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Begründung:

Gekürzte Kopie von Formelsammlung Physik: Relativitätstheorie; von J.S stammen die Formeln sicher nicht. --Hardy42 19:49, 29. Jul. 2025 (CEST)

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SRT (Spezielle Relativitätstheorie)

Gebräuchliche Abkürzungen

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

Lorentzfaktor $\beta$

\beta :={\frac {v}{c}}

Lorentzfaktor $\alpha$ oder Zeitdehnungsfaktor

\alpha :={\sqrt {1-\beta ^{2}}}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.

Lorentzfaktor $\gamma$

\gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

.

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in $x$ -Richtung	Inverse Galilei-Transformation
$t'=t$ $x'=x-v\cdot t$ $y'=y$ $z'=z$	$t=t'$ $x=x'+v\cdot t'$ $y=y'$ $z=z'$

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in $x$ -Richtung	Inverse Lorentz-Transformation
$t'=\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x\right)/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ $x'=\left(x-v\cdot t\right)/{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ $y'=y$ $z'=z$	$t=\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}\cdot x'\right)\cdot {\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ $x=\left(x'+v\cdot t'\right)\cdot {\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ $y=y'$ $z=z'$

Zeitdilatation

Vorlage:Hauptartikel

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich:

T'=T_{0}\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

T_{0}=T'/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

Es gilt die Äquivalenzumformung.

In alter Schreibweise

Eine etwas andere, lange Zeit gebräuchliche Schriebweise ist dies:

\Delta {t'}=\Delta {t}\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

\Delta {t}=\Delta {t'}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

Längenkontraktion

Vorlage:Hauptartikel Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

L'=L_{0}\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

L_{0}=L'/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

In alter Schreibweise

Eine etwas andere, lange Zeit gebräuchliche Schriebweise ist dies:

l'=l\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

l=l'/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

Rot-/Blauverschiebung

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

k=f/f'=k_{\gamma }\cdot k_{dop}

mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

k_{\gamma }:=1/\gamma ={\sqrt {1-\beta ^{2}}}

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

k_{dop}:=1/(1+\beta _{rad})

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

k_{blue}=1/(1-|\beta _{rad}|)=1/(1-|v_{rad}|/c)

insgeamt also

k={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-|\beta _{rad}|}}

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

k_{red}=1/(1+\beta _{rad})=1/(1+v_{rad}/c)

insgeamt also

k={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta _{rad}}}

Der z-Faktor ergibt sich aus

z:=k-1

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Vorlage:Hauptartikel

Klassische Addition der Geschwindigkeiten

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

v_{ges}=v_{1}+v_{2}

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

v_{ges}={\dfrac {v_{1}+v_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}\cdot v_{2}}{c^{2}}}}}

Relativistischer Impuls

Vorlage:Hauptartikel

Für den relativistischen Impuls ergibt sich:

{\vec {p}}(v)=\gamma \cdot m_{0}\cdot {\vec {v}}

$\gamma \colon$ Lorentzfaktor
$m_{0}\colon$ Ruhemasse
${\vec {v}}\colon$ Geschwindigkeit

Relativistische Masse

Vorlage:Hauptartikel

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

M(v)=\gamma \cdot m_{0}.

$\gamma \colon$ Lorentzfaktor
$m_{0}\colon$ Ruhemasse

Äquivalenz von Masse und Energie

Vorlage:Hauptartikel

Einsteins Energieformel:

E=M(v)\cdot c^{2}=\gamma \cdot m_{0}\cdot c^{2}.

$E\colon$ Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),

$M(v)\colon$ relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,

$m_{0}\colon$ Ruhemasse.

Isometriegruppen

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion $f$ , die einem Ereignis $x=(ct,x,y,z)^{T}$ der Raumzeit ein anderes Ereignis $f(x)=(ct',x',y',z')^{T}$ zuordnet, so dass gilt:

\forall x,y\in \mathbb {R} ^{4}\colon \,q(f(x)-f(y))=q(x-y),

wobei $q(x):=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen

Gruppe der Translationen:

T:=\{T\mid T(x)=x+a,\,T\colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4},\,a\in \mathbb {R} ^{4}\}.

Gruppe der Rotationen

Rotationsmatrizen:

R={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&r_{11}&r_{12}&r_{13}\\0&r_{21}&r_{22}&r_{23}\\0&r_{31}&r_{32}&r_{33}\end{pmatrix}},\quad (r_{ij})\in \mathrm {SO} (3).

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen $R$ ist trivial isomorph zur $\mathrm {SO} (3)$ und wird zur Unterscheidung als $\mathrm {SO} (3)(4\times 4)$ notiert.

Die $\mathrm {SO} (3)(4\times 4)$ ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe

Lorentz-Gruppe:

O(1,3):=\{\Lambda \in \mathbb {R} ^{4\times 4}\mid \forall x,y\in \mathbb {R} ^{4}\colon \langle \Lambda x,\Lambda y\rangle =\langle x,y\rangle \}.

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

\forall \Lambda \in O(1,3)\colon \;q(\Lambda x-\Lambda y)=q(x-y)

.

