Formelsammlung Physik/ Druckversion

Klassische Mechanik

Tabelle: Mechanische Größen und ihre Einheiten

Größe	Formelzeichen	Name der Einheit	Einheitenzeichen	Beziehung zwischen den Einheiten
Arbeit, Energie	$W,E$	Joule	$\mathrm {J}$	$1\,\mathrm {J} =1\,\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} =1{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}$
Beschleunigung	$a$	Meter durch Quadratsekunde	${\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$
Dichte	$\rho$	Masse (Kilogramm) geteilt durch Volumen (Kubikmeter)	${\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$	$1{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}=0{,}001{\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {cm} ^{3}}}$
Drehimpuls	$L$	Newtonmetersekunde	$\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} \cdot \mathrm {s}$	$\mathrm {1} \!\,\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} =\mathrm {1} \mathrm {kg} \cdot {\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}$
Drehmoment	$M$	Newtonmeter	$\mathrm {N} \cdot \mathrm {m}$	$\mathrm {1} \,\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} =1\,{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}$
Druck	$p$	Pascal	$\mathrm {Pa}$	$\mathrm {1} \,\mathrm {Pa} =\mathrm {1} {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}=1{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}$
Drehzahl	$n$	durch Sekunde	${\frac {1}{\mathrm {s} }}$	${\frac {1}{\mathrm {s} }}=60{\frac {1}{\mathrm {min} }}$
Federkonstante	$D$, $k$	Newton durch Meter	${\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} }}$	$1\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} }}=1\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {s} ^{2}}}$
Fläche, Flächeninhalt	$A$	Quadratmeter	$\mathrm {m} ^{2}$	$1\,\mathrm {m} ^{2}=1\mathrm {m} \cdot 1\mathrm {m}$
Frequenz	$f$, $\nu$	Hertz	$\mathrm {Hz}$	$1\,\mathrm {Hz} ={\frac {1}{\mathrm {s} }}$
Geschwindigkeit	$v$	Meter durch Sekunde	${\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$	$1\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=3,6{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {h} }}$
Impuls	$p$	Kilogrammmeter durch Sekunde	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$	$1\,{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=1\mathrm {N} \cdot \mathrm {s}$
Kraft	$F$	Newton	$\mathrm {N}$	$1\,\mathrm {N} =1{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$
Weg	$s$	Meter	$\mathrm {m}$	Basiseinheit
Leistung, Energiestrom	$P$	Watt	$\mathrm {W}$	$1\mathrm {W} =1\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {s} }}=1\,{\frac {\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=1\,{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{3}}}$
Masse	$m$	Kilogramm	$\mathrm {kg}$	Basiseinheit
Schwingungsdauer, Periodendauer	$T$	Sekunde	$\mathrm {s}$
Trägheitsmoment	$J$	Kilogramm mal Quadratmeter	$\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}$
Volumen	$V$	Kubikmeter	$\mathrm {m} ^{3}$	$1\,\mathrm {m} ^{3}=1\mathrm {m} \cdot 1\mathrm {m} \cdot 1\mathrm {m}$
Wellenlänge	$\lambda$	Meter	$\mathrm {m}$
Winkelbeschleunigung	$\alpha$	Radiant durch Quadratsekunde	${\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}$	$1\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}$
Winkelgeschwindigkeit	$\omega$	Radiant durch Sekunde	${\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$	$1\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}={\frac {1}{\mathrm {s} }}$
Zeit	$t$	Sekunde	$\mathrm {s}$	Basiseinheit

Mechanische Größen

Geschwindigkeit

Definition. Geschwindigkeit.

Für eine Punktmasse, die zum Zeitpunkt t die Strecke s(t) zurückgelegt hat, ist

$v(t)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\approx {\frac {s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}}$ für $t\approx t_{0}$

die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.

Einheiten
m/s = 3,6 km/h = (3600/1852) kn = (3600/1609,344) mph
m: Meter, s: Sekunde, km: Kilometer, h: Stunde, kn: Knoten, mph: Meilen pro Stunde

Definition. Durchschnittsgeschwindigkeit.

