Formelsammlung Mathematik: Algebra

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Formelsammlung Mathematik

Rechenregeln[Bearbeiten]

Binomische Formeln[Bearbeiten]

Sei ein Ring, z. B. oder . Sei und . Dann gilt:

(erste binomische Formel)
(zweite binomische Formel)
(dritte binomische Formel)

und:

Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten]

Sei ein unitärer Ring, z. B. oder . Sei und . Dann gilt:

usw. usw.

Pascalsches Dreieck[Bearbeiten]

Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

erzeugen.

Multinomialtheorem[Bearbeiten]

Sei ein unitärer Ring. Sei , wobei die paarweise kommutieren. Es gilt

In Multiindex-Notation:

mit

Die ersten Formeln sind:

n=2 (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a+b+c+d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
n=3 (a+b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc

Potenzen[Bearbeiten]

usw.

Definition für und :

Für :

Definition für und :

Für :

Potenzgesetze[Bearbeiten]

Für und gilt:

Ist zusätzlich , so gilt:

Für und gilt:

Potenzgesetze für komplexen Zahlen

Logarithmen[Bearbeiten]

Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für mit und gilt:

Logarithmengesetze[Bearbeiten]

Für mit und gilt:

Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt für ein festes mit und . Meistens ist oder .

Spezielle Logarithmen[Bearbeiten]

Bezeichnung Definierende
Eigenschaft
Basis
Natürliche Logarithmen ln e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
Dekadische Logarithmen lg 10
Binäre Logarithmen lb, ld 2
Logarithmengesetze für komplexe Zahlen

Gleichungen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Sind zwei auf der Grundmenge definierte Funktionen, so nennt man

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

gesucht ist.

Bei kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:

usw.

Man schreibt auch oder usw.

Äquivalenzumformungen[Bearbeiten]

Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.

Seien zwei Aussageformen.

Äquivalenz Implikation

Gilt für alle :

so gilt:

Gilt für alle :

so gilt:

Seien Funktionen mit Definitionsbereich und Zielmenge oder .

Für alle gilt:

Besitzt keine Nullstellen, so gilt für alle :

Besitzt Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle :

Quadratische Gleichungen[Bearbeiten]

Lösungsmenge Koeffizenten Kommentar
reelle Koeffizienten, reelle Lösungen
reelle Koeffizienten, komplexe Lösungen
komplexe Koeffizienten, komplexe Lösungen

Für jede quadratische Gleichung gibt es wegen die Äquivalenzumformung

Definiere und . Die Form

heißt Normalform der quadratischen Gleichung.

Die Zahl heißt Diskriminante. Es werden drei Fälle unterschieden.

Es gibt zwei Lösungen:

Es gibt eine Lösung:
Es gibt keine reelle Lösung.

Aber es gibt zwei komplexe Lösungen:

Die Lösungen sind zueinander konjugiert:

Satz von Vieta: Sind die Lösungen der quadratischen Gleichung, so gilt: