Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin)
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0.1[Bearbeiten]
ist nach Substitution gleich .
0.2[Bearbeiten]
ist eine Stammfunktion von .
ist damit nach partieller Integration
Verwende nun die Fourierreihenentwicklung ,
dann ist
und
.
Also ist .
0.3[Bearbeiten]
0.4[Bearbeiten]
Nach der Fourierreihenentwicklung ist
.
Also ist .
0.5[Bearbeiten]
0.6[Bearbeiten]
1.1[Bearbeiten]
1.2[Bearbeiten]
1.3[Bearbeiten]
1.4[Bearbeiten]
Betrachte die Formel für .
Lässt man gehen, so erhält man .
Also ist .
Nach der Formel von Lobatschewski ist .
Substituiert man , so erhält man die behauptete Formel.
1.5[Bearbeiten]
1.6[Bearbeiten]
Siehe Berechnung von
1.7[Bearbeiten]
ist nach der Formel , gleich
.
1.8[Bearbeiten]
1.9[Bearbeiten]
1.10[Bearbeiten]
Aus der Fourierreihe ergibt sich
.
1.11[Bearbeiten]
1.12[Bearbeiten]
Die Funktion ist -periodisch. Daher gilt nach der Formel von Lobatschewski
.
Und das ist unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel gleich .
1.13[Bearbeiten]
- oder für gilt .
Die Fouriertransformierte von ist die Rechtecksfunktion.
In der Faltungsformel setze :
.
Für ein stimmt dies mit überein.
Also ist oder .
2.1[Bearbeiten]
Aus der Formel folgt
.
2.2[Bearbeiten]
2.3[Bearbeiten]
2.4[Bearbeiten]
Differenziert man die Formel
-mal nach und setzt anschließend , so ist
.
Also ist .
2.5[Bearbeiten]
2.6[Bearbeiten]
2.7[Bearbeiten]
Aus der Fourierreihe ergibt sich
.
Also ist ,
wobei das Frullanische Integral nicht von abhängt.
Und die Reihe konvergiert gegen .
2.8[Bearbeiten]
- ist hierbei die Kurve, die gradlinig von über nach läuft.
ist auf ganz holomorph.
.
Das erste Integral ist
und das zweite Integral ist wegen
gleich .
Also ist ,
was nach der Schläfli Formel gerade eine Darstellung der Besselfunktion ist.
3.1[Bearbeiten]
n.1[Bearbeiten]
- und