Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,cos)

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1.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.2[Bearbeiten]
1. Beweis
Integral mit Kosinus.PNG

Es sei

der Halbkreis von nach

und

der geschlossene halbmondförmige Integrationsweg.

Für alle ist der Imaginärteil

und somit .

Nun gilt für .

Also ist und somit .

2. Beweis

Aus folgt .

Und das ist .

Also ist .

1.3[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.4[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Fourierreihe ergibt sich





.

1.5[Bearbeiten]
Beweis

Die Funktion ist auf dem Kreissektor holomorph. Integralkreissektor.PNG
Auf dem Kreisbogen fällt für exponentiell gegen null ab.

Daher ist und somit .

Also ist

.

Nun ist

und .

Also sind und jeweils .

1.6[Bearbeiten]
Beweis



ist nach der Formel , gleich

.

1.7[Bearbeiten]
1.8[Bearbeiten]
Beweis

Für ist

.

Nun ist .

Also ist und somit ist .

Durch den Grenzübergang erhält man .

Nach Substitution ist .

Nachdem ist, folgt daraus die Behauptung.

1.9[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.1[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Formel folgt

.

2.2[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.3[Bearbeiten]
Beweis

Die Funktion

erfüllt die Rekursion .

Begründung:











Also ist , wobei sein soll.

Das Polynom besitzt die Wurzeln .

Daher hat die Folge die Form .

Aus und folgt schließlich .

2.4[Bearbeiten]
Beweis

Betrachte die Poissonsche Integralformel

, wobei der Kern ist.

Setzt man und , so ist und .

Also ist . Der ungerade Anteil verschwindet dabei aus symmetriegründen.

2.5[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Fourierreihe ergibt sich



Also ist ,

wobei das Frullanische Integral nicht von abhängt.

Und die Reihe konvergiert gegen .

2.6[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.7[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.8[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.9[Bearbeiten]
Beweis

Multipliziert man die Formel



mit durch, so ist

,

wobei ist.

Setzt man so ist .

Mit einem lässt sich letzte Summe folgendermaßen aufspalten:



Die Folge fällt monoton und für alle gilt .

Also ist

Für geht gegen null und konvergiert gegen die Binomialreihenentwicklung von .

Also ist .

Unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel

ist das .

2.10[Bearbeiten]
1. Beweis (Cauchy Cosinus-Integralformel)

In der Formel

für setze und substituiere :



Nun ist

aus symmetriegründen gleich .

Also ist .

Substituiert man ,

so ist .

2. Beweis

Nach der Formel ist



.

Nach der Legendreschen Verdopplungsformel

ist dies .

Ersetzt man durch , so ist das



.

Also ist .

Beweis für

Es sei die obere komplexe Halbebene.

Die Funktion , mit , ist holomorph auf und stetig auf .

Cauchycosinusintegral.PNG

Also gilt , gleichbedeutend mit .

Das erste Integral ist nach Substitution gleich

.

.

Das zweite Integral ist reell, d.h. .

Und das dritte Integral ist

.

Aus der Betrachtung der Imaginärteile folgt .

Ersetzt man durch , also , so ist .

3.1[Bearbeiten]
Beweis

Es sei und sei der Halbmond in der oberen komplexen Halbebene.



.

Nach der Produktregel ist .

Setzt man , so ist ,

wobei ist.

Also ist .

Und somit ist .

3.2[Bearbeiten]
ohne Beweis