Diskussion:Das Mehrkörperproblem in der Astronomie/ Enge Begegnungen von Massenpunkten/ Glättung der Anziehungskraft

Einfluß der Modifikation auf das Ergebnis?

Wäre es für den Leser nicht sinnvoll, etwa durch Vergleich mit einer analytischen Lösung für ein Zweikörperproblem die Abweichung vom klassischen Gravitationsgesetz abschätzen zu können? Aufgrund etwa der ART gibt es ja auch Abweichungen, ist der Effekt solch einer Modifikation kleiner oder wie verhält sich das zueinander?
So eine Modifikation ohne Abschätzung des Einflusses auf das Ergebnis und Vergleich mit anderen Effekten wirkt auf den Leser jedenfalls etwas überraschend, man rechnet ja letztlich, um etwas Realistisches zu bekommen, da sollte doch schon motiviert werden, wieso Vereinfachungen in welchem Rahmen unproblematisch sind...
In dem Zusammenhang, Modifikationen vom Typ 1(1+r²) bedeuten ja nicht nur eine Änderung für kleine Abstände, das wirkt ja deutlich anders, warum macht man das so? - in einem Programm kann man doch einfach eine Fallunterscheidung einbauen oder wenn man keine unstetigen Ableitungen haben will, kann man nach innen einen spline anhängen. Solch eine geschlossene Formel scheint mir eher für jene Zeit in Ordnung zu sein, wo man zwangsläufig noch versuchen mußte, das auf dem Papier analytisch zu behandeln. Von daher sind Ideen/Näherungen von ~1911 heute in einem anderen Licht zu sehen, jedenfalls wenn man das vom Rechner durchnudeln lassen will und nicht selbst mit Papier und Bleistift (zeigt sich auch in anderen Bereichen der Physik, etwa der Atom- und Molekülphysik).

Andere Ideen - da die Körper ja tatsächlich nicht punktförmig sind, ergibt es einen Sinn, für jeden Körper einen Radius anzunehmen und bei einem Zusammenstoß vereinfacht davon auszugehen, daß die beiden als ein Objekt mit gemeinsamer Schwerpunktgeschwindigkeit und Masser weiterfliegen. Bei den 'punktförmigen' schwarzen Löchern gibt es für sowas ja sogar auch einen Schwarzschildradius als Äquivalent. Wenn man hingegen davon ausgeht, daß sich ausgedehnte Körper ohne zusätzliche gegenseitige Wechselwirkung durchdringen können, so würde die Kraft bei Abstand 0 keinesfalls unendlich werden, die wäre im Gegenteil 0 (kann man sich durch die Symmetrie des Problems überlegen, von daher wäre es realistischer, nicht die Kraft gegen einen von 0 verschiedenen endlichen Wert gehen zu lassen, sondern vielmehr das Potential, womit dann die Kraft als negativer Gradient der Kraft ab der Summe der Radien hin zum Abstand 0 einfach auf 0 sinkt.

Da auch von großen Strukturen die Rede ist - wäre es nicht auch interessant anzugeben, wie das klassische Gravitationsgesetz für große Abstände modifiziert werden müßte, um etwa das Verhalten von Galaxien realistisch dazustellen? Im Rahmen der nicht klassischen Modelle werden diese Abweichungen ja auf 'dunkle Materie' und 'dunkle Energie' geschoben. Bei einem realistischen klassischen Ansatz bleibt einem da ja aber kaum eine andere Wahl als das Gravitationsgesetz auch für große Abstände zu ändern, oder?

Oder wenn, wie da steht, 'dunkle Materie' 'diffus' berücksichtigt werden kann - müßte man da bei dem unten skizzierten C-Programm nicht auch über eine Dichteverteilung integrieren statt über ein paar diskrete Körper zu summieren?

Doktorchen 16:38, 24. Mai 2014 (CEST)

Meine Antworten

Vielen Dank für deine umfangreichen Anmerkungen!

