Formelsammlung Mathematik: Lineare Differenzengleichungen

↑ Differenzengleichungen

Gleichungen mit konstanten Koeffizienten

Matrix-Methode

Eine homogene lineare Differenzengleichung m-ter Ordnung lässt als homogenes lineares System erster Ordnung schreiben. Bei einer inhomogenen linearen Differenzengleichung ist dies unter Verwendung homogener Koordinaten ebenfalls möglich.

Differenzengleichung	System erster Ordnung	Vektor
$x_{n}=ax_{n-1}+b$	${\begin{bmatrix}x_{n}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n-1}\\1\end{bmatrix}}$	$v_{n}={\begin{bmatrix}x_{n}\\1\end{bmatrix}}$
$x_{n}=ax_{n-1}+bx_{n-2}$	${\begin{bmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n-1}\\x_{n-2}\end{bmatrix}}$	$v_{n}={\begin{bmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\end{bmatrix}}$
$x_{n}=ax_{n-1}+bx_{n-2}+c$	${\begin{bmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b&c\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n-1}\\x_{n-2}\\1\end{bmatrix}}$	$v_{n}={\begin{bmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\\1\end{bmatrix}}$
$x_{n}=ax_{n-1}+bx_{n-2}+cx_{n-3}$	${\begin{bmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\\x_{n-2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b&c\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n-1}\\x_{n-2}\\x_{n-3}\end{bmatrix}}$	$v_{n}={\begin{bmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\\x_{n-2}\end{bmatrix}}$

Jede lineare Differenzengleichung lässt sich wie in der Tabelle beschrieben in die Form

$v_{n}=Av_{n-1}$

bringen, wobei die Matrix $A$ nicht von n abhängig ist, sofern die Koeffizienten konstant sind.

Die Lösung ist

$v_{n}=A^{n}v_{0}.$

Die Matrixpotenz $A^{n}$ lässt sich mittels Diagonalisierung/Jordan-Normalform oder dem Satz von Cayley-Hamilton bestimmen.

Bei der Diagonalisierung/Jordan-Normalform mit $A=TJT^{-1}$ gilt $A^{n}=TJ^{n}T^{-1}$, wobei $J$ die Diagonalmatrix ist oder zumindest aus Jordanblöcken besteht. Die Bestimmung von $J^{n}$ wird im Abschnitt Matrixfunktionen erläutert.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt z. B. für eine 2×2-Matrix $A$ mit Eigenwerten $\lambda _{1},\lambda _{2}$ die Formel

$A^{n}=pA+qE$

mit

${\begin{aligned}\lambda _{1}^{n}&=p\lambda _{1}+q,\\\lambda _{2}^{n}&=p\lambda _{2}+q\end{aligned}}$

bzw.

${\begin{aligned}p&={\frac {\lambda _{2}^{n}-\lambda _{1}^{n}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}},\\q&=\lambda _{1}^{n}-p\lambda _{1}.\end{aligned}}$

Im Fall $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ gilt $p=n\lambda _{1}^{n-1}$.

Die allgemeine Theorie hierzu wird im Abschnitt Matrixfunktionen beschrieben.