${\bar {v}}:={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}}.$

Bei einer gleichförmigen Bewegung stimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit mit der momentanen Geschwindigkeit überein.

Definition. Geschwindigkeitsvektor.

Für eine Parameterkurve, die einer Punktmasse zu jedem Zeitpunkt t einen Ort ${\vec {r}}(t)$ zuordnet, ist

${\vec {v}}(t):={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}$

der momentane Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t.

Der Betrag $v=|{\vec {v}}|$ wird momentane Geschwindigkeit genannt.

Die Größe

$s(t):=s(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}|{\vec {v}}(t)|\,\mathrm {d} t$

ist die zurückgelegte Strecke. Es gilt

$v(t)={\bigg |}{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}{\bigg |}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}.$

Beschleunigung

Definition. Beschleunigung in eine Richtung.

Wird durch x(t) eine Bewegung in eine Richtung beschrieben, dann versteht man unter

$a_{x}(t):=v_{x}'(t)\approx {\frac {v_{x}(t)-v_{x}(t_{0})}{t-t_{0}}}$ für $t\approx t_{0}$

die momentane Beschleunigung zum Zeitpunkt t, wobei

$v_{x}(t)=x'(t)$

die Geschwindigkeit ist.

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit:

$a_{x}(t)=x''(t).$

Definition. Beschleunigungsvektor.

Der momentane Beschleunigungsvektor zum Zeitpunkt t ist

${\vec {a}}(t):={\vec {v}}'(t)=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}.$

Für die Komponenten gilt dabei

$a_{x}=v_{x}'(t)\approx {\frac {v_{x}(t)-v_{x}(t_{0})}{t-t_{0}}},$

$a_{y}=v_{y}'(t)\approx {\frac {v_{y}(t)-v_{y}(t_{0})}{t-t_{0}}},$

$a_{z}=v_{z}'(t)\approx {\frac {v_{z}(t)-v_{z}(t_{0})}{t-t_{0}}}$

für $t\approx t_{0}$. Der Betrag

$a=|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$

wird Beschleunigung genannt.

Bei einer geradlinigen Bewegung gilt

$a(t)=v'(t).$

Bei einer krummlinigen Bewegung zerfällt die Beschleunigung jedoch in zwei Komponenten:

die Tangentialbeschleunigung

$a_{\text{tangential}}=v'(t)$

und die Normalbeschleunigung

$a_{\text{normal}}={\frac {v^{2}}{R}}.$

Es gilt

${\vec {a}}=a_{\text{tangential}}{\hat {t}}+a_{\text{normal}}{\hat {n}}$

und

$a={\sqrt {a_{\text{tangential}}^{2}+a_{\text{normal}}^{2}}}.$

Hierbei ist

• $R$ der Radius des Krümmungskreises am Ort ${\vec {r}}(t)$,
• ${\hat {t}}$ der Tangenteneinheitsvektor am Ort ${\vec {r}}(t)$,
• ${\hat {n}}$ der Normaleneinheitsvektor am Ort ${\vec {r}}(t)$.

Impuls

Definition. Impuls in eine Richtung.

Wird durch den zeitlich veränderlichen Ort x(t) die Bewegung einer Punktmasse in eine Richtung beschrieben, dann ist der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t:

$p_{x}(t):=m(t)\cdot v_{x}(t).$

Definition. Impulsvektor.

Unter dem Impulsvektor versteht man das Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsvektor:

${\vec {p}}:=m{\vec {v}}.$

Impulsvektor und Geschwindigkeitsvektor zeigen in die gleiche Richtung.

Für die Komponenten gilt:

p_x = mv_x,

p_y = mv_y,

p_z = mv_z.

Für die Beträge gilt:

p = mv.

Kraft

Definition. Kraft in eine Richtung.

