Beweisarchiv: Geometrie
Schwerpunktsätze von Leibniz Planimetrie
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affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen Satz von Pythagoras:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen der Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypotenusenquadrates.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c ist die Summe der Flächen a² und b² der Kathetenquadrate gleich der Fläche c² des Hypotenusenquadrates.
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
Es ist zu beachten, dass unten stehende Beweise nur einen Bruchteil der über hundert bekannten Beweisvarianten darstellen!
Geometrischer Beweis [ Bearbeiten ] Satz des Pythagoras In ein großes Quadrat mit der Seitenlänge
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle (b-a)^{2}}
Die Fläche des großen Quadrats
c
2
{\displaystyle c^{2}}
a
⋅
b
/
2
{\displaystyle a\cdot b/2}
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle (b-a)^{2}}
Daraus ergibt sich wie folgt:
c
2
=
4
⋅
a
⋅
b
2
+
(
b
−
a
)
2
=
2
⋅
a
⋅
b
+
b
2
−
2
⋅
b
⋅
a
+
a
2
=
2
⋅
a
⋅
b
−
2
⋅
b
⋅
a
+
a
2
+
b
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=4\cdot a\cdot {\frac {b}{2}}+(b-a)^{2}\\&=2\cdot a\cdot b+b^{2}-2\cdot b\cdot a+a^{2}\\&=2\cdot a\cdot b-2\cdot b\cdot a+a^{2}+b^{2}\\&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}}
und damit der Satz des Pythagoras:
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}
q.e.d
Heronsche Formel
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[ Bearbeiten ] Es lässt sich zeigen, dass die heronsche Formel und der Satz des Pythagoras innerhalb der Elementargeometrie als gleichwertig zu betrachten sind.
Satz des Pythagoras
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
[ Bearbeiten ] Der Beweis geht in Anlehnung an Fraedrich und Lambacher-Schweizer wie folgt:[1] [2]
Satz des Pythagoras
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Für ein gegebenes Dreieck
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
a
=
|
B
C
|
{\displaystyle a=|BC|}
b
=
|
A
C
|
{\displaystyle b=|AC|}
c
=
|
A
B
|
{\displaystyle c=|AB|}
a
≤
b
≤
c
{\displaystyle a\leq b\leq c}
Weiter sei
D
{\displaystyle D}
C
{\displaystyle C}
A
B
{\displaystyle AB}
Schließlich sei
q
=
|
A
D
|
{\displaystyle q=|AD|}
p
=
|
D
B
|
{\displaystyle p=|DB|}
Damit hat man zunächst
p
+
q
=
c
{\displaystyle p+q=c}
Nach dem pythagoreischen Lehrsatz gelten dann die beiden folgenden Identitäten:
h
2
+
p
2
=
a
2
{\displaystyle h^{2}+p^{2}=a^{2}}
und
h
2
+
q
2
=
b
2
{\displaystyle h^{2}+q^{2}=b^{2}}
Daraus ergibt sich unter Anwendung der dritten binomischen Formel
b
2
−
a
2
=
q
2
−
p
2
=
(
q
+
p
)
(
q
−
p
)
=
c
(
q
−
p
)
{\displaystyle b^{2}-a^{2}=q^{2}-p^{2}=(q+p)(q-p)=c(q-p)}
und weiter
b
2
−
a
2
c
=
q
−
p
=
c
−
2
p
{\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}}{c}}=q-p=c-2p}
Also schließt man weiter
2
p
=
c
−
b
2
−
a
2
c
=
c
2
+
a
2
−
b
2
c
{\displaystyle 2p=c-{\frac {b^{2}-a^{2}}{c}}={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{c}}}
und daraus dann
p
=
a
2
−
b
2
+
c
2
2
c
{\displaystyle p={\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2c}}}
Dies ergibt
h
2
=
a
2
−
p
2
=
a
2
−
(
a
2
−
b
2
+
c
2
2
c
)
2
{\displaystyle h^{2}=a^{2}-p^{2}=a^{2}-\left({\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}}
Hinsichtlich der Dreiecksfläche
F
Δ
{\displaystyle F_{\Delta }}
16
F
Δ
2
=
4
h
2
c
2
=
4
a
2
c
2
−
(
a
2
−
b
2
+
c
2
)
2
=
(
2
a
c
+
a
2
−
b
2
+
c
2
)
(
2
a
c
−
a
2
