Die abzählbare Physik/ In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig

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Mit der Physik wird versucht, den materiellen Teil der Welt zu beschreiben und gedanklich zu erfassen. Dazu dienen Beobachtungen und Gesetze. Grenzen zeigen sich durch die seit hundert Jahren bekannten Quanten und die damit verknüpfte Modellierung der Welt. Da jedes Quant nur wenig Information tragen und vermitteln kann, gibt es in Systemen mit wenigen Quanten auch nur wenig physikalisch erfassbare Information. Es wird zunächst gezeigt, welchen Sinn in solch kleinen Systemen physikalische Größen noch haben, zum Beispiel inwieweit sie lokalisiert sind oder nicht und welche Gedankenkonstruktion hinter ihnen steckt. Das Kontinuum der klassischen Physik muss durch eine zumindest teilweise digitale Struktur ersetzt werden. Die Information ist in Kombinationen und den Beziehungen zwischen Quanten zu finden. Einerseits ist die Menge der Quanten ein Maß für die Menge an Information. Andererseits gibt es die Qualität der Information und die Kombination beider ist das, was wir durch Messungen erfahren können. Für die folgenden Überlegungen sind die gequantelten Größen des Elektromagnetismus wichtig, die elektrischen und die magnetischen Ladungen und Flüsse. Ihre Beziehungen untereinander enthalten viele fundamentale Naturkonstanten, zum Beispiel das Plancksche Wirkungsquantum, die Lichtgeschwindigkeit, die Feinstrukturkonstante, den Klitzing-Widerstand und die Vakuumimpedanz. Zehn Naturkonstanten lassen sich schließlich auf vier fundamentale Größen zurückführen.

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?[Bearbeiten]

Eine bekannte physikalische Tatsache ist, dass sich Informationen weiträumig maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Die Frage, warum dies gerade bei der Information genau so ist, kann derzeit wohl kaum jemand befriedigend beantworten. Das Beschäftigen mit der endlichen Größe der Lichtgeschwindigkeit hat schließlich zur speziellen Relativitätstheorie geführt. Dieses auffällige Erscheinen der Information sollte eigentlich ein Anlass sein, sich auch mit ihr selbst intensiv zu beschäftigen. In der physikalischen Theorie spielt Information allerdings nur eine Nebenrolle, die Wissenschaft der Informatik ist irgendwo zwischen der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften angesiedelt und tangiert bei der Physik bekanntlich mit der Entropie die Thermodynamik. Die hier vertretene Sicht ist, dass man mit jeder physikalischen Messung Information erlangt und jede Beschreibung und Theorie versucht, Eigenschaften und Folgerungen daraus zu demonstrieren. Es soll daher im vorliegenden Beitrag versucht werden, sich mit der Frage zu beschäftigen, wo Information physikalisch in Erscheinung tritt, wo sie einen Einfluss auf unser naturwissenschaftliches Weltbild liefert und wo sie uns zum tieferen Verständnis weiterführt.

Information[Bearbeiten]

Räumliche Information[Bearbeiten]

Bild 1-1: Keil beim Vogelflug.

Im Bild 1-1 sehen wir den Keil eines fliegenden Vogelschwarms. Typisch für eine physikalische Beschreibung ist, zunächst die gemeinsame Geschwindigkeit dieser Vögel zu registrieren. Zusätzlich gibt es die räumliche Verteilung in Form des Keils. Die einzelnen Vögel weisen untereinander Positionen auf, in Bezug auf die Flugrichtung einen seitlichen und einen vorwärts gerichteten Abstand. Aus der Lage einzelner Vögel zu ihren Nachbarn alleine lässt sich der Keil nicht zwingend folgern. Aus der Kombination solch einer gegenseitigen Position wäre auch eine Linie oder irgendeine Zickzackstruktur möglich, wie man es häufig beobachtet, wenn die Vögel sich zusammenfinden. Die Information über die Geschwindigkeit und Form des Keils wiederum könnte auch auf einzelne der Vögel verzichten, eine große Anzahl führt zu besserer Genauigkeit. Es ist hier also möglich, sowohl individuelle Information bezogen auf einzelne Vögel als auch eine Information typisch für die Gruppe wahrzunehmen. Die räumliche Struktur des Keils wird durch eine abzählbare Anzahl von Vögeln (Objekten) „abgetastet“. Die lokal begrenzte Kenntnis der Beziehung einzelner benachbarter Vögel zueinander reicht also alleine nicht, um das gesamte System zu beschreiben.

Zeitliche Information[Bearbeiten]

Analog dazu können wir das Messen eines elektrischen Stroms betrachten, dabei werden beim Abtasten Raum und Zeit getauscht. Das grundsätzliche Problem wird in Bild 1-2 deutlich: Strom ist das Verhältnis von der einen Querschnitt passierenden Ladungsmenge pro Zeit , , und man kann ihn messen, wenn man die Steigung der gezeigten Funktion (Ladung pro Zeit) bestimmt. In der Maxwellschen Theorie ist die Ladung eine analoge Größe, die Elementarladung war vor 150 Jahren noch nicht bekannt. Mit der dort benutzten mathematischen Darstellung der Differentialrechnung ist verbunden, dass man üblicherweise einen Grenzwert mit bildet.

Bild 1-2: Das Messen von Strom und der Einfluss der Größe Elementarladung .

Wie in Bild 1-2 zu sehen, bereitet dieses Bilden eines Grenzwertes, startend mit großen Ladungsmengen und noch großen Zeitintervallen , zunächst kein ernsthaftes Problem. Irgendwann sind aber die Zeitintervalle so klein, dass die Quantelung der Ladung bemerkbar wird, Bild 1-2 unten. Man könnte den Strom eines Elektronenstrahls in einer Braunschen Röhre so messen, dass man die Lichtblitze auf dem Leuchtschirm, die die einzelnen Elektronen auslösen, registriert.

Bei kurzen Zeitintervallen kann die Ladungsänderung mit der Größe einer Elementarladung nicht mehr auf mehrere Zeitintervalle verteilt werden und man misst in einem Zeitintervall schließlich entweder eine Elementarladung oder keine. Die sich dabei ergebenden Werte der Größe Strom sind ziemlich unsinnig, entweder wäre oder mit einer von abhängigen willkürlichen Größe. Nur mit ergänzender Integration und Mittelung wären solche Messungen verwertbar. Einzig sinnvoll bleibt ein Bezug auf die zeitliche Dauer zwischen zwei registrierten Elektronen: . Da nicht immer gleich groß ist (warum das nicht sein kann, wird gleich erläutert), ist das Messen des Stromes zwar nur unsicher möglich, aber wegen einer endlichen Menge der von einzelnen Elektronen vermittelbaren Information doch dementsprechend genau.