Wird durch den zeitlich veränderlichen Ort x(t) eine Bewegung in eine Richtung beschrieben, dann versteht man unter

$F_{x}(t):=p_{x}'(t)\approx {\frac {p_{x}(t)-p_{x}(t_{0})}{t-t_{0}}}$ für $t\approx t_{0}$

die Kraft zum Zeitpunkt t.

Für eine zeitlich konstante Masse m gilt:

$F_{x}=ma_{x}.$

Einheit
$[F]=\mathrm {N} :={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$
N: Newton, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde

Definition. Kraftvektor.

Unter dem Kraftvektor zum Zeitpunkt t versteht man die Ableitung des Impulsvektors nach der Zeit:

${\vec {F}}(t):={\vec {p}}'(t)=p_{x}'(t){\vec {e}}_{x}+p_{y}'(t){\vec {e}}_{y}+p_{z}'(t){\vec {e}}_{z}.$

Für eine zeitlich konstante Masse m gilt:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}.$

Für die betragsmäßige Kraft gilt dann

$F=ma$

mit $F:=|{\vec {F}}|$ und $a:=|{\vec {a}}|$.

Für eine zeitlich veränderliche Masse ergibt sich jedoch

${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\,{\vec {v}}+m{\vec {a}}.$

Arbeit

Definition. Arbeit bei einer geradlinigen Bewegung.

Muss während einer geradlinigen Bewegung von einem Ort x₁ zu einem Ort x₂ gegen die Kraft F(x) gearbeitet werden, dann ist

$W:=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x)\,\mathrm {d} x=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(x(t))\,v(t)\,\mathrm {d} t$

die aufgebrachte Arbeit, wobei $x_{1}=x(t_{1})$ und $x_{2}=x(t_{2})$ ist.

Für eine konstante Kraft F gilt

$W=F\Delta x=F\cdot (x_{2}-x_{1}).$

Einheit
$[W]=\mathrm {J} :={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}=\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} =\mathrm {W} \cdot \mathrm {s} =\mathrm {V} \cdot \mathrm {A} \cdot s=\mathrm {V} \cdot \mathrm {C}$
J: Joule, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde, N: Newton, W: Watt, V: Volt, A: Ampere, C: Coulomb

Definition. Arbeit.

$W:=\int _{\gamma }\langle {\vec {F}}({\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {r}}\rangle :=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\langle {\vec {F}}({\vec {r}}(t)),{\vec {v}}(t)\rangle \,\mathrm {d} t,$

wobei $\gamma (t)={\vec {r}}(t)$ ein Weg von ${\vec {r}}(t_{1})$ nach ${\vec {r}}(t_{2})$ ist.

Für das Skalarprodukt gilt

$\langle {\vec {F}},{\vec {v}}\rangle =F_{x}v_{x}+F_{y}v_{y}+F_{z}v_{z},$

sofern eine Orthonormalbasis vorliegt.

Für eine konstante Kraft ${\vec {F}}$ gilt

$W=\langle {\vec {F}},\Delta {\vec {r}}\rangle =\langle {\vec {F}},{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})\rangle .$

Die Anheftung der selben konstanten Kraft an jeden Ort ist ein Potentialfeld, da die Arbeit unabhängig vom gewählten Weg von ${\vec {r}}_{1}={\vec {r}}(t_{1})$ nach ${\vec {r}}_{2}={\vec {r}}(t_{2})$ ist. Geht man vom direkten Weg aus und meint mit

$s:=|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|$

den Abstand, das ist die kürzeste Streckenlänge, dann ergibt sich die Formel

$W=F\cdot s\cdot \cos \varphi$

mit $F:=|{\vec {F}}|$ und $\varphi :=\angle ({\vec {F}},\Delta {\vec {r}}).$

Beschleunigungsarbeit
Wird eine Punktmasse m von einer Geschwindigkeit v₀ auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt, dann muss gegen die Trägheit der Masse gearbeitet werden. Die Beschleunigungsarbeit beträgt

$W_{B}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}.$

Die Beschleunigungsarbeit ist neben der Masse und der Anfangsgeschwindigkeit nur von der erreichten Endgeschwindigkeit abhängig. Ob die Punktmasse gleichförmig beschleunigt wurde oder nicht, ist dabei unwesentlich.