Selbst das Zweikörperproblem ist analytisch nur für wenige Kraftgesetze lösbar wie das Newtonsche Gravitationsgesetz oder das Hooksche Gesetz für die elastische Feder. Für das mit dem Plummerradius modifizierte Gravitationsgesetz gibt es im Allgemeinen keine analytische Lösung. Für den Spezialfall einer Kreisbahn kann man elementar herleiten, wie sich die Umlaufszeit ändert - das werde ich einfügen. Ellipsenbahnen, die wesentlich größer als der Plummerradius sind, kann man störungstheoretisch behandeln - ich werde in einem blauen Kasten für Fortgeschrittene ebenfalls einige Anmerkungen geben. Auch werde ich anhand eines Verfahrens wie Runge-Kutta Beispiele bringen, wie sich eine Ellipse mit verschiedener Ausdehnung im Vergleich zum Plummerradius ändert.

Der Plummerradius wurde 1911 von Plummer eingeführt, um die Dichteverteilungen in Kugelsternhaufen zu beschreiben, er selbst führte aber noch keine Simulationen von Mehrkörpersystemen durch. Aarseth hat in den 1960 Jahren den Plummerradius in solche Simulationen eingeführt und er wird in der Tat bis heute verwendet. Eine solche Simulation kann nur solche Strukturen korrekt wiedergeben, deren Ausdehnung wesentlich größer als der Plummerradius ist.

Zwei Körper verschmelzen und mit ihrem gemeinsamen Schwerpunkt weiter sich bewegen lassen, ist manchen Fällen hast Du recht. Bei Sternen kommt das meist nicht vor, eine Ausnahme ist der extrem dichte Haufen R136 in der 30 Doradus Region der Großen Magellanschen Wolke. Galaxien verschmelzen dagegen recht häufig. Interessiert man sich nur für die großräumige Verteilung von Galaxien, muss man sich um die Details eines solchen Prozesses nicht kümmern und kann mit einem einfachen Modell aus zwei Galaxien eine machen. Ich werde dazu auch einige Sätze einfügen. Detaillierter kann das aber erst im Praxiskapitel zur Sprache kommen.

Dass zwei Körper sich ohne gegenseitige Wechselwirkung einfach durchdringen, das entspricht nicht der Realität. Kollidieren zwei Sterne miteinander, so entsteht ein sehr massereicher Stern. Stoßen zwei Galaxien zusammen, so verändert sich deren Struktur grundlegend.

Ein für große Entfernungen modifiziertes Gravitationsgesetz als Alternative zur dunklen Materie - auch das kommt in das Praxis-Kapitel.

Dunkle Materie als Integral über eine Dichteverteilung anstatt Summe über diskrete Massenpunkte - da hast Du wieder recht. Dies führt zu dem sehr schwierigen Gebiet partieller Differentialgleichungen - auch die kontinuierliche Masseverteilung unterliegt einer zeitlichen Entwicklung und zeigt eine Wechselwirkung mit der sichtbaren Materie. Dazu ist ein weiterer Abschnitt unter den allgemeinen Lösungsmethoden erforderlich.--Michael Oestreicher 19:19, 31. Mai 2014 (CEST)

Hinsichtlich der analytischen Lösung - ich meinte auch derartige Näherungen des Gravitationsgesetzes (numerisch gerechnet) mit der analytischen Lösung für das unveränderte Gravitationsgesetz zu vergleichen (Zumindest für ein Zweikörperproblem habe ich es dank Landau und Lifschitz sogar hingekommen, eine Animation im Format SVG nach einer analytischen Formel umzusetzen). Mag natürlich sein, daß man aus einem Zweikörperproblem (welches sich ja effektiv auf ein Einkörperproblem im Zentralfeld reduziert) nicht viel über Abweichungen bei Kugelhaufen oder Galaxien lernen kann. Hilfreich könnte das aber sein, wenn man beim zu bearbeitenden nur ein paar Objekte hat, Sonne und Planeten oder Doppelstern mit Planet etc, um mit dem Zweikörperproblem abschätzen zu können, wie schlecht die Näherung ist. Ansonsten, da ein Zweikörperproblem nicht chaotisch wird, läßt sich aus einem Vergleich zwischen unverändertem und verändertem Potential auch bei anderen Potentialen noch was lernen, womit man grob abschätzen kann, welchen Einfluß der Rechentrick oder die Näherung auf das Ergebnis haben kann.

