Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Normierte Räume: Weissingerscher Fixpunktsatz

Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: · Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung · Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation

Ein Supremumsprinzip im Zusammenhang mit drei Sätzen von Krein–Milman, Klee–Straszewicz und Bauer ·

Satz

Es sei $(X,\|\cdot \|)$ ein Banachraum, $T:X\to X$ eine Selbstabbildung und $\{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset (0,\infty )$ eine Folge mit $\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}<\infty$. Weiterhin gelte $\|T^{m}\varphi -T^{m}\psi \|\leq \alpha _{m}\|\varphi -\psi \|\quad \forall \,\varphi ,\psi \in X$.

Dann besitzt $T$ genau einen Fixpunkt in $X$, nämlich $\varphi ^{*}=\lim _{n\to \infty }\varphi _{n+1}=\lim _{n\to \infty }T\varphi _{n}$ mit beliebigem Startwert $\varphi _{0}\in X$.

Außerdem gilt die Abschätzung $\|\varphi _{n}-\varphi ^{*}\|\leq \sum _{k=n}^{\infty }\alpha _{k}\|\varphi _{1}-\varphi _{0}\|$.

Beweis

Existenz des Fixpunktes

Es sei $\varphi _{0}\in X$ beliebig. Wir bilden $\varphi _{n+1}=T\varphi _{n}=T^{2}\varphi _{n-1}=\dots =T^{n+1}\varphi _{0}$.

Nun gilt

${\begin{alignedat}{1}\|\varphi _{n+k}-\varphi _{n}\|&=\|\varphi _{n+k}\underbrace {-\varphi _{n+k-1}+\varphi _{n+k-1}} _{=0}\underbrace {-\varphi _{n+k-2}+\varphi _{n+k-2}} _{=0}-\dots \underbrace {+\varphi _{n+1}} _{=0}-\varphi _{n}\|\\&=\Vert \sum _{r=0}^{k-1}(\varphi _{n+r+1}-\varphi _{n+r})\Vert \\&{\overset {\text{Normdef.}}{\leq }}\;\sum _{r=0}^{k-1}\Vert \varphi _{n+r+1}-\varphi _{n+r}\Vert \\&=\sum _{r=0}^{k-1}\|T^{n+r}\varphi _{1}-T^{n+r}\varphi _{0}\|\\&{\overset {\text{Voraussetzung}}{\leq }}\;\sum _{r=0}^{k-1}\alpha _{n+r}\|\varphi _{1}-\varphi _{0}\|\\&=\|\varphi _{1}-\varphi _{0}\|\sum _{j=n}^{n+k-1}\alpha _{j}<\varepsilon \;{\text{ für }}\;n\geq n_{0}(\varepsilon )\end{alignedat}}$.

$\Rightarrow \{\varphi _{n}\}$ ist eine Cauchyfolge. Da $X$ vollständig ist (Banachraum), konvergiert jede Cauchyfolge in $X$ und es es existiert ein $\varphi ^{*}\in X$ mit $\varphi ^{*}=\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}$.

Weiterhin gilt $\|T\varphi ^{*}-\varphi _{n+1}\|=\|T\varphi ^{*}-T\varphi _{n}\|\;{\overset {\text{Voraussetzung}}{\leq }}\;\alpha _{1}\|\varphi ^{*}-\varphi _{n}\|\;{\overset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;0$.

${\overset {\text{Normdef.}}{\Longrightarrow }}T\varphi ^{*}=\lim _{n\to \infty }\varphi _{n+1}=\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\varphi ^{*}\in X$. Damit ist $\varphi ^{*}$ ein Fixpunkt.

Eindeutigkeit des Fixpunktes

Beweis durch Widerspruch. Annahme: Es existieren zwei Fixpunkte $\varphi ^{*},\psi ^{*}\in X$ mit

${\begin{alignedat}{1}\varphi ^{*}&=T\varphi ^{*}=T^{2}\varphi ^{*}=\dots =T^{n}\varphi ^{*}\\\psi ^{*}&=T\psi ^{*}=T^{2}\psi ^{*}=\dots =T^{n}\psi ^{*}\end{alignedat}}$

$\Rightarrow \|\varphi ^{*}-\psi ^{*}\|=\|T^{n}\varphi ^{*}-T^{n}\psi ^{*}\|\;{\overset {\text{Voraussetzung}}{\leq }}\;\alpha _{n}\|\varphi ^{*}-\psi ^{*}\|\;{\overset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;0$

${\overset {\text{Normdef.}}{\Longrightarrow }}\;\varphi ^{*}-\psi ^{*}=0\Longleftrightarrow \varphi ^{*}=\psi ^{*}$.

Abschätzung

${\begin{alignedat}{1}\|\varphi _{n}-\varphi ^{*}\|&=\lim _{j\to \infty }\|\varphi _{n}-\varphi _{n+j}\|\\&{\overset {\text{s.o.}}{\leq }}\lim _{j\to \infty }\sum _{k=n}^{n+j-1}\alpha _{k}\|\varphi _{1}-\varphi _{0}\|\\&=\sum _{k=n}^{\infty }\alpha _{k}\|\varphi _{1}-\varphi _{0}\|\end{alignedat}}$