Hubarbeit
Für einen kleinen Höhenunterschied darf die Fallbeschleunigung g als näherungsweise konstant angenommen werden. Demnach ist auch die Kraft

$F_{g}=mg$

näherungsweise konstant. Um eine Punktmasse m um eine Höhe h zu heben, muss nun die Hubarbeit

$W_{H}=F_{g}\,h=m\,g\,h.$

aufgebracht werden.

Spannarbeit
Bei einer idealen Feder wirkt der Auslenkung x die Kraft

$F=kx$

entgegen, wobei k die Federkonstante ist. Bei der Auslenkung der Feder von x₀ bis x muss die Spannarbeit

$W_{\text{Spann}}={\frac {1}{2}}kx^{2}-{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}$

aufgebracht werden.

Energie

Kinetische Energie

Kinetische Energie einer Masse $m$ mit der Geschwindigkeit $v$:

$E_{\text{kin}}={\frac {1}{2}}\,m\cdot v^{2}\quad {\text{bei}}\ v\ll c$   mit c = Lichtgeschwindigkeit.

Einheiten
Energie	Masse	Geschwindigkeit
[E] = J	[m] = kg	[v] = m/s = Ns/kg
J: Joule, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde, N: Newton

Kartesische Koordinaten	$E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})$
Polarkoordinaten	$E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})$
Zylinderkoordinaten	$E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2})$
Kugelkoordinaten	$E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta )$
Allgemein	$E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}$

Potentielle Energie

Potentielle Energie an der Erdoberfläche:

$E_{\text{pot}}=m\cdot g\cdot h$

mit:

• $g\colon$ Gravitationsbeschleunigung
• $h\colon$ Hubhöhe.

Achtung: Dies ist keine allgemeine Formel für die potentielle Energie, sondern nur ein Spezialfall in der Nähe der Erdoberfläche. Bei anderen Problemen sieht die potentielle Energie anders aus – zum Beispiel bei Molekülen, einer Feder, im Potential einer Ladung oder im Gravitationspotential.

Einheiten
Energie	Masse	Schwerebeschleunigung	Höhe
[E] = J	[m] = kg	[g] = N/kg = m/s2	[h] = m
J: Joule, kg: Kilogramm, N: Newton, m: Meter, s: Sekunde

Spannenergie

Spannenergie einer Feder:

$E_{\text{Spann}}=E_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}\,D\cdot s^{2}$

mit:

• $D$: Federkonstante,
• $s\colon$ Auslenkung der Feder aus der Ruhelage.

Spannenergie einer Drehfeder:

$E_{\text{Spann}}=E_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}\,D\cdot \varphi ^{2}$

mit:

• $D\colon$ Direktionsmoment,
• $\varphi \colon$ Auslenkungswinkel der Feder aus der Ruhelage.

Einheiten
Energie	Federkonstante	Auslenkung	Direktionsmoment	Auslenkungswinkel
[E] = J	[k] = N/m	[s] = m	[D] = Nm	[φ] = rad
J: Joule, N: Newton, m: Meter, rad: Radiant

Leistung

Die Leistung $P$ ist der Quotient aus verrichteter Arbeit $\Delta W$ oder dafür aufgewendeter Energie $\Delta E$ und der dazu benötigten Zeit $\Delta t$:

$P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}$

oder:

$P={\dot {W}}={\vec {F}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}.$

In einem Zeitintervall der Länge $T=\left[t_{1},t_{2}\right]$ verrichtete mittlere Leistung ${\overline {P}}:$

${\overline {P}}={\frac {1}{T}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)\mathrm {d} t.$

Diese Angabe hat insbesondere Bedeutung, wenn $P(t)$ sich periodisch ändert und $T$ die Periodendauer ist.