Fragt man sich, welche beobachtete Größe die Information über den Wert des Stromes enthält, so ist dies nicht die Ladung der einzelnen Elektronen, denn diese ist als Naturkonstante immer gleich und nicht mit Information modulierbar. Es ist der zeitliche Bezug, der Abstand  ! zwischen mindestens zwei Elektronen, der die Information über die Stromstärke

[11-1]

vermittelt. In der Nachrichtentechnik kennt man so etwas im Zusammenhang mit dem Abtasttheorem. Bei dieser Betrachtung ist die Ladung digital, Zeit und Strom sind dagegen analoge Größen, jeder beliebige Wert scheint für sie zunächst zulässig. Dass der zeitliche Abstand zwischen aufeinander folgenden Elektronen beim Messen nicht konstant oder regelmäßig sein kann, wird verständlich, da sonst diskrete Frequenzen im Spektrum auftauchen würden, ohne dass dafür ein Anlass besteht. Das Fourier-Spektrum eines Rechteckimpulses, der sich ergibt, wenn der (während der Messung konstant angenommene) Strom erst ein- und dann wieder ausgeschaltet wird, ist kontinuierlich breitbandig. Dazu müssen die beim Messen des Stromes registrierten Ladungen zeitlich unregelmäßig aufeinanderfolgen. Das Resultat ist Rauschen (spektral breitbandig) und die damit verbundene Ungenauigkeit des Ergebnisses. Eigenschaften von Rauschen werden uns im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ begegnen. In der hier gewählten Zeitvorstellung besteht allerdings ein Bezug zu unendlich lang andauernden Schwingungen, also zu externen harmonischen Oszillatoren oder Uhren. Innerhalb der Folge der Elektronen alleine gäbe es als Maß die jeweilige zeitliche Dauer zwischen den detektierten Elektronen, die nicht so ohne weiteres zu vergleichen und unterscheiden wäre.

Die Zeit taucht unter verschiedenen Aspekten in der physikalischen Beschreibung auf. Als Zeitspanne können wir solch eine Dauer mit anderen vergleichen. Daneben gibt es allerdings mit einer „aktuellen Zeit“ auch die Möglichkeit, eine zeitliche Reihenfolge von Ereignissen mit vorher und nachher zu sortieren, das Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ wird dies behandeln.

Information und Gesetz[Bearbeiten]

Ehe wir zu konkreten physikalischen Problemen vorstoßen, sei zunächst mit Tabelle 1 eine einfach zu überschauende Anordnung betrachtet. Neun, zum Beispiel farblich unterscheidbare Würfel, werden gemeinsam geworfen. Es existiert einerseits eine vorgegebene Struktur mit ihrer Anzahl, jeder Würfel trägt auf seiner Oberfläche die Zahlen 1 bis 6 und sie werden gemeinsam geworfen, andererseits ist das Ergebnis des Wurfes für jeden Würfel rein zufällig eine dieser Zahlen, aber keine andere. Es ist daher für jeden individuellen Würfel nicht möglich, anzugeben, welche Zahl er beim nächsten Wurf zeigen wird. Es existieren nur Wahrscheinlichkeiten, jeweils 1/6, für die möglichen Ergebnisse. Mit jedem Wurf wird ein neuer Informationssatz gewonnen, die in der Tabelle gezeigte Zeile. Beim üblichen Spiel interessiert uns dieser einzelne Wert des Würfels nicht. Wir addieren die Werte aller Würfel und erhalten die Augensumme. Damit verzichten wir auf eine Information, die Kenntnis des Anteils vom einzelnen Würfel an dieser Summe. Bei neun Würfeln kann die Augensumme jeden der 46 Werte zwischen den Zahlen 9 und 54 annehmen. Bei Kenntnis der einzelnen Würfelwerte gibt es allerdings 69 mögliche Kombinationen. Die Werte der Augensumme treten beim Würfeln mit sehr unterschiedlicher Häufigkeit und daraus folgender Wahrscheinlichkeit auf.

Tabelle 1-1: Ergebnisse des Würfelns
Wurf Wa Wb Wc Wd We Wf Wg Wh Wi Augensumme Augenprodukt
1 3 1 6 2 4 1 6 3 5 31 12960
2 6 1 4 2 3 2 1 4 2 25 2304
3 5 6 1 3 3 5 1 5 5 34 33750
4 3 6 2 4 2 1 2 5 5 30 14400
5 5 4 4 4 4 5 5 3 2 36 192000
6 2 5 4 3 5 4 5 2 4 34 96000
7 3 5 1 4 3 2 3 4 6 31 25920
8 6 1 1 3 3 4 2 3 3 26 3888
9 5 1 1 1 6 3 2 2 5 26 1800
10 2 1 1 1 6 4 4 6 6 31 6912
11 1 2 1 1 1 6 1 6 1 20 72
12 6 5 2 2 5 6 3 4 4 37 172800
13 3 5 6 5 3 1 5 6 1 35 40500
14 1 2 5 2 6 2 1 4 4 27 3840
15 2 5 6 3 6 5 3 1 1 32 16200
16 1 1 3 5 6 1 5 5 5 32 11250
17 5 3 6 4 5 5 2 6 6 42 648000
18 6 5 2 4 4 4 5 6 6 42 691200
19 1 1 4 1 6 6 2 1 6 28 1728
20 2 5 6 6 4 2 1 6 5 37 86400
31,8 <- Mittelwert
Summe 68 65 66 60 85 69 59 82 82 70,6666667 <- Mittelwert
Mittelwert 3,4 3,3 3,0 3,0 4,3 3,0 3,0 4,1 4,0 3,53333333 <- Mittelwert

Einerseits wählt der Experimentator nun mit dieser Summation eine Art des Erfassens von Eigenschaften aus, andererseits existiert die Struktur der Augensummen als Linien im Koordinatensystem der Würfel, so wie in Bild 1-3 gezeigt. Hier im Beispiel mit zwei Würfeln (a, b), Bild 1-3 links zu sehen. Es gibt dann sechsunddreißig individuelle Wurfergebnisse aber nur elf mögliche Augensummen. Damit bleibt ein entsprechender restlicher Teil der Information für ein Gesetz des Ensembles übrig. Die Häufigkeitsverteilung für größere Anzahlen von Würfeln ist in Bild 1-3 rechts zu sehen. Ab drei Würfeln zeigt sich die Glockenkurve für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen.

Bild 1-3: Ab drei Würfeln zeigt sich die Glockenkurve für die Verteilung der Augensummen.