+
b
2
−
c
2
)
=
(
(
a
+
c
)
2
−
b
2
)
(
b
2
−
(
a
−
c
)
2
)
=
(
a
+
c
+
b
)
(
a
+
c
−
b
)
(
b
+
a
−
c
)
(
b
−
a
+
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}16{F_{\Delta }}^{2}&=4h^{2}c^{2}\\&=4a^{2}c^{2}-{\bigl (}a^{2}-b^{2}+c^{2}{\bigr )}^{2}\\&={\bigl (}2ac+a^{2}-b^{2}+c^{2}{\bigr )}{\bigl (}2ac-a^{2}+b^{2}-c^{2}{\bigr )}\\&={\bigl (}(a+c)^{2}-b^{2}{\bigr )}{\bigl (}b^{2}-(a-c)^{2}{\bigr )}\\&=(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)\\\end{aligned}}}
Nun wird die Gleichung
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
benutzt und man erhält mittels elementarer Algebra
16
F
Δ
2
=
2
s
(
2
s
−
2
b
)
(
2
s
−
2
c
)
(
2
s
−
2
a
)
=
16
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}16{F_{\Delta }}^{2}&=2s(2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)\\&=16s(s-a)(s-b)(s-c)\\\end{aligned}}}
Also gilt insgesamt
F
Δ
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle F_{\Delta }={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
q.e.d
Heronsche Formel
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
[ Bearbeiten ] Man erhält den Satz des Pythagoras auch direkt aus der heronschen Formel, und zwar auf rein algebraischem Wege.
Dabei stellt man in Rechnung, dass es für den Flächeninhalt
F
Δ
{\displaystyle F_{\Delta }}
Δ
{\displaystyle \Delta }
Denn man hat einerseits offenbar
F
Δ
=
a
b
2
{\displaystyle F_{\Delta }={\frac {ab}{2}}}
Anderseits jedoch gilt nach Heron
F
Δ
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle F_{\Delta }={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
mit
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
Also folgt nacheinander und unter Benutzung der binomischen Formeln
a
2
b
2
4
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}}{4}}=s(s-a)(s-b)(s-c)}
und daraus
4
a
2
b
2
=
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
=
(
−
a
2
+
(
b
+
c
)
2
)
(
a
2
−
(
b
−
c
)
2
)
=
−
a
4
+
a
2
(
(
b
+
c
)
2
+
(
b
−
c
)
2
)
−
(
b
2
−
c
2
)
2
=
−
a
4
+
a
2
(
2
b
2
+
2
c
2
)
−
(
b
4
−
2
b
2
c
2
+
c
4
)
=
−
a
4
+
2
a
2
b
2
+
2
a
2
c
2
−
b
4
+
2
b
2
c
2
−
c
4
{\displaystyle {\begin{aligned}4a^{2}b^{2}&=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\\&={\bigl (}-a^{2}+(b+c)^{2}{\bigr )}{\bigl (}a^{2}-(b-c)^{2}{\bigr )}\\&=-a^{4}+a^{2}{\bigl (}(b+c)^{2}+(b-c)^{2}{\bigr )}-{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}^{2}\\&=-a^{4}+a^{2}{\bigl (}2b^{2}+2c^{2}{\bigr )}-{\bigl (}b^{4}-2b^{2}c^{2}+c^{4}{\bigr )}\\&=-a^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}-b^{4}+2b^{2}c^{2}-c^{4}\\\end{aligned}}}
Folglich gilt auch
a
4
+
b
4
+
c
4
+
2
a
2
b
2
−
2
a
2
c
2
−
2
b
2
c
2
=
0
{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}=0}
und weiter
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
=
0
{\displaystyle {\bigl (}a^{2}+b^{2}-c^{2}{\bigr )}^{2}=0}
und schließlich
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
q.e.d
Hintergrundliteratur [ Bearbeiten ] Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras ( Reihe Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik, Bd. 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim - Leipzig - Wien - Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1 . Theophil Lambacher - Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. Beweisarchiv: Geometrie
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↑ Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras 1994, S. 324
↑ Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2 1965, S. 99-100