Bedenklich schien mir bei dem vorgestellten Ansatz vor allem, daß das Gravitationsgesetz eben nicht nur bei kleinen Abständen geändert wird, sondern auch bei großen. Bei einem Zweikörperproblem kann man da auch numerisch rechnen und dann vergleichen - denn man weiß ja für das unveränderte Gravitationsgesetz, wie nahe sich die Körper höchstens kommen werden. Wenn man nun eine Ellipsenbahn mit einem Verhältnis der Hauptachsen irgendwo zwischen 0.5 und 0.8 wählt, so sollte man erkennen können, daß sich die große Hauptachse (Runge-Lenz-Vektor) aufgrund der Änderung des Potentials durch den Plummerradius drehen wird - passiert bei allen Potentialen außer 1/r und r². Durch die Drehgeschwindigkeit der Hauptachse bekommt man ein grobes Maß für die Relevanz des Fehlers, insbesondere wenn man dies mit anderen Ursachen für eine Drehung quantitativ vergleicht (etwa beim Merkur Einfluß anderer Planeten, Strahlungsdruck der Sonne, Relativistik etc). Ist der Effekt nun kleiner als ohnehin nicht berücksichtigte Einflüsse, so wird die Modifikation des Potentials vermutlich gegenüber diesen Effekten nicht so relevant sein, ist er größer, kann man sich fragen, was für eine Welt man eigentlich mit dem modifizierten Potential untersucht ;o) Aber vielleicht läßt sich der Einfluß der Modifikation ja auch einfacher abschätzen, etwa für Objekte, die immer deutlich weiter als der Plummerradius aneinander vorbeirauschen.

Dieser Plummerradius impliziert ja mehr oder weniger, daß sich zwei Objekte mit jedenfalls geringer Wechselwirkung durchdringen, sonst gäbe es ja bei punktörmigen Objekten keine Abweichung vom Gravitationsgesetz innerhalb der Klassik. Offenbar legt einem die Modifikation bei kleinen Abständen ja nahe, daß die Objekte nicht wirklich punktförmig sind und daß es somit richtig ist, daß Potenial oder Kraft da bei Abstand 0 nicht gegen unendlich gehen. Aus Symmetriegründen weiß man einfach, daß bei ausgedehnten Kugel-Objekten bei Abstand 0 die Kraft auch 0 sein muß. An der Stelle ist die Näherung mit endlicher Kraft folglich auch für ausgedehnte Objekte schlecht. Zudem gibt es Objekte wie Neutrinos, die wirklich nahezu ohne weitere Wechselwirkung einen anderen Körper durchdringen können. Da man wohl von der Dunklen Materie immer noch nichts Stichhaltiges weiß, kann man da auch schlecht einschätzen, wie die das macht, offenbar beindruckt sie die elektromagnetische Wechselwirkung nicht und so wird sie wohl auch ungedhindert die bekannte Materie durchwandern können. Mit solchen Teilchen als 'Sonden' würde man immer finden, daß es für jeden ausgedehnten Körper (Sonne, Planet) mindestens einen Punkt ungefähr in der Mitte gibt, wo die Gravitationskraft gerade 0 ist. Das leistet der 1/(r² + p²) aber offenbar gerade nicht, ist also in der Hinsicht als 'realistischeres' Modell unplausibel ähnlich wie 1/r² für Probleme mit ausgedehnten Körpern.

Mir stellt sich nach wie vor die Frage, warum man solch eine Modifikation wie 1/(r² + p²) immer noch verwendet und nichts, wo die Gravitation wenigstens bei großen Abständen nicht verändert wird. Warum also nicht nur für r < Plummerradius das Potential modifizieren, etwa durch einen spline ersetzen, warum für jeden Abstand r, insbesondere auch für große Abstände? Ist das nicht ein Überbleibsel aus einer Zeit, wo man solche Probleme näherungsweise mit Papier und Bleistift bearbeiten wollte? Etwa hinsichtlich oben erwähnten Runge-Lenz-Vektors im Zweikörperproblem - ändert man das Potential/Kraft nur innerhalb des Plummerradius, so wird sich dieser Vektor nicht drehen, falls dieser Plummerradius nicht unterschritten wird, bei einem Ansatz wie 1/(r² + p²) wird der sich immer drehen. Fehler durch die Modifikation treten also nur bei den kleinen Abständen auf, nicht bei den großen, bei 1/(r² + p²) treten sie hingegen immer auf.