Wirkungsgrad

$\eta ={\frac {W_{\text{abgegeben}}}{W_{\text{zugeführt}}}}\cdot 100\%={\frac {E_{\text{abgegeben}}}{E_{\text{zugeführt}}}}\cdot 100\%={\frac {P_{\text{abgegeben}}}{P_{\text{zugeführt}}}}\cdot 100\%<1.$

Gesamtwirkungsgrad

Bei der Verkettung von Energie-umformenden Einrichtungen ist der Gesamtwirkungsgrad das Produkt der einzelnen Wirkungsgrade:

$\eta _{\text{ges}}=\eta _{1}\cdot \eta _{2}\cdot \ldots \cdot \eta _{n}.$

Geradlinige Bewegung

Größe	Einheit
t: Zeit	s oder h
s: Weg	m oder km
v: Geschwindigkeit	m/s oder km/h
a: Beschleunigung	m/s2
Einheiten
s: Sekunde, h: Stunde, m: Meter, km: Kilometer

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Weg	Geschwindigkeit	Beschleunigung
$s=v\cdot (t-t_{0})+s_{0}$	$v=v_{0}={\frac {s-s_{0}}{t-t_{0}}}$	$a=0$

Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

Weg	Geschwindigkeit	Beschleunigung
$s={\frac {a}{2}}\cdot (t-t_{0})^{2}+v_{0}\cdot (t-t_{0})+s_{0}$	$v=a\cdot (t-t_{0})+v_{0}$	$a=a_{0}={\frac {v-v_{0}}{t-t_{0}}}$
$s={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}+s_{0}$	$v={\sqrt {v_{0}^{2}+2a\cdot (s-s_{0})}}$	$a={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2(s-s_{0})}}$

Durchschnittsgeschwindigkeit

${\frac {s-s_{0}}{t-t_{0}}}={\frac {1}{2}}(v+v_{0}).$

Allgemeine geradlinige Bewegung

Weg	Geschwindigkeit	Beschleunigung
$s=\int _{t_{0}}^{t}v\,\mathrm {d} t+s_{0}$	$v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=\int _{t_{0}}^{t}a\,\mathrm {d} t+v_{0}$	$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}$

Kreisbewegung

Gleichförmige Kreisbewegung

Definition. Gleichförmige Kreisbewegung.

Eine gleichförmige Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

${\vec {r}}(t):={\begin{bmatrix}r\cos(\varphi (t))\\r\sin(\varphi (t))\end{bmatrix}},$

$\varphi (t):=\omega t+\varphi _{0}.$

Die Parameter r, ω und φ₀ sind konstant.

${\vec {r}}(t)$	Ortsvektor zum Zeitpunkt t
$r$	Radius
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit
$\varphi (t)$	Winkel zum Zeitpunkt t
$\varphi _{0}$	Anfangswinkel
$T$	Umlaufzeit
$n$	Drehzahl

Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:

$\omega ={\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}={\frac {v}{r}}={\frac {2\pi }{T}}=2\pi n.$

Für die Beschleunigung gilt:

${\vec {a}}=-\omega ^{2}{\vec {r}}.$

Die Beschleunigung stimmt mit der Zentripetalbeschleunigung überein:

${\vec {a}}={\vec {a}}_{\mathrm {zp} }=-{\vec {a}}_{\mathrm {zf} }.$

Betragsmäßige Gleichungen:

$v=\omega r,$

$a_{\mathrm {zp} }=\omega ^{2}r.$

Der Geschwindigkeitsvektor steht senkrecht zum Ortsvektor:

$\langle {\vec {v}},{\vec {r}}\rangle =0.$

Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor:

$\langle {\vec {a}},{\vec {v}}\rangle =0.$

Es gibt keine messbare Winkelbeschleunigung:

$\alpha =0.$

Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung

Definition. Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung.

Eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

${\vec {r}}(t):={\begin{bmatrix}r\cos(\varphi (t))\\r\sin(\varphi (t))\end{bmatrix}},$

$\varphi (t):={\frac {\alpha }{2}}t^{2}+\omega _{0}t+\varphi _{0}.$

Die Parameter r, α, ω₀ und φ₀ sind konstant.

Es gilt

$\omega =\alpha t+\omega _{0},$

$\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}$ = konstant,

$v=\omega r$,

$a=r{\sqrt {\alpha ^{2}+\omega ^{4}}}$.

Für die Tangential- und die Zentripetalbeschleunigung gilt:

$a_{\mathrm {tan} }=\alpha r$,

$a_{\mathrm {zp} }=\omega ^{2}r$.

Allgemeine Kreisbewegung

Definition. Allgemeine Kreisbewegung.

Eine allgemeine Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

${\vec {r}}(t):={\begin{bmatrix}r\cos(\varphi (t))\\r\sin(\varphi (t))\end{bmatrix}},$

wobei φ(t) ein zeitlich veränderlicher Winkel ist.

Definition. Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung des Winkels nach der Zeit:

$\omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}=\varphi '(t).$

Definition. Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit:

$\alpha ={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}=\varphi ''(t).$

Es gilt:

$v=\omega r$,

$a=r{\sqrt {\alpha ^{2}+\omega ^{4}}}$.

Für die Tangential- und die Zentripetalbeschleunigung gilt:

$a_{\mathrm {tan} }=\alpha r$,

$a_{\mathrm {zp} }=\omega ^{2}r$,

$a^{2}=a_{\mathrm {tan} }^{2}+a_{\mathrm {zp} }^{2}.$

Die folgenden vektoriellen Beziehungen sind gültig:

${\vec {v}}=\omega R({\tfrac {\pi }{2}}){\vec {r}}$,

${\vec {a}}_{\mathrm {tan} }=\alpha R({\tfrac {\pi }{2}}){\vec {r}}$,

${\vec {a}}_{\mathrm {zp} }=-\omega ^{2}{\vec {r}}$,

${\vec {a}}={\vec {a}}_{\mathrm {tan} }+{\vec {a}}_{\mathrm {zp} }$.

Mit

$R({\tfrac {\pi }{2}})={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

ist die Rotationsmatrix gemeint, die einen Vektor um 90° gegen den Uhrzeigersinn dreht.

Zentripetalkraft

Jeder Massepunkt der um eine feste Achse rotiert bewegt sich stets tangential. Um das Entfernen in diese Richtung zu verhindern bedarf es der Zentripetalkraft, welche Radial wirkt, also senkrecht zur Bewegungsrichtung, und so den Massepunkt auf eine Kreisbahn um die Achse zwingt. Die Zentripetalkraft ist inertial und unterscheidet sich somit von der "Schein" -Zentrifugalkraft.

Für die Zentripetalkraft gilt:

${\vec {F}}_{\mathrm {zp} }:=m\cdot {\vec {a}}_{\mathrm {zp} }=-m\cdot \omega ^{2}\cdot {\vec {r}},$

$F_{\mathrm {zp} }:=|{\vec {F}}_{\mathrm {zp} }|=m\cdot \omega ^{2}\cdot r.$

Zentrifugalkraft

Die Zentrifugalkraft ist im Gegensatz zur Zentripetalkraft eine Scheinkraft, da sie nicht im inertialen äußeren Bezugssystem existiert sondern nur im relativen rotierenden System anscheinend in Erscheinung tritt. Wird ein um eine Achse rotierender Körper losgelassen, bewegt er sich im rotierenden Bezugssystem im ersten Moment Radial fort.

Für die Zentrifugalkraft gilt:

${\vec {F}}_{\mathrm {zf} }=-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times r).$

Dabei ist $m$ die Masse des Körpers, ${\vec {\omega }}$ die Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems und ${\vec {r}}$ der Ortsvektor vom Ursprung des Bezugssystems.

