Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin)

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0.1[Bearbeiten]
Beweis

ist nach Substitution gleich .

0.2[Bearbeiten]
Beweis

ist eine Stammfunktion von .

ist damit nach partieller Integration



Verwende nun die Fourierreihenentwicklung ,

dann ist



und

.

Also ist .

0.3[Bearbeiten]
Beweis



0.4[Bearbeiten]
Beweis




Nach der Fourierreihenentwicklung ist



.

Also ist .

0.5[Bearbeiten]
Beweis (Formel nach Ramanujan)

Es sei .

Substituiert man , so ist

.

Setzt man , so ist auf meromorph. Ramanujanintegral.PNG
Die einzige Polstelle liegt bei und dort ist .

Setzt man , so ist .

Für jede Folge mit geht gegen null.

Daher verschwinden und für .

Und nachdem ungerade ist, ist .

ist demnach .

Daraus ergibt sich das gesuchte Integral:

0.6[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.2[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.3[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.4[Bearbeiten]
1. Beweis

Betrachte die Formel für .

Lässt man gehen, so erhält man .

Also ist .

2. Beweis

Nach der Formel von Lobatschewski ist .

Substituiert man , so erhält man die behauptete Formel.

1.5[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.6[Bearbeiten]
Beweis

Siehe Berechnung von

1.7[Bearbeiten]
Beweis



ist nach der Formel , gleich

.

1.8[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.9[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.10[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Fourierreihe ergibt sich





.

1.11[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.12[Bearbeiten]
Beweis

Die Funktion ist -periodisch. Daher gilt nach der Formel von Lobatschewski

.

Und das ist unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel gleich .

1.13[Bearbeiten]
   oder für gilt .
1. Beweis (Selbst-Faltung der sinc-Funktion)







2. Beweis

Die Fouriertransformierte von ist die Rechtecksfunktion.





In der Faltungsformel setze :

.

Für ein stimmt dies mit überein.

Also ist oder .

2.1[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Formel folgt

.

2.2[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.3[Bearbeiten]
Beweis









Differenziert man die Formel



-mal nach und setzt anschließend , so ist

.

Also ist .

2.4[Bearbeiten]
Beweis











Differenziert man die Formel



-mal nach und setzt anschließend , so ist

.

Also ist .

2.5[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.6[Bearbeiten]
Beweis













2.7[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Fourierreihe ergibt sich

.

Also ist ,

wobei das Frullanische Integral nicht von abhängt.

Und die Reihe konvergiert gegen .

2.8[Bearbeiten]
ist hierbei die Kurve, die gradlinig von über nach läuft.
Beweis (Formel nach Sommerfeld)
IntegrationswegSommerfeld.PNG

ist auf ganz holomorph.



.

Das erste Integral ist

und das zweite Integral ist wegen

gleich .

Also ist ,

was nach der Schläfli Formel gerade eine Darstellung der Besselfunktion ist.

3.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


n.1[Bearbeiten]
    und    
ohne Beweis