebnis z.B. genau 4 mal vorkommt. Das kann man in Geogebra im Diagramm ganz leicht erkennen, das ist das Ergebnis mit der höchsten Säule. Das kann nur eine natürliche (genaue, ohne Komma) Zahl sein. Im Bild ist das 1.

Erwartungswert: Wenn ich den ganzen Vorgang (also n Versuche) sehr oft wiederhole, dann kommt bei jeder Wiederholung des Vorgangs das gefragte Ereignis nicht immer gleich so oft vor. Der Durchschnitt neigt zum Erwartungswert. Das ist in der Regel eine Kommazahl (aber nicht immer). Den liest man in Geogebra oben links ab (). Im Bild 1,53 (das ist KEIN Prozent!).Daneben steht dann die Standardabweichung (). Im Bild ca. 1,22 (das ist eben auch KEIN Prozent!).

Exponentielle und lineare Funktion[Bearbeiten]

Lineare Funktion Exponentialfunktion
Formel
Im Text erkennen durch Steigung der Gerade
(in der Formel: s)
Änderungsrate
y-Einheiten PRO eine x-Einheit
Basis der Hochzahl
(in der Formel: a)
Relative Änderung
des y-Wertes
bei Änderung des x-Wertes um 1
Änderungsrate Absolut
(genauer Wert)
Relativ
(Anteil,
Prozent, -fach)
steigend ("nach oben")
Wachstum
s>0 (positiv) a>1
fallend ("nach unten")
Abnahme
s<0 (negativ) 0<a<1
y-Achsenabschnitt
(i.d.R. "Anfangswert")
Diagramme
KorrelationA3.svg

KorrelationB1.svg
E-kurve.PNG

Exp02.svg
Exp02.svg

Extra Merkmal der Exponentialfunktion: Halbwertszeit: Nach der gleichen Änderung des x-Wertes wird der Wert der Funktion (y-Wert) immer halbiert. Im Bild: Am Anfang (also an der Stelle 0) ist der Wert der Funktion , nach 3,5 auf der x-Achse (also an der Stelle 3,5) ist N(t) =N(3,5)=4000 (also die Hälfte), nach noch 3,5 auf der x-Achse (also an der Stelle 7) ist N(t) 2000 (also die Hälfte der Hälfte) usw.
Die Halbwertszeit kann man berechnen, indem man am Wert Funktion die Hälfte des Anfangswerts einsetzt, z.B. (2350 ist die Hälfte von 4700) oder (hier "fehlt" der Anfangswert, er ist also 1, und die Hälfte von 1 ist ja 0,5). Entsprechend für eine "Verdoppelungszeit" oder ähnliches: , usw.

Die Basis kann man auch als Prozentsatz interpretieren, z.B. bedeutet, dass bei jeder Änderung der x-Achse (hier t) um 1 (z.B. jährlich) bleiben 96,4% des vorherigen Wertes, also 3,6% weniger.

Noch dazu: die Exponentialfunktion hat keine "Lösung der Funktion": sie kommt immer näher zur x-Achse aber trifft diese nie!

Die lineare Funktion kommt oft als Regressionsgerade vor. Der Korrelationskoeffizient (mit r angegeben) ist NICHT mit der Steigung zu verwechseln. Im ersten Bild sind die Punkte weit entfernt von der Gerade, im zweiten fast auf der Gerade, also im zweiten Fall ist der Koeffizient fast 1 (in diesem Fall allerdings −1, da fallend), im ersten Bild hingegen zwischen 0 und 1, aber näher zu 0,5. Man sagt: "Der lineare Zusammenhang zwischen (was auch immer auf den beiden Achsen steht) ist schwach (falls r nah zu 0) bzw. stark (im Gegenfall)". In Geogebra als r abzulesen, wenn man die Statistik (Symbol rechts oben im Diagramm) abruft, dafür ist die Gerade nicht notwendig.

Trigonometrische Funktionen: Merkmal: Wiederholung!

Mengen[Bearbeiten]

VennDiagramThreeSetsGeneral.svg

Vereinigung: Alles zusammen!
Schnitt: was gleichzeitig zu beiden gehört (unter dem Becher)!
Differenz: das Erste ohne das, was dann auch zu zweite gehört!

Bei schwierigen Aufgaben: immer mit der kleinsten Teilmenge anfangen, die angegeben oder zu berechnen ist.

Baumdiagramm[Bearbeiten]

  • Sind die Wahrscheinlichkeiten untereinander: multiplizieren.
  • Gibt es mehrere "Pfade" nebeneinander: die entsprechenden Produkte addieren!
  • Die Summe der Produkte bei jeder "Zeile" soll immer 1 sein: beim Gegenereignis benutzen!
  • Die Wahrscheinlichkeit kann auch durch ein Bruch angegeben sein! Gibt es beispielsweise 2 Personen, die rote Kondome benutzen und 7, die andere Verhütungsmittel benutzen, müssen beim ersten Schritt die Brüche bzw. benutzt werden (also im Nenner immer die Summe und im Zähler die entsprechende Anzahl). Ist der Versuch ohne Zurücklegen, wird der Nenner bei jedem Schritt um 1 weniger, sonst bleibt er gleich.
  • genauer gesagt: null ist sie nur außerhalb des Bereichs, also für negative Werte oder für mehr als n, im Beispiel ab 52 mal bei 51 Versuche ist es unmöglich, also 0%.