Für den Spezialfall dass der Körper im rotierenden Bezugssystem ruht, ist die Zentrifugalkraft der Trägheitswiderstand in Bezug auf die Zentripetalkraft:

${\vec {F}}_{\mathrm {zf} }=-{\vec {F}}_{\mathrm {zp} }.$

Dieser Trägheitswiderstand ist auch im Inertialsystem definiert.

Wurfbewegungen und Freier Fall

Freier Fall ohne und mit Luftwiderstand

Die folgenden Formeln beschreiben die Bewegung bei konstanter Beschleunigung. Dies trifft zum Beispiel näherungsweise zu, wenn man Objekte in der Nähe der Erdoberfläche fallenläßt, entsprechend mit anderer Beschleunigung natürlich auch in der Nähe anderer großer Objekte wie Planeten, Monde, Sonnen etc.

$g$: Erdbeschleunigung [m/s²] (~9.8 m/s² in der Nähe der Erdoberfläche)

$h$: Fallhöhe [m]

ohne Reibung

Das ist der eigentliche freie Fall im Vakuum.

$v=g\cdot t={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

$t={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}$

$s={\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}$

mit Reibung

Reibung an sich ist ein recht komplexer Vorgang, bei dem Bewegungsenergie verloren geht, bezogen auf den freien Fall wird dies primär dadurch bewirkt, dass etwas durch die Luft fällt oder durch Wasser als Flüssigkeit. Je nach Geschwindigkeit und Medium, durch welches die Bewegung führt, ist hat die Reibung andere Effekte.

Fall 1: Newton-Reibung

Dabei wird die Reibungskraft proportional zum Quadrat des Betrages der Geschwindigkeit relativ zum Medium angenommen. Das tritt besonders bei hohen Geschwindigkeiten oder dichten Medien auf. Im Falle von Gasen erzeugt das bewegte Objekt im Medium dabei meist Turbulenzen, die einen hohen Energieverlust bedeuten. Bei Medien geringer Dichte oder kleinen Geschwindigkeiten wird dabei die Reibung eher zu klein abgeschätzt.

Momentanhöhe:

$h(t)=H-{\frac {m}{\alpha }}\ln \left[\cosh \left({\sqrt {\frac {\alpha g}{m}}}\cdot t\right)\right]$

$v(t)=-{\sqrt {\frac {mg}{\alpha }}}\tanh \left({\sqrt {\frac {\alpha g}{m}}}\cdot t\right)$

$a(t)=-{\frac {g}{\cosh ^{2}\left({\sqrt {\frac {\alpha g}{m}}}\cdot t\right)}}$

Grenzgeschwindigkeit:

$v_{\mathrm {g} }=-{\sqrt {\frac {mg}{\alpha }}}$

Im Newton-Fall ist $\alpha ={\tfrac {1}{2}}\cdot c_{\mathrm {w} }\,\rho \,A$, mit

$H$: Anfangshöhe

$c_{\mathrm {w} }$: Strömungswiderstandskoeffizient

$\rho$: Luftdichte

$A$: Stirnfläche des fallenden Körpers

Fall 2: Stokes-Reibung

Bei Medien geringer Dichte oder kleinen Geschwindigkeiten wird dabei die Reibungskraft proportional zum Betrag der Geschwindigkeit abgeschätzt. Bei hoher Dichte oder hoher Geschwindigkeit wird damit die Reibung als zu klein abgeschätzt.