Doktorchen 20:37, 31. Mai 2014 (CEST)

Es ist tatsächlich so, dass der Plummerradius auch in fachwissenschaftlichen Artikeln jungen Datums diskutiert wird - er hat sich in der Praxis also offensichtlich bewährt. Aarseth führte in der 1960-Jahren die ersten Computersimulationen mit einigen 10-100 Massenpunkten durch und führte den Plummerradius in solche Simulationen ein, um sie numerisch zu stabilisieren. Wegen der endlichen zeitlichen Schrittweite kann es leicht passieren, das bei einer engen Begegnung zweier Massenpunkte diese auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigt, im gleichen Schritt aber auch wieder weit voneinander gesetzt werden, so dass sie mit weit überschätzter Geschwindigkeit auseinanderfliegen (was ich am Ende des Kapitels über die allgemeinen Lösungsmethoden darzustellen versuchte). Natürlich stellt der Plummerradius eine zunächst willkürlich erscheinende Verfälschung der tatsächlichen Gravitation dar. Es ist aber gerechtfertigt, wenn der dadurch begangene Fehler kleiner ist als derjenige durch ein viel zu schnelles Auseinanderfliegen zweier Massenpunkte, weil man durch die endlichen Zeitschritte die Bahn bei kurzzeitigen abrupten Beschleunigungen nicht mehr richtig abtasten kann. Im Prinzip könnte man eine enge Begegnung als ein durch die übrigen Mitglieder des Systems gestörtes Zweikörperproblem behandeln, was aber wieder deutlich mehr Rechenaufwand bedeutet.

Deinen Vorschlag, zwei Körper sich gegenseitig durchdringen und die Kraft gegebenfalls bis auf 0 abfallen zu lassen, habe ich in der Literatur bislang nicht angetroffen. Auch wenn die dunkle Materie (sofern sie tatsächlich existiert) sichtbare Materie zu durchdringen scheint, so können zwei Galaxien sich doch nicht störungsfrei begegnen. Aufnahmen von engen Galaxienpaaren zeigen deutlich, dass die beiden Partner zumeist stark im Vergleich zu Einzelgalaxien deformiert sind, weil sie aufgrund der Schwerkraft ihre ursprüngliche Struktur gegensetig stören.

Das Plummerpotential führt in der Tat einen bis ins Unendliche reichenden Fehler ein. Anhand der Kreisbahn (was ich noch ergänzen werde) kann man leicht zeigen, dass z.B. der Fehler der Umlaufgeschwindigkeit umgekehrt quadratisch mit dem Abstand zur Zentralmasse abfällt (falls Plummerradius << Abstand). Mit den in der Fachliteratur gefundenen Regeln für die Festlegung des Plummerradius kann man weiterhin zeigen (auch das werde ich einfügen), dass der typische Fehler umso kleiner wird, je mehr Massenpunkte die Simulation enthält. Es kommt nicht darauf an, jede einzelne Bahn korrekt vorherzusagen, was angesichts der chaotischen Natur von Mehrkörpersystemen ohnehin nicht möglich ist. Wichtig ist, dass die strukturellen Eigenschaften richtig wiedergegeben werden, z.B. Dichteverteilung, Konzentration von massereichen Sternen zum Zentrum eines Haufens hin, Geschwindigkeitsverteilung etc. Das Plummerpotential nicht überall wirken zu lassen, auch diese Idee kann ich bislang anhand der Literatur nicht belegen. Ein Nachteil ist sicherlich, dass man einen zweiten Radius festlegen muss, von dem an der Übergang vom Newtonschen zum Plummerpotential beginnt - und auch die dafür erforderlichen Kriterien.--Michael Oestreicher 21:13, 4. Jun. 2014 (CEST)

Ich habe nun den Abschnitt um eine ausführliche Diskussion des durch den Plummerradius eingeführten Fehlers erweitert. Schaue Dir alles noch einmal an, ob das deinen Erwartungen entspricht--Michael Oestreicher 20:39, 16. Jun. 2014 (CEST)

Die Erweiterung um solche Abschätzungen der Ungenauigkeit der Methode scheint mir auf jeden Fall gut und hilfreich zu sein, auch um dem Leser einen Eindruck zu geben, welche Gedanken man sich machen kann und sollte, wenn man Näherungen verwendet und wie man dann die Relevanz des Ergebnisses der Rechnung einschätzen kann.

Was mir so aufgefallen ist:

'Der durch die Glättung bewirkte Fehler der Gravitation fällt also zu großen Entfernungen hin quadratisch mit dem Abstand ab' (etc auch die Formel für die Geschwindigkeit) - ich glaube, das ist der relative Fehler. Da der Newton ja schon quadratisch abfällt und der bei der Entwicklung anfallende Fehlerterm ebenfalls quadratisch ist, aber an den Newton dranmultipliziert wird ... Ansonsten sieht der Teil gut und eindrucksvoll aus. Leser der Zielgruppe werden sich nicht notwendig daran erinnern, wie man Reihenentwicklungen macht. Müssen sie auch nicht. Aber wenn es der relative Fehler ist, hilft es auch dem Verständnis, genau zu benennen, was man eigentlich meint.

Bei dem Beispiel in der Abbildung sieht der Einfluß der Manipulation des Potentials überschaubar aus (rote Kurve), wenn ich das etwa mit den Angaben zum Merkur bei wikipedia vergleiche, ist der Effekt aber wohl nicht klein gegenüber einer 'normalen' Periheldrehung - korrekt? Wissenschaftlich/kritisch betrachtet würde ich als hypothetischer und außenstehender Referent einer wissenschaftlichen Veröffentlichung also vermutlich immer noch fragen, warum man das Potential nicht nur innerhalb des Plummerradius manipuliert ;o) Daß andere Autoren das früher oder immer noch machen, ist ja kein hinreichender Grund, obgleich ich die Argumentationskette natürlich aus der Atomphysik kenne (da gibt es dann wieder aus verschiedenen Gründen viele Veröffentlichungen zu Verfahren, wie man geschickt Fehler aufgrund alter Näherungen wieder kompensiert ;o) Wobei es natürlich einleuchtend ist, daß bei Sternhaufen oder Galaxien so viele Objekte in der Gegend herumfliegen, daß dieser Effekt gegenüber anderen belanglos sein wird.

Naja, ich denke, besser erstmal das Buch wie geplant vervollständigen, als sich mit meinen kleinen Mäkeleien lange aufhalten ;o)

Doktorchen 12:45, 17. Jun. 2014 (CEST)

Richtig, es sind die relativen Fehler der Gravitation und Umlaufsgeschwindigkeit, die quadratisch mit der Entfernung abfallen. Die Periheldrehung der Planeten relativ zum Fixsternhimmel (auf diese kommt es an, nicht auf diejenigen relativ zum Frühlingspunkt) beträgt typischerweise nur einige 0.1 Grad pro Jahrhundert, ist also deutlich kleiner als der durch den Plummerradius eingeführte Fehler selbst mit $\epsilon$ = 0.1 $r$. Die Kenntnis von Reihenentwicklungen verlange ich dem Buch nicht, falls notwendig, gebe ich die Näherung direkt an. Ich vermute weiterhin, dass das Plummerpotential nicht nur innerhalb des Plummerradius verwendet wird, weil man dann einen Übergang zum korrekten Newtonschen Potential schaffen müsste. Zu diesem Zweck müsste ein weiterer Radius definiert werden, von dem an der Übergang beginnt.--Michael Oestreicher 19:58, 18. Jun. 2014 (CEST)

Wie bereits weiter oben geschrieben, kann man etwa für innerhalb des gewünschten Radius einen spline (Polynom oder mehrere davon stückweise je nach Bedarf) anpassen. Solche Anpassungen oder Fortsetzungen sind wohl so die üblichen Maßnahmen, die man etwa bei Molekülpotentialen durchführt, um Potentialfortsetzungen abzuschätzen oder ungenaue Daten aus anderen Veröffentlichungen zu glätten. Meist habe ich da ohnehin nur endlich lange Dateien mit Zahlenwerten, interpolieren muß man da ohnehin, wenn man solch ein Potential praktisch für Dynamikrechnungen verwenden will.

