Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Die Fibonacci-Folge im Speziellen

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Die Fibonacci-Folge

Unter der Fibonacci-Folge versteht man speziell die Folge mit der Bildungsregel $f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}\$ und den beiden Anfangsgliedern $f_{0}=0\$ und $f_{1}=1\$.

Die so definierte Fibonacci-Folge beginnt mit den Gliedern: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Die Entwicklung einer Kaninchen-Population

Um das Wachstum einer Kaninchen-Population zu beschreiben, entwickelte der Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) diese Folge. Sie beschreibt allerdings eine Idealiserung, bei der die Kaninchen sich unbegrenzt vermehren können und niemals sterben.

Eigenschaften der Fibonacci-Folge

• Wenn eine natürliche Zahl $m\$ eine natürliche Zahl $n\$ teilt, wobei $m\$ größer als $2\$ sein muß, so wird $f_{n}\$ von $f_{m}\$ geteilt.

$m|n\implies f_{m}|f_{n}$

• Aus der vorhergehenden Eigenschaft folgt, für alle natürlichen Zahlen $p\geq 5$: Wenn $f_{p}\$ eine Primzahl ist, dann ist $p\$ ebenfalls eine Primzahl.

$f_{p}\ {\mbox{ist eine Primzahl}}\implies p\ {\mbox{ist eine Primzahl}}$

• In Bezug auf den größten gemeinsamen Teiler $\operatorname {ggT}$ gilt:

$\operatorname {ggT} (f_{m},f_{n})=f_{\operatorname {ggT} (m,n)}$

Fibonacci-Rechteck und Fibonacci-Spirale

Ein Fibonacci-Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenlängen zwei aufeinander folgenden Zahlen der Fibonacci-Folge entsprechen. Dabei lässt sich die Fläche eines Fibonacci-Rechtecks als Summe der Quadrate der ersten Zahlen der Fibonacci-Folge darstellen: $f_{0}^{2}+f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+...+f_{n}^{2}=\sum _{i=0}^{n}f_{i}^{2}=f_{n}\cdot f_{n+1}$

Beispiele:

$f_{6}\cdot f_{7}=8\cdot 13$	$f_{8}\cdot f_{9}=13\cdot 21$	$f_{9}\cdot f_{10}=21\cdot 34$

Die Folge der Fibonacci-Rechteckzahlen beginnt: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ...

Ein solche Summe aus den Quadraten der Fibonacci-Zahl ist zugleich ein Ausschnitt der Fibonacci-Spirale: