Beschreibung

Beschreibung01-65537-Eck E-17.svg	Deutsch: 65537-Eck, Näherungskonstruktion der ersten Seite in zwei Hauptschritten mithilfe von GeoGebra. Dargestellt ist der erste Schritt: Bestimmen der Position der 1024. Ecke. Zweiter Schritt: Die erste Seite ermittelt, mithilfe von Vergrößerungen des relevanten Bereiches und durch zehnmaliges Halbieren des Winkels μ1024, siehe hierzu die Konstruktion English: 65537-gon, approximate construction of the first side in two main steps with help GeoGebra. Shown is the first step: Determine the position of the 1024th corner. Second step: The first side is determined by using magnifications of the relevant area and by ten times halving the angle μ1024, see also the construction (German)
Datum	24. April 2016
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
Andere Versionen
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungsonstruktion

• Die Methode ähnelt der des Dreizehnecks
• Siehe hierzu auch die Konstruktion

Ergebnis

Bei einem Umkreisradius r = 1 [LE]

• Konstruierter Winkel (Anzeige GeoGbra) ${\displaystyle \mu _{1024}=5{,}62491417062117^{\circ }}$
• Winkel ${\displaystyle \mu _{1024\;SOLL}=360^{\circ }\cdot {\frac {1024}{65537}}=5{,}62491417062118...^{\circ }}$
• Absoluter Fehler des konstruierten Winkels ${\displaystyle F_{\mu 1024}=\mu _{1024}-\mu _{1024\;SOLL}=-1E-14^{\circ }}$

(1 Winkelsekunde = ${\displaystyle {\frac {1^{\circ }}{3600}}}$ = 0,000277...° = 2,77...E-4°)

Näherungskonstruktion der ersten Seite

Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens ${\displaystyle ME_{65537}E_{1024}}$ und halbiere mittels MS dreimal den Winkel ${\displaystyle E_{65537}ME_{1024}}$, ergibt die Ecken ${\displaystyle E_{512},E_{256}}$ und ${\displaystyle E_{128}}$

Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens ${\displaystyle ME_{65537}E_{128}}$ und halbiere mittels MS viermal den Winkel ${\displaystyle E_{65537}ME_{128}}$, ergibt die Ecken ${\displaystyle E_{64},E_{32},E_{16}}$ und ${\displaystyle E_{8}}$

Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens ${\displaystyle ME_{65537}E_{8}}$ und halbiere mittels MS dreimal den Winkel ${\displaystyle E_{65537}ME_{8}}$, ergibt die Ecken ${\displaystyle E_{4},E_{2}}$ und ${\displaystyle E_{1}}$

In der dritten Vergrößerung, ergibt sich somit annähernd die erste Seite E₆₅₅₃₇E₁ = a des regelmäßigen 65537-Ecks.  

• Konstruierte Seite des 65537-Ecks (Anzeige GeoGbra) ${\displaystyle a={\overline {E_{65537}E_{1}}}=9{,}58723363103780E-5\;[LE]}$
• Seite des 65537-Ecks ${\displaystyle a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{65537}}\right)=9{,}5872336310378200E-5\;[LE]}$
• Absoluter Fehler der konstruierten ersten Seite ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=-2E-19\;[LE]}$
• Absoluter Fehler der letzten Seite ${\displaystyle F_{a65537}=-F_{a}\cdot 65537=2E-19\cdot 65537=1{,}31074E-14\;[LE]}$

• Konstruierter Zentriwinkel (Anzeige GeoGbra) ${\displaystyle \mu =5{,}49308024474723E-3^{\circ }}$
• Zentriwinkel ${\displaystyle \mu _{SOLL}={\frac {360^{\circ }}{65537}}=5{,}4930802447472420E-3^{\circ }}$
• Absoluter Fehler vom konstruierten Zentriwinkel ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{SOLL}=-1{,}2...E-17^{\circ }}$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 10 Billionen km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 1 Jahr und 21 Tage) wäre die 1. Seite ca. 2 mm zu kurz, bzw. die 65537. Seite ca. 131 m zu lang.

Result

Approximate construction

• The method is similar to that of the Tridecagon
• See also the construction

Based on the unit circle r = 1 [unit of length]

• Constructed angle (display GeoGebra) ${\displaystyle \mu _{1024}=5.62491417062117^{\circ }}$
• Angle ${\displaystyle \mu _{1024\;target}=360^{\circ }\cdot {\frac {1024}{65537}}=5.62491417062118...^{\circ }}$
• Absolute error of the constructed angle ${\displaystyle F_{\mu 1024}=\mu _{1024}-\mu _{1024\;target}=-1E-14^{\circ }}$

(1 arcsecond = ${\displaystyle {\frac {1^{\circ }}{3600}}}$ = 0.000277...° = 2.77...E-4°)

• Constructed side of 65537-gon (display GeoGebra) ${\displaystyle a={\overline {E_{65537}E_{1}}}=9.58723363103780E-5\;[unit\;of\;length]}$
• Side of the 65537-gon ${\displaystyle a_{target}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{65537}}\right)=9.5872336310378200E-5\;\;[unit\;of\;length]}$
• Absolute error of the constructed first side ${\displaystyle F_{a}=a-a_{target}=-2E-19\;[unit\;of\;length]}$
• Absolute error of the constructed last side ${\displaystyle F_{a65537}=-F_{a}\cdot 65537=2E-19\cdot 65537=1.31074E-14\;[unit\;of\;length]}$

• Constructed central angle (display GeoGebra) ${\displaystyle \mu =5.49308024474723E-3^{\circ }}$
• Central angle ${\displaystyle \mu _{target}={\frac {360^{\circ }}{65537}}=5.4930802447472420E-3^{\circ }}$
• Absolute error of the constructed central angle ${\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{target}=-1.2...E-17^{\circ }}$

Example to illustrate the error

At a circumscribed circle r = 10 trillions km (the light would need about 1 year and 21 days for this distance) the first side would be approx. 2 mm too short, or the 65537th side approx. 131 m too long.

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