In unseren Gedanken vollziehen wir bei diesem Beispiel folgende Schritte:

  1. Wir lösen uns von den individuellen Informationen der einzelnen Würfel, wir machen sie bei unserem Betrachten ununterscheidbar und fassen sie zu einem Kollektiv zusammen. (Bei einem Gas würden wir nicht die Bewegung einzelner Atome oder Moleküle registrieren, sondern eine ihnen gemeinsame Eigenschaft wie Druck, Temperatur oder Volumen).
  2. Wir geben als Beziehung die Addition vor, die Multiplikation (in der Tabelle ganz rechts) würde zu anderen, unübersichtlichen Ergebnissen führen. (Bei einem Gas wären Druck oder Volumen von uns vorgewählt). Die dazugehörige Information existiert erst beim Kollektiv.
  3. Wir fassen gleichartige Summen zusammen und bekommen im 2-Würfel-Beispiel nun 11 davon, dies ist im Gegensatz zu den 36 Möglichkeiten, wenn wir die Individualität nicht weglassen würden. Damit wird die Informationsmenge gegenüber der Vorgabe begrenzt, ein Anteil des Zufalls wird ausgeblendet und es steht nun ein Rest der Information zur weiteren Verwendung zur Verfügung. (Druck, Volumen und Temperatur des Gases sind globale Größen, keine individuellen der Atome oder Moleküle).
  4. Aus der Restinformation erhalten wir nun als Gesetz die Glockenkurve, allerdings wegen der begrenzten Menge von Information nur einzelne Punkte davon und nicht etwa die kontinuierlich durchgezogene mathematische Kurve. (Ein in der Genauigkeit begrenztes Gesetz mit entsprechendem Rauschen).
Bild 1-4: Häufigkeitsverteilung der Augenmultiplikation, drei Würfel mit Oberflächen 1 bis 6.

Auch mit der Multiplikation können wir ein gesetzmäßiges Verhalten beobachten, Bild 1-4. Die Häufigkeitsverteilung der Augenprodukte von Würfeln ist allerdings nicht so schön anzusehen wie die glockenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Addition und die dazugehörende geometrische Struktur zeigt keine ausgeprägten Flächen sondern nur kleinere Punktkombinationen. Die Zahlenfolge enthält Lücken. Aber die Epizykeln des Ptolemäus waren ja auch nicht so schön wie Keplers und Newtons Gesetze. Hier wählt schließlich der Beobachter, welche Gesetze weiter verfolgt werden und welche für die zukünftige Betrachtung ausscheiden.

Interessant ist nun noch die Frage, ob aus dieser neuen Informations- und Gesetzeskombination die Ausgangsdaten zurückgewonnen werden können. Das Zuordnen einzelner Zahlenwerte zu einzelnen Würfeln ist offensichtlich allein mit Kenntnis der Augensummen nicht möglich. Kann man aber rekonstruieren, welche Art Würfel (Zahl der Würfeloberflächen) und welche Anzahl davon verwendet wurden ? Dass dies in begrenztem Umfang möglich ist, wird im Abschnitt „Information und Gesetz“ gezeigt, denn die mit vielen Würfen gewonnene Verteilungsfunktion hat zwei voneinander unabhängige Parameter, das Maximum und die relative Breite.

Es sei an dieser Stelle hervorgehoben, dass dieses Würfelexperiment zwei Komponenten enthält. Zum einen eine vorhandene Struktur in Form der Qualität der Würfel, eine feste Anzahl von Oberflächen, definiert beschriftet und eine feste Anzahl von verwendeten Würfeln. Diese Strukturen haben räumlichen Charakter, über den gemeinsamen Wurf all dieser Würfel kommt eine zeitliche Komponente hinzu. Das Ergebnis dieses Würfelns enthält nun noch den Zufall, aus der Vergangenheit folgt keins der neuen Wurfergebnisse. Aufgrund der vorhandenen Strukturen kann man nun allerdings für einige Größen Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen. Dies betrifft die oben erwähnte Augensumme und auch den zeitlichen Mittelwert der Augenzahl für einzelne Würfel. Typisch dafür ist eine Regel, nach der einzelne Ergebnisse zusammengefasst werden.

Wenn wir nun versuchen, die Struktur unserer Welt zu erkennen, so sei im folgenden die Hypothese vertreten, dass wir Teile davon durch eine Auswahl der Kombination von Beobachtungen erfassen können. Dies versuchen wir in der Physik. So zeigt sich oben beim Beispiel des Vogelfluges der Keil als räumliche Kombination der Positionen von einzelnen Vögeln zu ihren Nachbarn. In der Physik weisen wir den einzelnen Vögeln eine Koordinate in Raum und Zeit zu. Neben dieser lokalisierten individuellen Information, im Grenzfall als Punkt idealisiert, gibt es die gemeinsame Struktur des Keils, die nicht mehr derartig lokalisiert ist. Beim Beispiel des Stromflusses gab es die lokalisierte Ladung der einzelnen Elektronen und die Eigenschaft der Kombination, den in Raum und Zeit ausgedehnten Strom. Für die nicht lokalisierten Anteile der Information gibt es für alle beteiligten Objekte eine Gemeinsamkeit. Bei den Würfeln war dies der gemeinsame Wurf, bei den Vögeln der gemeinsame Flug und bei den Ladungen ihr gemeinsamer Beitrag zum Strom.

In der Physik begegnet uns immer wieder eine solche Kombination lokalisierter und nicht lokalisierter Eigenschaften, wir kennen Teilchen und Wellen. Die Eigenschaft als Teilchen begegnet uns, wenn lokalisiert eine Wechselwirkung auftritt wie bei der Detektion oder beim Energieübertrag. Wenn die Wechselwirkung räumlich ausgedehnt erscheint, wie bei Überlagerung und Interferenz, dann registrieren wir die Eigenschaft der Welle. Dies sei an folgendem Beispiel des Doppelspaltes demonstriert:

Information beim Doppelspaltexperiment[Bearbeiten]

Wellen werden an Hindernissen gebeugt. Das grundlegende Experiment am Doppelspalt ist bestimmt allen Lesern bekannt und soll hier in der Einführung einige Probleme verdeutlichen. Links oben in Bild 1-5 sehen wir zunächst eine räumlich ausgedehnte Lichtquelle. Die Gruppe der Photonen[1], die diese verlassen, trägt Information über ihren Ort, Abmessungen und optische Qualitäten in Form der Divergenz und Ausbreitungsrichtung. Der großflächige Strahl des Gaslasers ist schön parallel, während der mikroskopische Laser im CD-Spieler eine Divergenz von einigen 10 Bogengrad aufweist.

