Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Die Fibonacci-Folge im Speziellen

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Nuvola apps bookcase 1.svg Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Die Fibonacci-Folge

Unter der Fibonacci-Folge versteht man speziell die Folge mit der Bildungsregel und den beiden Anfangsgliedern und .

Die so definierte Fibonacci-Folge beginnt mit den Gliedern: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Die Entwicklung einer Kaninchen-Population[Bearbeiten]

Um das Wachstum einer Kaninchen-Population zu beschreiben, entwickelte der Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) diese Folge. Sie beschreibt allerdings eine Idealiserung, bei der die Kaninchen sich unbegrenzt vermehren können und niemals sterben.

Eigenschaften der Fibonacci-Folge[Bearbeiten]

  • Wenn eine natürliche Zahl eine natürliche Zahl teilt, wobei größer als sein muß, so wird von geteilt.
  • Aus der vorhergehenden Eigenschaft folgt, für alle natürlichen Zahlen : Wenn eine Primzahl ist, dann ist ebenfalls eine Primzahl.
  • In Bezug auf den größten gemeinsamen Teiler gilt:

Fibonacci-Rechteck und Fibonacci-Spirale[Bearbeiten]

Ein Fibonacci-Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenlängen zwei aufeinander folgenden Zahlen der Fibonacci-Folge entsprechen. Dabei lässt sich die Fläche eines Fibonacci-Rechtecks als Summe der Quadrate der ersten Zahlen der Fibonacci-Folge darstellen:

Beispiele:
Fib rect 13.PNG Fib rect 21.PNG Fib rect 34.PNG
     

Die Folge der Fibonacci-Rechteckzahlen beginnt: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ...

Ein solche Summe aus den Quadraten der Fibonacci-Zahl ist zugleich ein Ausschnitt der Fibonacci-Spirale: Fib spiral.PNG