Aus der Definition folgt $q(x')=q(x)$ mit $x':=\Lambda x$ . Ausgeschrieben:

c^{2}\cdot t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}=c^{2}\cdot t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

bzw.

x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}\cdot t'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}\cdot t^{2}

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+\mathrm {i} ^{2}\cdot c^{2}\cdot t'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\mathrm {i} ^{2}\cdot c^{2}\cdot t^{2}.

In der Einheitsform schreibt es sich vereinfachend "so":

x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+\mathrm {i} ^{2}\cdot c^{2}\cdot t'^{2}=0

.

oder:

x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}\cdot t'^{2}

Wir erkennen darin den Satz des Pythagoras auf drei Raumdimensionen angewandt.

Poincaré-Gruppe

Affine Abbildungen:

T(x)=\Lambda x+a,\ ;T\colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4},\;a\in \mathbb {R} ^{4},\;\Lambda \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.

Poincaré-Gruppe:

E(1,3):=\{T\mid T\;{\text{ist affin und}}\;\forall x,y\in \mathbb {R} ^{4}\colon \;q(T(x)-T(y))=q(x-y)\}.

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei $x=0$ . Das sind alle Poincaré-Transformationen mit $a=0$ . Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit $\Lambda =0$ .

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

\gamma _{G}={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v_{f}^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot v_{o}^{2}}{c^{2}}}}}}

$M={\text{Zentralmasse}}$ mit SI-Einheit kg
$c={\text{Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}}$ mit SI-Einheit $2,99792458\cdot 10^{8}$ m/s
$G={\text{Gravitationskonstante}}$ mit SI-Einheit $6,67408\cdot 10^{-11}$ m³/s²kg
$r={\text{Abstand vom Gravizentrum}}$ mit SI-Einheit m
$r_{S}=2\cdot G\cdot M/c^{2}={\text{Schwarzschildradius}}$ mit SI-Einheit m
$v_{f}=c{\sqrt {r_{S}/r}}={\text{Fluchtgeschwindigkeit (klassisch)}}$ mit SI-Einheit m/s
$v_{o}=c{\sqrt {r_{S}/2r}}={\text{Orbitalgeschwindigkeit (klassisch)}}$ mit SI-Einheit m/s

Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)

Vorlage:Hauptartikel

Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:

\Delta \tau _{o}={\Delta t_{\infty }}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}={\Delta t_{\infty }}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}

\Delta t_{\infty }=\Delta \tau _{o}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}=\Delta \tau _{o}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}

$t_{\infty }={\text{Koordinatenzeit}}$
$\tau _{o}={\text{Ortszeit beim Radius}}\,r$

Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)

Vorlage:Hauptartikel

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:

L_{0}={L_{\infty }}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}={L_{\infty }}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}

L_{\infty }=L_{0}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}=L_{0}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}

$t_{\infty }={\text{Koordinatenzeit}}$
$\tau _{o}={\text{Ortszeit beim Radius}}\,r$

Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)

Vorlage:Hauptartikel

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:

\lambda '=\lambda _{\infty }\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}=\lambda _{\infty }\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}

und Frequenz:

f'=f_{\infty }\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}=f_{\infty }\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}

Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)

Vorlage:Hauptartikel

Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:

\lambda _{\infty }=\lambda _{0}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}}=\lambda _{0}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}}

und für die Frequenz:

f_{\infty }=f_{0}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}}}=f_{0}\cdot {\sqrt {1-{\dfrac {r_{S}}{r}}}}

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Vorlage:Hauptartikel

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

\alpha \approx {\frac {4\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}=2\cdot {\frac {r_{S}}{r}}

Ereignishorizont

Vorlage:Hauptartikel

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

r_{S}={\frac {2\cdot G\cdot M}{c^{2}}}

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

r_{G}={\frac {r_{S}}{2}}={\frac {G\cdot M}{c^{2}}}

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

G_{\mu \nu }=\kappa \cdot T_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\cdot {\frac {R}{2}}

mit:

$G_{\mu \nu }={\text{Einsteinscher Tensor}}$ mit SI-Einheit 1/m²
$T_{\mu \nu }={\text{Energie-Impuls-Tensor}}$ mit SI-Einheit J/m³
$R_{\mu \nu }={\text{Ricci-Tensor}}$ mit SI-Einheit 1/m²
$g_{\mu \nu }={\text{(allgemeiner) metrischer Tensor}}$ mit SI-Einheit 1
$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }={\text{Ricci-Skalar}}$ mit SI-Einheit 1/m²
$\mu ,\nu ={\text{Indizes (0, 1, 2, 3)}}$
$\kappa :={\frac {8\pi G}{c^{4}}}={\text{Einsteinkonstante}}$ mit SI-Einheit $2,07650\cdot 10^{-43}$ 1/N
$G={\text{Gravitationskonstante}}$ mit SI-Einheit $6,67408\cdot 10^{-11}$ m³/s²kg
$c={\text{Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}}$ mit SI-Einheit $2,99792458\cdot 10^{8}$ m/s
$\pi ={\text{Kreiszahl}}$

Es ergibt sich:

G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\cdot T_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\cdot {\frac {R}{2}}