Sobald ein Hindernis in den Weg kommt, hier rechts daneben eine Blende mit einem Loch, werden Teile dieser Information gegen die des Hindernisses ausgetauscht. Dieses Hindernis existiert für alle Photonen dieses Experiments gemeinsam, egal wann sie es passieren. Solange das Loch gegen die Wellenlänge des Lichtes groß ist, sehen wir mit dieser Anordnung einer Lochkamera auf der Detektionsfläche ein Bild der Lichtquelle mit der Schärfe, die durch die Strahlenoptik bestimmt ist. Das Licht zeigt jetzt nur einen Ausschnitt seiner ursprünglichen räumlichen Verteilung und dafür ist Information über die gegenseitige Position von Lichtquelle und Loch prägnant. Wenn man den Lochdurchmesser verkleinert der Wellenlänge des Lichtes nähert, zeigen immer mehr Photonen eine Wechselwirkung mit dieser Blende und werden merklich gebeugt, während der Anteil der ungestört passierenden Photonen abnimmt. Die Abbildung der Lichtquelle mit dem zu ihr gehörenden Informationsanteil auf der Detektionsfläche weicht dem Beugungsbild der Blende, der Information über ihren Durchmesser, ihre relative Position und ihre Form. Wenn der Strahl, im Bild rechts daneben, auf einen der Spalte eines Doppelspaltes fokussiert wird, beobachten wir auf der Detektionsfläche dahinter das entsprechende Beugungsbild, das wesentlich durch die Position des Spaltes relativ zur Lichtquelle und seine Breite geprägt ist. Die ursprüngliche Information der verteilen Photonen beim Abstrahlen von der Lichtquelle ist nicht rückwärts zu rekonstruieren, neu ist die Information im Bezug zum Spalt. Ist der ursprüngliche Strahl so divergent, dass beide Spalte beleuchtet werden, so zeigt sich zusätzlich die Information des Abstandes d der beiden Spalte im Interferenzmuster, ganz rechts.

Wie sieht dieses Problem aber nun aus, wenn nur wenige Photonen unterwegs sind, wie unten im Bild 1-5 zu sehen ist ? Links ist zunächst die erwartete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die drei möglichen Fälle, nur oberer Spalt, unterer Spalt und beide Spalte, dargestellt. Daneben ist das Ergebnis mit einem einzelnen Quant, Elektron oder Photon demonstriert.

Können Sie aus solch einem einmaligen lokalisierten Ereignis eine Aussage über den Weg dieses Quants machen ? Nein ! Ein einzelnes Quant kann nicht genug Information transportieren, um solch eine detailreiche Aussage zu vermitteln. Mit einer einzigen Ja-Nein-Aussage ist dies nicht möglich. Auch mehrere Quanten, wie im mittleren Teil des Bildes, reichen noch nicht aus. Erst die beiden ganz rechten Bilder beginnen unsere Fragestellung beantworten zu können. Die Frage nach dem Weg und seiner Gestalt lässt sich also erst aus den Beziehungen zahlreicher Quanten untereinander beantworten. In diesem Fall ist es die räumliche Verteilung auf der Detektionsfläche. Sie ist unabhängig davon, wann die einzelnen Quanten eingetroffen sind. Es ist für die behandelte Fragestellung also egal, ob mehrere Quanten gleichzeitig unterwegs sind oder nacheinander ankommen, eine zeitliche Information wird hier nicht diskutiert ! Gemeinsam sind die räumlichen Positionen der Quelle und des Hindernisses in Bezug auf die Gruppeninformation. Dies lässt die bekannten Einzelphotonen- und Einzelelektronenexperimente unter einem neuen raumzeitlichen Blickwinkel erscheinen und sei eine Anregung, die Gedanken der folgenden Kapitel nachzuvollziehen.

Bild 1-5:
Zur Information als Beziehung zwischen Objekten können einzelne Quanten nur einen kleinen Teil beitragen.
Oben links tragen Photonen zunächst die Information über Ort und Größe der Lichtquelle. Beim Passieren von Blenden und Spalten im Strahlweg wird diese Information gegen die der Hindernisse ausgetauscht.
Von links nach rechts nimmt unten der Informationsgehalt bei der Detektion einzelner Quanten mit ihrer Anzahl zu, die links angedeuteten statistischen Verteilungen lassen sich erst mit großen Zahlen erreichen.

Wo finden wir Information ?[Bearbeiten]

Wer sich heute damit beschäftigt, wie die Welt physikalisch zu beschreiben ist, begegnet zunächst zwei unterschiedlichen Sichtweisen. Mit der „klassischen Physik“ beschreibt man die Welt als Kontinuum, es gibt Raum und Zeit sowie Ursachen und Wirkungen. Die Natur scheint beliebig genau definiert, was von Seiten der Information bedeutet, dass die Menge der Information unendlich sein müsste. Nachdem Emil Wiechert[2] 1896 und J.J. Thompson[3] die elementare Ladung des Elektrons entdeckten und Max Planck[4] 1900 das Wirkungsquantum, wurde vor hundert Jahren die Theorie von Atomen[5] und der Quantenmechanik[6][7][8][9] entwickelt, die derzeit als die umfassendste Theorie in der Physik angesehen wird. Die Ergebnisse der auf ihr beruhenden Berechnungen liefern Wahrscheinlichkeiten für experimentelle Beobachtungen. Viele Physiker sehen die klassische Physik als ihren Grenzfall für große Anzahlen von Quanten und folgen außerdem der Kopenhagener Interpretation. Auf ihrer Habenseite steht, dass es keine wesentlichen Widersprüche bei den mit ihr berechneten Beobachtungen gibt und eine umfassende Anzahl von Erscheinungen beschrieben wird. Schattenseiten der Quantenmechanik sind das fehlende elementare Verständnis ihrer Natur und die gedankliche Inkonsequenz, wenn man annimmt, dass die kausalen Zusammenhänge der klassischen Physik als Grenzwert aus dem Zufall der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten folgen sollen. Parallel zum Anwenden der Quantenmechanik wuchs auf technischer Seite das Übertragen von Nachrichten, zum Beispiel mit Telegrafie, Rundfunk und Fernsehen. Daraus folgte dann ein eigener Wissenschaftszweig, wir kennen die Informatik, Nachrichten- und Computertechnik.

Wenn der Physiker eine Messung durchführt, möchte er Information erkennen. Es liegt daher nahe, physikalische Probleme einmal von der Seite der Information her zu betrachten, was unter anderem Weizsäcker[10] vor einiger Zeit mit seinem Ur einführte. Wenn es beispielsweise Elektronen gibt, die sich nicht individuell unterscheiden lassen, dann sei im folgenden die Größe „Ladung“ auf eine Anzahl von Elektronen zurückzuführen. Die kleinste mögliche Anzahl wäre ein einzelnes Elektron. Bestünde die Welt nur aus solch einem einzigen Elektron, so gäbe es maximal die Information, ob dieses Elektron vorhanden ist oder nicht und wir hätten keine Möglichkeit, dies zu erkennen. So etwas wie das elektrische Feld wäre eine unnötige, ja sogar sinnlose Illusion. Selbst um solch ein Feld auch nur punktuell abzutasten, brauchte man mindestens eine zweite Ladung. Auch Größen wie Kraft oder Position könnte man dem einzelnen Objekt nicht zuordnen.

Um diese Gedanken zu veranschaulichen, betrachten wir ein planetenähnliches System mit der Sonne im Zentrum, allerdings sollen die dort vorhandenen Objekte sich auf ein Minimum an Informationen beschränken, also keine Information tragenden individuellen Eigenschaften, wie zum Beispiel einen Durchmesser, zeigen können. Starten wir mit der „Sonne“. Diese Sonne ist entweder vorhanden, wie es Bild 1-21 links zeigt oder nicht, rechts. Ein solches isoliertes System hat noch keine Koordinatenachsen, es ist 0-dimensional. Begriffe wie Entfernungen oder die Zeit haben keinen Sinn. Es gibt im Höchstfall die Information, ob die „Sonne“ S als Objekt vorhanden ist oder nicht. Wie wir später verstehen werden, ist dies gedanklich zunächst eine punktuelle Vorstellung in dem Sinne: es gibt keine weitere Eigenschaft als die, dass dieses Objekt existiert oder nicht existiert. Dem Leser sind allerdings Unschärferelationen und die Nullpunktsenergie vertraut. Wir werden später, um Singularitäten zu vermeiden, räumliche Punkte durch zumindest minimale Längen und Zeitpunkte durch Dauern ersetzen müssen, bekannt ist sicher die Relation zwischen Energie- und Zeit-Genauigkeit. Dann ist auch die Nichtexistenz eine Information und die Unkenntnis nicht mit der definierten Zahl Null, sondern mit einer endlichen Größe zu verbinden, was mit dem rechten Teil des Bildes als der Tatsache einer möglichen Existenz symbolisiert werden soll.

Bild 1-21: Bei minimalem Informationsgehalt des Systems existiert das Objekt S entweder, links, oder es existiert nicht, rechts. Ein raumzeitliches Koordinatensystem wäre sinnlos.
Bild 1-22: Zwei Objekte und zeigen neben der Existenz der Objekte noch eine Beziehung zwischen ihnen, hier den Abstand , und das Problem wird eindimensional.
Bild 1-23: Ein System mit drei Objekten enthält auch drei dazwischen befindliche Beziehungen. Die Darstellung erfordert zwei Dimensionen.

Wenn dieses System nun um die „Erde“ ergänzt wird, dann ergibt sich das Bild 1-22. Mit zwei Objekten und gibt es neben dem Vorhandensein der Objekte noch eine Beziehung zwischen Ihnen, das ist der Abstand , und das Problem wird eindimensional beschreibbar. Dieser Abstand legt den Maßstab einer Länge fest, der mit den uns vertrauten Maßstäben eines externen Beobachters zwischen der realen Sonne und Erde zeitlich variieren würde. Im Quantensystem mit minimaler Information sind bei so wenigen Objekten solche dynamischen Effekte weder erkennbar noch definiert und es gibt damit auch keine Veränderungen, die Grundlage einer weiteren physikalischen Größe, der „Zeit“, sein könnten. In diesem kleinen System würden selbst auch aufeinander zustürzende Objekte als Grundlage des Erkennens gegenseitiger Existenz nur ihren Abstand als konstant scheinendes Maß kennen.

Mit drei Objekten, ergänzt um den die Erde umkreisenden Mond , wird das „Universum“ nun schon interessanter, Bild 1-23. Während die Anzahl der Objekte um eins gewachsen ist, steigt die Anzahl der Beziehungen von eins um zwei auf drei, da jedes neue Objekt Beziehungen zu allen schon vorhandenen Objekten zeigt, und es gibt die Entfernungen , und . Dieses System ist nun zweidimensional und in einer Ebene beschreibbar. Neben den Entfernungen[11] ist man versucht, daraus nun auch Winkel abzuleiten. Mit einer Informationsmenge 3 Bit entsprechend der Existenz von den drei Quanten ist allerdings sehr wenig Information vorhanden. Außerdem gibt es zeitliche Veränderungen, die besonders einfach an der Periode der Mondumkreisung festgemacht werden können. Mit dem Maßstab der Entfernung Erde Mond ist auch die Entfernung Sonne Erde keine Konstante mehr, sondern eine zeitabhängige Länge . In den uns vertrauten Koordinaten des Solarsystems ist die Bahn der Erde um die Sonne eine Ellipse und nicht etwa ein Kreis mit konstantem Radius. Der ungleichmäßige Abstand Erde - Sonne könnte dabei im Koordinatensystem von Bild 1-23 auf eine Schwingung um eine Gleichgewichtsposition zurückgeführt werden. Nur mit weiteren Planeten wäre es möglich, solch ein raumzeitliches Geschehen zu beschreiben, zum Beispiel mit den Epizykeln des Ptolemäus. Bis zum Gravitationsfeld ist es ein weiter Weg.

An dieser Stelle wird allerdings schon ein Grundprinzip der Informationsabtastung deutlich. Es gibt zwei verschiedene Eigenschaften, die sich gegenseitig bedingen, wie Bild 1-24 zeigt. Eine Gerade wird durch zwei Punkte definiert und umgekehrt kann man mit zwei Geraden einen Punkt definieren. Um eine Geschwindigkeit (Impuls) zu definieren, braucht man neben dem Zeitintervall zwei Raumpunkte .

Bild 1-24: Zum Erkennen einer Struktur benötigt man mindestens zwei Abtastwerte, zwei Punkte für eine Gerade oder zwei Geraden für einen Punkt.

In der Nachrichtentechnik findet man dies dann als Abtasttheorem wieder[12][13][14], nachdem zum Abtasten einer periodischen Struktur mindestens zwei Abtastwerte pro Periode vorhanden sein müssen. Der Physiker ahnt an dieser Stelle vielleicht schon als ähnlich komplementäres System die Darstellung der Welt mit Wellen und Teilchen. Es sei an dieser Stelle ausdrücklich bemerkt, dass es dabei nicht nur die zwei abtastenden Größen gibt, sondern damit verbunden die resultierende Beziehung, es handelt sich also jeweils um eine Dreieinigkeit.

Die Vorstellung einer zeitlichen Entwicklung orientiert sich im folgenden an der schon von Weizsäcker[15] geäußerten Annahme einer Liste von Ereignissen und Zuständen, die die Vergangenheit festhält und die in der Gegenwart um die realisierten Messergebnisse potentieller Möglichkeiten der Zukunft ergänzt wird. In dem an dieser Stelle bisher gedachten System ist allerdings nicht zu sehen, in welchem Träger die Information einer solchen Liste geführt werden sollte. Dies ist ein Hinweis, dass wir uns im Folgenden auch mit der Vorstellung von „Zeit“ noch ausführlich beschäftigen müssen.

