Beschreibung

Beschreibung01-Quadratur des Kreises E-15.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion English: Squaring the circle, approximate construction
Datum	12. April 2016
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion

1. Kreis um ${\displaystyle M}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle B}$.
3. Gerade senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$.
4. Strecken ${\displaystyle {\overline {AE}}\ ={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}\ ={\overline {AF}}\ ={\overline {FG}}\ ={\overline {GH}}\ ={\overline {HI}}}$ eintragen.
5. Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle E}$.
6. Strecken ${\displaystyle {\overline {EJ}}={\overline {JA}}\ ={\overline {FL}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle J}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle K}$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt ${\displaystyle N}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle C}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {GJ}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |CN|\ ={\overline {GJ}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von ${\displaystyle O}$ als ${\displaystyle |KO|\ ={\overline {ML}}}$ bis ${\displaystyle W}$ als ${\displaystyle |CW|\ ={\overline {BI}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle W}$ durch ${\displaystyle V}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle Z_{1}}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle Z_{1}}$ durch ${\displaystyle U}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in ${\displaystyle A_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von ${\displaystyle B_{1}}$ bis ${\displaystyle H_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die letzte Sekante ${\displaystyle {\overline {H_{1}E}}}$ schneidet die Strecke ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ in ${\displaystyle I_{1}}$ und liefert somit die Strecke ${\displaystyle {\overline {I_{1}M}}={\frac {1}{2}}\cdot a}$.
10. Konstruiere abschließend mittels der Strecke ${\displaystyle {\overline {I_{1}M}}}$ das Quadrat ${\displaystyle A'B'C'D'}$ mit Seite ${\displaystyle a}$.

• Somit ergibt sich:

Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der des gegebenen Kreises.

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des Quadrats in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) ${\displaystyle a=1{,}772453850905516\;[LE]}$. → Die letzte Nachkommastelle kann sich von Konstruktion zu Konstruktion unterscheiden!
• Seitenlänge des Quadrates ${\displaystyle a_{SOLL}={\sqrt {\pi }}=1{,}772453850905516\;027\ldots \;[LE]}$.
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE].}$

• Flächenihalt des konstruierten Quadrates ${\displaystyle A=a^{2}=3{,}141592653589793\;141\ldots \;[FE]}$.
• Flächeninhalt des Quadrates ${\displaystyle A_{SOLL}=\pi =3{,}141592653589793\;238\ldots \;[FE]}$
• Absoluter Fehler des Flächeninhalts des Quadrates ${\displaystyle =F_{A}=a^{2}-a_{SOLL}^{2}=-9{,}67\ldots E-17\;[FE]}$.

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der Fehler der konstruierte Seite des Quadrats < 1 mm.
• Bei einem Radius r = 1.000 km wäre der Fehler des Flächeninhalts des Quadrats < 1 cm².

Proximity construction

1. Circle around ${\displaystyle M}$ with any radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Straight line through ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle M}$ yields intersection ${\displaystyle B}$ .
3. Straight line perpendicular to ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ through ${\displaystyle M}$ yields intersections ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle D}$.
4. Line segments ${\displaystyle {\overline {AE}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$.
5. Circle around ${\displaystyle M}$ by ${\displaystyle E}$.
6. Line segments ${\displaystyle {\overline {EJ}}={\overline {JA}}={\overline {FL}}}$, circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle J}$ gives intersection ${\displaystyle K}$.
7. Determining the function points:

It starts with point ${\displaystyle N}$, whose distance to point ${\displaystyle C}$ is equal to the segment ${\displaystyle {\overline {GJ}}}$. Described in the representation as ${\displaystyle |CN|={\overline {GJ}}}$. In this way, the other function points from ${\displaystyle O}$ as ${\displaystyle |KO|={\overline {ML}}}$ to ${\displaystyle W}$ as ${\displaystyle |CW|={\overline {BI}}}$ (sequence see short description in the representation).

8. Drawing in the circle secant:

It starts with the secant from ${\displaystyle W}$ through ${\displaystyle V}$ until it intersects the outer circle at ${\displaystyle Z_{1}}$. The next secant runs from the last received intersection ${\displaystyle Z_{1}}$ through ${\displaystyle U}$ until it also intersects the outer circle line in ${\displaystyle A_{1}}$. In this way, the points from ${\displaystyle B_{1}}$ to ${\displaystyle H_{1}}$ (order can be seen from the progression of the secants) are determined.

9. The last secant ${\displaystyle {\overline {H_{1}E}}}$ intersects the line ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ in ${\displaystyle I_{1}}$ and thus yields the line ${\displaystyle {\overline {I_{1}M}}={\frac {1}{2}}\cdot a}$.
10. Finally, construct the square ${\displaystyle A'B'C'D'}$ with side ${\displaystyle a}$ using the line ${\displaystyle {\overline {I_{1}M}}}$.

• Thus, the result is:

A square with an area almost equal to that of the given circle.

Result

Based on the unit circle r = 1 [unit of length]

• Constructed side length of the square in GeoGebra (display max 15 decimal places) ${\displaystyle a=1.772453850905515\;[unit\;of\;length]}$. → The last decimal place can differ from construction to construction!
• Side lenght of the square ${\displaystyle a_{SHOULD}={\sqrt {\pi }}=1.772453850905516\;027\ldots \;[unit\;of\;length]}$.
• Absolute error of the constructed side lenght ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SHOULD}=0.0\;[unit\;of\;length]}$.
• Area of the constructed square ${\displaystyle A=a^{2}=3.141592653589793\;141\ldots \;[unit\;of\;area]}$.
• Area of the square ${\displaystyle A_{SHOULD}=\pi =3.141592653589793\;238\ldots \;[unit\;of\;area]}$.
• Absolute error in the area of the square ${\displaystyle =F_{A}=a^{2}-a_{SHOULD}^{2}=-9{,}67\ldots E-17\;[unit\;of\;area]}$.

Examples to illustrate the errors

• At a radius r = 1 billion km (the light would need about 56 min for this distance) the absolute error of the constructed side length would be < 1 mm.
• At a radius r = 1,000 km the absolute error of the square would be < 1 cm².

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