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Konstante Lichtgeschwindigkeit

Das negativen Ergebnis des Michelson-Morley-Experiments erforderte ein neues physikalisches Postulat:

• Die Lichtgeschwindigkeit c hängt nicht von der Bewegung der Lichtquelle oder des Empfängers ab.

Dies bedeutet, die Lichtgeschwindigkeit ist in allen gleichförmig zur Quelle bewegten Bezugssystemen gleich.

Auf Grundlage dieses neuen Postulates formulierte Albert Einstein die Spezielle Relativitätstheorie, deren wesentlicher Kern eine Koordinatentransformation ist. Diese äusserst bedeutungsvolle Transformation wird Lorentz-Transformation genannt, weil Hendrik Antoon Lorentz sie vor Albert Einstein fand. Allerdings deutete Lorentz seine Transformation im Hinblick auf einen Lichtäther, während Einstein positivistisch eingestellte war und deshalb den Äther ausdrückliche als überflüssig erklärte. Als "Ersatz" für den experimentell nicht eindeutig nachweisbaren Äther führte Einstein revolutionär neue Konzepte für Raum und Zeit ein.

Kugelförmige Wellenfronten

Wenn eine Lichtquelle in einem Bezugssystem ruht, dann breiten sich die Wellenfronten der davon ausgehene Lichtwellen (selbstverständlich) kugelförmig aus. Bei Relativbewegung breiten sich Wellenarten im allgemeinen nicht genau kugelförmig aus. Wenn die Lichtgeschwindigkeit allerdings - wie es das neue Postulat vorschreibt - unabhängig vom Bezugssystem ist, dann müssen auch die Wellenfronten von bewegte Quellen genau kugelförmig sein. Eine Möglichkeit dem Postulat zu genügen - es ist die bisher einzig erfolgreiche (von Einstein gefundene) - besteht darin, eine Transformation zu finden, welche kugelförmige Wellenfronten grundsätzlich für alle Relativgeschwindigkeiten V von Bezugssystemsen wieder kugelförmig abbildet. Die Transformation selbst kann auf unterschiedlichen Wegen hergeleitet werden. Die hier aufgezeigt ist (relativ) einfach nachvollziehbar.

Die Gleichung einer vom Ursprung des Bezugssystems mit Lichtgeschwindigkeit c sich ausbreitenden kugelförmigen Wellenfront lautet

$(1)\qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}\,$

Dazu wird nun ein zweites Bezugssytsem eingeführt, das sich relativ zum ersten mit der Systemgeschwindigkeit V bewegt. Die Gleichung der entsprechenden Wellenfronten in diesem System muss von der selben Form sein

$(2)\qquad x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}t'^{2}\,$

Gesucht wird also eine Transformation, welche kugelförmiger Wellenfronten in relativ bewegten Bezugssystemen (mit den Koordinaten (x, y, z) einerseits und (x', y', z') anderseits) in beiden Transfromationsichtungen wieder in kugelförmige Wellenfronten abbildet.

Der klassische Ansatz

Zunächst soll die Anwendung der klassischen Galilei-Transformation untersucht werden.

$(3)\qquad x'=x-Vt\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'=t$

Dieser Versuch scheitert, denn die Galilei-Transfomation (3) bildet Gl. (2) nicht in die Gl. (1) ab, sondern ergibt

$(4)\qquad x^{2}-2xVt+V^{2}t^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}\,$

Die lineare Zeitanpassung

Die Gleichungen (4) und (1) unterscheiden sich nur in den beiden Gliedern

$-2xVt+V^{2}t^{2}\,$

welche beide die Zeit enthalten. Daraus kann gefolgert werden, dass die triviale Zeittransformation $t'=t$ angepasst werden muss. Überdies erforder das Postulat der Bewegung von Wellenfronten mit konstanter Lichtgeschwindigkeit c in beiden Systemen, dass die gesuchte Transformation linear sein muss. Entsprechend wird ein zweiter Transformationsversuch angesetzt mit

$(5)\qquad x'=x-Vt\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'=t+\alpha x$

Bei deren Anwendung auf Gl. (2) ergibt sich

$(6)\qquad x^{2}-2xVt+V^{2}t^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}(t^{2}+2\alpha xt+\alpha ^{2}x^{2})\,$

Nun werden, zwecks genauerer Bestimmung des Koeffizienten $\alpha$ die beiden in x und t gemischen Glieder verglichen. Dabei zeigt sich, dass sich mit

$\alpha =-{\frac {V}{c^{2}}}\,$

für das gemischte Glied rechts $-2xVt\,$ ergibt, wodurch das entsprechende Glied links ausgeglichen wird. Die so angepassts Transformation lautet nun

$(7)\qquad x'=x-Vt\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'=t-{\frac {Vx}{c^{2}}}$

Wird dies erneut auf Gl. (2) angewendet, so ergibt sich eine Gleichung mit nur mehr quadratischen Gliedern

$(8)\qquad x^{2}(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}})+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}})\,$.

Der quadratische Ausgleich

Mit Ausnahme des Faktors $(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}})\,$ sind nun Gl. (8) und (2) bereits indentisch. Weil dieser Faktor auf die quadratischen Glieder $x^{2}$ und $t^{2}$ wirkt, müssen die Transformationen der betroffenen Koordinaten x' und t' nun noch durch dessen Wurzel geteilt werden, um ihn zum Verschwinden zu bringen. Damit ergibt sich die Transformation

$(9)\qquad x'={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-{\frac {V}{c}}^{2}}}}\qquad \ y'=y\ \qquad \ z'=z\ \qquad \ t'={\frac {t-{\frac {Vx}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {V}{c}}^{2}}}}\$

Damit ist nun das Ziel erreicht: Die Transformation (9) - es ist die berühmte Lorentz-Transformation - transformiert die Gl. (2) genau in Gl. (1)

$(2)\qquad x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}t'^{2}\qquad \,\Rrightarrow \qquad (1)\qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}\,$

Die inverse Transformation

Es bleibt noch zu zeigen, dass die Transformation (9) auch in der umgekehrten Transformationsrichtung gültig ist. Anstatt die inverse Transformation aus Gl. (9) zu berechnen, genügt auch die folgende Überlegung. Weil die beiden Bezugssysteme völlig gleichberechtigst sind, kann das gestrichene System als gegenüber den ungerstichenen mit der Geschwindigkeit $\quad -V\quad \,$ bewegt betrachtet werden. Dies entspricht dem Ersatz von $\quad V\quad \,$ durch $\quad -V\quad \,$ in der Transformation (9). Damit ergibt sich für die inverse Lorentz Transformation unmitelbar

$(10)\qquad x={\frac {x'+Vt'}{\sqrt {1-{\frac {V}{c}}^{2}}}}\qquad \ y=y'\ \qquad \ z=z'\ \qquad \ t={\frac {t'+{\frac {Vx'}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {V}{c}}^{2}}}}\$

Die beiden Gleichungssysteme (9) und (10) sind die Koordinatengleichungen der berühmten, für die theoretischen Physik unverzichtbaren Lorentz-Transformation. Sie bilden kugelförmige Wellenfronten in relativ bewegten Bezugssystemen in beiden Richtungen wieder in kugelförmige Wellenfronten ab. Die mathematische Abbildung durch Lorentz-Transformation ist aber nicht nur von theoretischem Interesse, sondern ermöglicht sehr bedeutsame physikalische Folgerungen. Die vielleicht wichtigsten sind die Abhängigkeit der Masse eines Körpers von Relativbewegungen, der sogenannten relativistischen Masse, und die Äquivalenz von Masse und Energie.