Wenn man sich den bei der physikalischen Messung erfassten Teil des Universums aus einzelnen Quantenobjekten zusammengesetzt denkt, so kann man die gesuchten Eigenschaften aus den Beziehungen dieser Quanten untereinander ableiten. Die gesamte Informationsmenge hängt mit der Anzahl der Quanten zusammen. Die beim Messen erreichbare Auflösung hängt daher von dieser Anzahl ab. Allerdings kann man, wie später gezeigt wird, nicht alle Information auf eine physikalische Größe konzentrieren. Auch die Maßstäbe ergeben sich, wie oben im Beispiel gezeigt, erst aus den gegenseitigen Beziehungen der Objekte. Wenn die Grenze unserer heutigen physikalischen Beschreibung des Universums durch die Planckeinheiten gegeben wird, so kann man annehmen, dass diese ein Resultat der Menge von Objekten und der Energie im Universum und dem damit verbundenen Umfang an Information sind.

Aus gequantelten Größen folgt sofort eine Begrenzung von Informationsmengen. Die Abzählbarkeit bedeutet, das es nur ganzzahlige Vielfache einer Grundeinheit gibt und keine Zwischenwerte. Es gibt also keine kontinuierlichen, analogen Funktionen, sondern nur Stufen, wie wir es vom harmonischen Oszillator kennen. Für ihn gilt, wie in Bild 1-25 gezeigt, der Zusammenhang von Wirkung und im System vorhandener Energie in diskontinuierlicher Weise. Solange die zugeführte Energie nicht die für die Frequenz des Oszillators Typische Schwelle überschreitet, passiert nichts. Mit höheren Energien werden dann die einzelnen Stufen des Oszillators nacheinander erreicht. Die Stufung von mit beginnt dann mit dem Energieintervall und wird mit Stufen dieser Breite fortgesetzt. Eine Gerade mit der Steigung (das ist die Periodendauer) verbindet die energetischen Mittelwerte der Stufen. Auf dieser analogen klassischen Geraden liegen die Punkte der beobachtbaren Messergebnisse. Diese trifft mit den Stufen für ganze Vielfache des Wirkungsquantums an den Stellen zusammen, die die Quantenmechanik für die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators erwartet, . Ganz links finden wir für die bekannte Nullpunktsenergie[16] bei , sie taucht an dieser Stelle wegen der diskreten Stufung und der daraus folgenden Digitalisierungsunschärfe auf. Sie charakterisiert unsere Unkenntnis, die Größe unseres Nichtwissens über den Zustand.

Bild 1-25: Der harmonische Oszillator. Die Wirkung als Funktion anderer Größen () erscheint nur als ganzzahliges Vielfaches von , digital gestuft und einer daraus folgenden begrenzten Genauigkeit und einem mittleren Startwert. Die Steigung der Geraden entspricht der Periodendauer des harmonischen Oszillators.

Die Wirkung

[11-2]

ist uns zwar als Rechengröße vertraut, nicht jedoch so anschaulich wie etwa die Begriffe der Energie und der Leistung . Es gibt noch andere elementar gequantelte Größen, die im Experiment beobachtet werden, so die elektrische Elementarladung e und das magnetische Flussquant, das Fluxon . Diese werden bei den folgenden Gedanken eine wichtige Rolle spielen, auch sie führen zu einer Grenze der Auflösung und einer aus der Abzählbarkeit folgenden Unsicherheit, die im Prinzip schon als Heisenbergsche Unschärferelationen[17][18] bekannt ist. Vermutlich ist auch bei ihnen eine der „Nullpunktsenergie“ entsprechende Basis der Ungenauigkeit zu erwarten.

Aus Sicht der Information ist so etwas wie die Nullpunktsenergie aus folgendem Grunde sinnvoll: die Information einer digital binären Ziffernfolge 00100 ist durch Negation in 11011 umzuformen und man wird zu recht erwarten, das die Menge an Information in beiden Folgen identisch ist, da die transformierende Relation reversibel ist. Damit tragen dann die Nullen genauso Information wie die Einsen. Fehlende Information muss dann dadurch charakterisiert sein, dass den unbekannten Stellen einer Zeichenfolge weder eine Null noch eine Eins zugeordnet werden kann, sondern XXXXX, also jeweils nur eine Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent für beide Möglichkeiten mit der entsprechenden Energie.

Lassen Sie uns im Folgenden betrachten, wie verschiedene Phänomene unter solch einem Blickwinkel zu sehen sind.

Verschiedene Quanten[Bearbeiten]

Vor gut hundert Jahren entdeckten Physiker die ersten Quanten, zunächst das Elektron, dann das Plancksche Wirkungsquantum und folgend die Photonen.[19] Davon sind die Größe der Ladung des Elektrons () und das Plancksche Wirkungsquantum () unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem. Die Masse des Elektrons hat den minimalen Wert der Ruhemasse und die Photonen treten mit beliebiger Energie auf. Im Zusammenhang mit der Supraleitung wurde schließlich das magnetische Flussquant () gefunden, das vorher schon mit doppelter Größe[20] prognostiziert worden war. Das experimentelle Ergebnis[21][22], lieferte dann ein Indiz für die Existenz der Cooper-Paare. Die Kombination dieser drei Konstanten finden wir in der Gleichung:

. [12-1]

Im Fall der Supraleitung[23] finden wir die Zwei im Zusammenhang mit der Ladung des Cooper-Paars. Bei der Ladung hätte ich sie auch allgemein vermutet, denn im ladungsneutralen Universum gibt es für jede Ladung eine zweite entgegengesetzte. Im Folgenden ist diese Zwei jedoch fast immer mit dem magnetischen Flussquant kombiniert, wenn man nach „schönen“ Gleichungen sucht. So auch beim Klitzing-Widerstand [24], dessen in der Literatur gefundene Beschreibung sich leicht mit [12-1] in den Quotienten aus Magnetfluss zu Ladung wandeln lässt:

[Vs/As] [12-2]

Wenn es magnetisch nur Dipole gibt, enthalten diese zwingend zwei Pole mit den diese dann umgebenden Flussquanten und zusätzlich den entsprechenden Fluss, der die Pole verbindenden Dirac-String. Gedanklich problemlos lässt sich diese Zwei weiterhin auch dem Abtasttheorem zuordnen.

Neben diesen beiden elektromagnetischen Quanten und gibt es automatisch noch zwei weitere. Jede Elementarladung ist Quelle eines zugehörigen elektrischen Feldes und damit gibt es auch einen dazugehörigen, diese Ladung umgebenden, immer gleich großen elektrischen Fluss und umgekehrt gibt es dann auch eine Polstärke für magnetische Flüsse.

Für einen elektrischen Fluss zeigt sich entsprechend der im Gerthsen[25] gefundenen sinnvollen Definition

[Vm] [12-3]

in der Folge, dass es auch ein elektrisches Flussquant mit der Größe

[12-4]

geben sollte. Ein Einheitenvergleich zwischen elektrischen und magnetischen Größen ergibt für diesen elektrischen Fluss [As · Vm / As] die Einheit [Vm]. Im Produkt von Ladung und Fluss zeigen sich vier elementare Maßeinheiten [VAms]. Die Einheit der elektrischen Ladung ist [As], die Einheit des magnetischen Flusses ist [Vs]. Dann ergibt sich für die Einheit einer magnetischen Ladung aus Symmetriegründen und auch aus dem Gaußschen Satz nach Integration über die Zeit für die Einheit [Am].