Anpassung hier dann wie folgt: Korrektes Potential bei dem gewünschten Radius, das bei 0 und die gewünschte Anzahl von Ableitungen nimmt man dann her, um die freien Parameter des splines anzupassen. Das ist also ein überschaubares Problem, dessen Lösung eigentlich auch nicht über die Rechnerei hinausgeht, die man bereits in der Schule zum Lernen angeboten bekommen hat, hier wendet man das eben nur praktisch an. Vom Rechenaufwand also auch nicht schwieriger als ein Ansatz wie 1(r+1).

Der Nachteil dieser Methode liegt darin, daß man in seinem Programm dann eine Fallunterscheidung machen muß für innerhalb und außerhalb des Radius. Heute ist das unproblematisch, zu Zeiten, wo man ohne Rechner gearbeitet hat, konnte das eine Menge mehr Aufwand bedeuten, was erklären kann, warum man das damals mal so 'probeweise' ausprobiert hat - irgendwie ist man daran dann offenbar hängengeblieben, als man das auch mit leistungsfähigen Rechnern behandelt hat.

Naja, vielleicht ist man bei Molekülphysik generell mehr Kummer mit den verfügbaren Potentialen gewohnt und hat da deswegen mehr Routine darin, die für die eigene Rechnerei durch zusammenstückeln anwendbar zu machen, während man bei Gravitation das Potential ja mehr oder weniger als gegeben betrachtet ;o) Doktorchen 10:45, 19. Jun. 2014 (CEST)

Hallo Doktorchen, jetzt habe ich doch noch eine Quelle und damit Angaben für eine stetige Interpolation zwischen ungeglätteter und geglätteter Kraftberechnung gefunden und kann damit deinen Wunsch erfüllen. Das ganze ist aber schon etwas trickreich - ein kubischer Spline 3.Grades genügt z.B. nicht - so dass ich für dieses Thema einen Abschnitt für Fortgeschrittene eingefügt habe.--Michael Oestreicher 22:02, 1. Okt. 2015 (CEST)

Nur um sicherzustellen, daß wir über dasselbe reden. Ich würde das so machen (a ist dabei der Abstand, ab welcher der Newton nach außen exakt stimmen soll):

F(r>a) ~ 1/r

F(r<=a) ~ Polynom oder spline

Richtig, ab einem bestimmten Abstand a (der auf 2 Plummerradien gesetzt wird), wird ungeglättet Newton verwendet. Bei kleinerem Abstand wird die Glättung mehr und mehr aktiv.--Michael Oestreicher 20:22, 2. Okt. 2015 (CEST)

(letzteres kann dann aus mehreren Kurvenstücken bestehen, wenn man eine bestimmte Form haben will) Polynomgrad beziehungsweise Anzahl der splines richtet sich dann wie beschrieben nach den Randbedingungen oder eben bei splines nach der gewünschten Kurvenform, die damit approximiert wird. Doktorchen 22:43, 1. Okt. 2015 (CEST)

Auch das stimmt. Mit einem Polynom 3.Grades für die Korrekturfunktion u(r) kann sich die Kurve $1/(r^{2}+u^{2}(r)\epsilon ^{2})$ zwar auch sanft an Newton und Aarseth anschmiegen, fällt aber nicht monoton nach außen ab. Um auch das zu bekommen, muss u(r) ein Polynom 6.Grades sein.--Michael Oestreicher 20:22, 2. Okt. 2015 (CEST)

Originaler Ansatz Aarseths bezieht sich auf potentiellle Energie anstatt Kraft

Ich habe jetzt erst kürzlich bemerkt, dass sich Aarseths Glättung des Newtonschen Gravitationsgesetzes im Original auf die potentielle Energie bezieht und nicht die Kraft. Damit vereinfacht sich insbesondere die Interpolation zwischen Newton und Aarseth erheblich, so dass diese ohne großen zusätzlichen Rechenaufwand implementiert werden kann. Ich habe das gesamte Kapitel entsprechend überarbeitet und korrigiert. --Michael Oestreicher 11:36, 8. Jun. 2019 (CEST)