Diese Quellenstärke magnetischer Monopole („magnetische Ladung“) ist nach Dirac:[26]

[Vm] [12-5]

Nun ist es in der physikalischen Beschreibung durchaus üblich, durch passende Wahl von Einheiten die rechnerische Beschreibung zu vereinfachen (zum Beispiel mit c = 1) und historisch zu heutzutage unüblichen Maßen zu kommen (die elektrische Kapazität wurde in Zentimeter statt heute üblich in Farad angegeben) oder durch Multiplikation mit Naturkonstanten elektrischen und magnetischen Größen die gleichen Einheiten zu „verpassen“, wie es bei dem elektrischen Fluss verbreitet zu finden ist. Im folgenden werden die elektromagnetischen Quanten so bemaßt, wie es der Symmetrie des im Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“ diskutierten elektromagnetischen Quaders entspricht. Die Potentiale [V] treten als Ableitungen der Flüsse auf, magnetisch nach der Zeit (Induktionsgesetz) und elektrisch nach dem Raum (Coulomb-Gesetz). Die Ableitungen der Pole liefern den Strom [A], elektrisch die Ladung pro Zeit und magnetisch dann der Bezug auf entsprechende räumliche Änderungen. Die räumlichen Ableitungen beziehen sich wohl nicht auf Längen alleine sondern auf den Quotienten aus einer Fläche pro Länge.

Die in der Literatur erwartete Größe des magnetischen Monopols hat die Einheit

[As] [12-6]

und ergibt dann multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit die hier erwartete Einheit.

[As · m/s] [12-7]

und eingesetzt ergibt sich der Zusammenhang mit dem elementaren magnetischen Flussquant

. [12-8]

Gegenübergestellt zeigen sich elementare elektrische und magnetische Ladungen und Flüsse also entsprechend der folgenden Tabelle 1-1. Die magnetische Ladung kann man dann auch gequantelt mit

[12-9]

erwarten. Im Folgenden wird allerdings, um den ständigen Faktor Zwei zu vermeiden, wie in Gleichung [12-7] die doppelte Größe verwendet.

Bei den Schwingungsquanten gilt für ihre Energie

[12-10]

und für den Zusammenhang zwischen Frequenz und Periodendauer

. [12-11]
Tabelle 1-2: Elektrische und magnetische Ladungs- und Flussquanten
Art Ladung Fluss
elektrisch [As] [Vm]
magnetisch [Am] [Vs]

Die universelle Darstellung ist daher die Kombination

, [12-12]

die im Einzelfall aus sehr unterschiedlichen Komponenten zusammengesetzt sein kann. Im mechanischen Fall gilt entsprechendes mit

, [12-13]

wobei wir später im Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ im Zusammenhang mit Phononen sehen werden, dass die Ortskoordinate als minimale Auslenkung einer Schwingung und der dazugehörigen Impuls ebenfalls Quantencharakter zeigen.

Im Experiment begegnen uns die einzelnen Quanten, indem wir sie zählen (Photonen, Elektronen, Flussquanten) oder über größere Anzahlen mitteln (integrieren). Gegebenenfalls interessiert uns auch der zeitliche Abstand, in dem wir sie registrieren (Abklingzeiten, zeitabhängige Dichten). Die Zeit taucht zum einen als ablaufende Zeit mit Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft auf, wenn eine Dynamik beobachtet wird, oder aber als Dauer einer Messung oder Periode , als Quotient von Wirkung und Energie. Das durch die quantisierte Ladung verursachte Schrotrauschen ist schon lange bekannt und in anderem Zusammenhang verstanden, während die masselose Quantelung des Magnetflusses , die in den folgenden Überlegungen häufig gleichwertig auftaucht, in unserer Vorstellung noch keinen vergleichbaren Stellenwert erhalten hat.

Die Elementarladung begegnet uns im Experiment bei Elektronen, Protonen und µ-Mesonen. In diesen Fällen ist damit stets eine Masse verbunden und wohl auch die Vorstellung eines Teilchens. Davon benötigen wir im folgenden nur die elektrischen Eigenschaften, also die Ladung, Massen treten in den Maxwellschen Gleichungen ja auch nicht auf. Eine solche Ladung ist zum Beispiel auf der Elektrodenplatte eines Kondensators dann auf viele Elektronen und Protonen räumlich verteilt, ohne selbst als lokalisiertes Teilchen existent zu sein. Auch in Photonen wird sie uns begegnen. Wenn Photonen erzeugt werden, bei der inversen Paarbildung, beim Orbitalwechsel zwischen atomaren Elektronenschalen, mit Speicherringen oder beim Stromfluss in der Rundfunkantenne, sind stets die elementaren Ladungen ausschlaggebend beteiligt und bleiben dann vernünftigerweise auch in Zukunft für die Eigenschaften des Photons prägend.

Der elektromagnetische Quader[Bearbeiten]

Wir finden die elektromagnetischen Quanten in der Literatur zahlreich in Kombination mit Naturkonstanten, wie hier zum Beispiel bei den Gleichungen [12-1] bis [12-9]. Es gelingt, solche Zusammenhänge in einem „elektromagnetischen Quader“ darzustellen. Dabei werden vier Eckpunkte des Quaders durch die Quadrate der vier elektromagnetischen Quanten gebildet, wie es Bild 13-1 zeigt. Die Mitten der sechs Oberflächen ergeben sich als Produkte je zweier unterschiedlicher solcher Quanten. Die Verbindungslinien zwischen diesen ausgezeichneten Punkten stellen Multiplikationsfaktoren dar, die größtenteils als Naturkonstanten bekannt sind oder gegebenenfalls später noch behandelt werden. Auslöser für die folgende Beschreibung war die Erkenntnis, dass man mindestens zwei Quanten braucht, um eine Beziehung zwischen ihnen physikalisch zu realisieren und dass die Größe Energie in vielen Formeln mit dem Quadrat gequantelter Größen auftritt,

Bild 13-1: Der elektromagnetische Quader wird aus den Multiplikationen von je zwei elektromagnetischen Quanten aufgespannt.

So muss man das Quadrat der Elementarladung mit dem Klitzing-Widerstand multiplizieren, um zum Wirkungsquantum zu gelangen

[13-1a]

und noch einmal damit multipliziert erreicht man das Quadrat des doppelten magnetischen Flussquants.

[13-1b]

Die Koordinaten sind in horizontaler Ebene von links nach rechts die Einheiten von Zeit und Raum (Sekunde und Meter) und von vorn nach hinten die elektrischen Einheiten (Ampere und Volt). Von oben nach unten ändern sich die Einheiten nicht, die Ebenen unterscheiden sich also jeweils um einen reinen Zahlenfaktor, das Doppelte der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante 2α. In der obersten Ebene sind nur elektrische Größen, in der untersten nur magnetische und die mittlere werden wir später der Information zuordnen. Die Multiplikationsfaktoren sind in Bild 13-2 als Verbindungslinien dargestellt. Die Feinstrukturkonstante α zeigt hier das Verhältnis der Vakuumimpedanz , die durch den Quotienten der elektromagnetischen raumzeitlichen Beziehungen gebildet wird, zum halben Klitzing-Widerstandes als Quotient der elementaren Quanten im elektromagnetischen Quader links und entsprechendes beim Pendant rechts.

[13-2]

Weiterhin ist sie im Verhältnis der im unteren Teil des Bildes markierten Geschwindigkeiten zu finden.

[13-3]
[13-4]

und eine weitere Impedanz:

[13-5]

sowie Bild 13-2 Mitte die Kombinationen:

  • die Lichtgeschwindigkeit [13-6]
  • die Impedanz des Vakuums [13-7]
  • das Doppelte der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante [13-8]

also insgesamt neun Multiplikatoren.

Bild 13-2: Die Multiplikationsfaktoren im elektromagnetischen Quader.

Diese Quotienten der elektromagnetischen Quantenpaare sind:

  • der Klitzing-Widerstand
  • die Dielektrizitätskonstante
  • die Permeabilität des Vakuums

zwei später noch zu behandelnde Geschwindigkeitsgrößen (Bild 13-2 unten).

Ein solcher Quader lässt sich mit drei Maßen für seine eigenen Abmessungen, wie es Bild 13-2 an drei Beispielen zeigt, und einem weiteren für seine Position relativ zum Universum eindeutig definieren. Dies bedeutet, dass all diese Naturkonstanten auf maximal vier Grundgrößen zurückzuführen sein müssen. Die Frage, welche dieser Größen nun die Basis einer solchen Struktur liefern, gibt den Anlass, dann Einzelheiten im Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“ zu lesen.

Die abzählbare Physik zeigt zahlreiche bekannte physikalische Phänomene unter einem neuen Blickwinkel und mit neuen Zusammenhängen. Ganz neu allerdings ist die Hypothese am Ende der Abhandlung, bei der die Gravitationskonstante auf die Energie räumlicher Beziehungen zurückgeführt wird, als ein mit der Verteilung der Massen im Universum vorgegebener Faktor.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Wenn hier von Photonen die Rede ist, sind die Energiepakete gemeint. Es wird nicht erwartet, dass diese in Raum und Zeit lokalisiert sind, erst bei der Messung ist solch eine Eigenschaft festzustellen.
  2. Wiechert E., Schriften der physikalisch-ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg in Pr. 1897. 38. Jg. Nr. 1. Sitzungsber. S. 3-16
  3. J. J. Thomson: Cathode rays, Phil. Magazine 1897, Nature 1897
  4. Max Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum, Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900)
  5. Niels Bohr: On the Constitution of Atoms and Molecules, Part I. Philosophical Magazine. 26, 1913, S. 1–25
    Niels Bohr: On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II Systems Containing Only a Single Nucleus. Philosophical Magazine. 26, 1913, S. 476–502.
    Niels Bohr: On the Constitution of Atoms and Molecules, Part III Systems containing several nuclei. Philosophical Magazine. 26, 1913, S. 857–875.
    Niels Bohr: The spectra of helium and hydrogen. In: Nature. 92, 1914, S. 231–232
  6. W. Heisenberg: Über quantenmechanische Kinematik und Mechanik, Mathematische Annalen. 1926.
    W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik. 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198
  7. Paul Adrien Maurice Dirac: The Quantum Theory of the Electron, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. A, Nr. 778, 1928, S. 610–624
  8. Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem, Annalen der Physik. Bd. 79, 1926, S. 361, 489, 734, und Bd. 81, 1926, S. 109
  9. Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan: Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift für Physik. 1926
  10. Carl Friedrich von Weizsäcker: Aufbau der Physik, Kapitel 5 ff, Carl Hanser Verlag, 1986, ISBN 3-446-14142-1
  11. Es wäre verfehlt, an dieser Stelle etwa anzunehmen, der Abstand sei fünfhundert mal so groß wie der Abstand und hier nur zum Verdeutlichen mit einem verzerrten Maßstab dargestellt. Solche Maßstäbe existieren aufgrund der geringen Informationsmenge nicht. Die Grenze der Erkenntnis liegt in der Tatsache, welcher Abstand größer und welcher kleiner ist. Der gezeigte Fall ist insofern bemerkenswert, als dass die Anzahl der Beziehungen gleich der Anzahl der Objekte ist. Bei mehr Objekten überwiegt die Anzahl der Beziehungen deutlich.
  12. K. Küpfmüller: Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler, Elektrische Nachrichtentechnik. Band 5, Nr. 11, 1928, S. 459–467.
  13. Wladimir A. Kotelnikow: On the transmission capacity of „ether“ and wire in electrocommunications, Izd. Red. Upr. Svyazzi RKKA, 1933
  14. Claude Elwood Shannon: Communication in the Presence of Noise, Proc. IRE, Vol. 37, No. 1 (Januar 1949).
  15. Carl Friedrich von Weizsäcker, Aufbau der Physik, 1986 Carl Hanser Verlag, ISBN 3-446-14142-1, der Zeitpunkt der Messung in der Gegenwart trennt die schon bekannte Vergangenheit von den Prognosen der Zukunft
  16. Walther Nernst: Über einen Versuch von quantentheoretischen Betrachtungen zur Annahme stetiger Energieänderungen zurückzukehren, in: Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Band 4, 1916, S. 83.
  17. Werner Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik 43, Nr. 3, 1927, S. 172–198
  18. Werner Heisenberg: Physikalische Prinzipien der Quantentheorie. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1930
  19. Albert Einstein: Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik. 322, Nr. 6, 1905, S. 132–148
  20. Fritz London: Superfluids, vol.1,Wiley (1950) ,S. 152
  21. R. Doll, M. Nähbauer, Phys. Rev. Lett. 7, 51 (1961)
  22. B. S. Deaver Jr, W. M. Fairbank, Phys. Rev. Lett. 7, 43, (1961)
  23. Leon N. Cooper: Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas, Physical Review. 104, Nr. 4, 1956, S. 1189–1190
  24. Klaus von Klitzing: The quantized Hall effect, Rev. Mod. Phys.. 58, Nr. 3, 1986, S. 519-531
  25. Dieter Meschede: Gerthsen Physik, S. 318, 24. Auflage, Springer, 2010, ISBN 978-3-642-12893-6
  26. Paul Adrien Maurice Dirac: Quantized Singularities in the Electromagnetic Field, Proceedings of the Royal Society of London A133, 60–72 (1931)