$h(t)=H+{\frac {m}{\alpha }}g\left[{\frac {m}{\alpha }}\left(1-e^{-(\alpha /m)t}\right)-t\right]$

$v(t)={\frac {m}{\alpha }}g\left(e^{-(\alpha /m)t}-1\right)$

$a(t)=-g\,e^{-{\frac {\alpha }{m}}t}$

$v_{g}=-{\frac {m}{\alpha }}g$

Senkrechter Wurf ohne Luftwiderstand

Ort-Zeit-Gesetz	$y=v_{0}t-{\frac {g}{2}}t^{2}+y_{0}$
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz	$v=v_{0}-gt$
Ort-Geschwindigkeit-Gesetz	$y={\frac {v_{0}^{2}-v^{2}}{2g}}+y_{0}$
Steigzeit	$t_{u}={\frac {v_{0}}{g}}$
Gipfelpunkt	$y_{u}={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}+y_{0}$

$v_{0}>0$	Wurf nach oben
$v_{0}<0$	Wurf nach unten

Waagerechter Wurf ohne Luftwiderstand

	x	y
Ort-Zeit-Gesetz	$x=x_{0}+v_{0}t$	$y=y_{0}-{\frac {g}{2}}t^{2}$
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz	$v_{x}=v_{0}$	$v_{y}=-gt$
	$|{\vec {v}}|={\sqrt {v_{0}^{2}+(gt)^{2}}}$
Wurfparabel	$y=y_{0}-{\frac {g}{2v_{0}^{2}}}(x-x_{0})^{2}$

Schräger Wurf ohne Luftwiderstand

	x	y
Ort-Zeit-Gesetz	$x=v_{x}(0)\,t$	$y=v_{y}(0)\,t-{\frac {g}{2}}t^{2}$
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz	$v_{x}=v_{x}(0)$	$v_{y}=v_{y}(0)-gt$
Startgeschwindigkeit	$v_{x}(0)=v_{0}\cos \alpha$	$v_{y}(0)=v_{0}\sin \alpha$
	$v_{0}:=|{\vec {v}}_{0}|={\sqrt {v_{x}(0)^{2}+v_{y}(0)^{2}}}$

Axiome der Mechanik

1. Newtonsches Axiom

Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.

2. Newtonsches Axiom

Eine auf einen Körper wirkende Kraft ${\vec {F}}$ ändert dessen Impuls: Die Impulsänderung pro Zeit ist gleich der auf den Körper wirkenden Kraft.

${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\;{\vec {p}}$

Ist die Masse $m$ während der Impulsänderung konstant, ergibt sich die bekanntere Formel:

${\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}=m\cdot {\vec {a}}$

3. Newtonsches Axiom

Kraft gleich Gegenkraft: Eine Kraft von Körper A auf Körper B geht immer mit einer gleich großen, aber entgegen gerichteten Kraft von Körper B auf Körper A einher.

${\vec {F}}_{A\to B}=-{\vec {F}}_{B\to A}$

Kraftumformende Einrichtungen

Hebelgesetz

Drehmoment = Kraft · Länge des Hebelarmes:

$M=F\cdot s.$

Einheit: $\mathrm {N} \cdot \mathrm {m}$ = Newton · Meter

Im Gleichgewicht gilt:

$M_{1}=M_{2}.$

Rechts drehendes Moment = Links drehendes Moment:

$F_{1}\cdot s_{1}=F_{2}\cdot s_{2}.$

Flaschenzug

Besteht der Flaschenzug aus n Rollen, so verteilt sich die Last ebenfalls auf n Seile. Im Falle des Gleichgewichts gilt:

Kraft = Last / Anzahl der Seile:

$F_{1}={\frac {F_{2}}{n}}$,

wobei $F_{1}$ die aufzuwendende Kraft und $F_{2}$ die Last bedeutet.

Schiefe Ebene

Nomenklatur
${\vec {F}}_{\mathrm {G} }$	Gewichtskraft
${\vec {F}}_{\mathrm {GN} }$	Normalkomponente der Gewichtskraft
${\vec {F}}_{\mathrm {GH} }$	Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft
${\vec {F}}_{\mathrm {N} }$	Normalkraft
${\vec {F}}_{\mathrm {R} }$	Haftreibungskraft
$\mu _{\mathrm {H} }$	Haftreibungskoeffizient
$\alpha$	Neigungswinkel
$l$	Länge
$h$	Höhe
$b$	Basis

$b=l\cos \alpha$	$F_{\mathrm {GN} }=F_{\mathrm {G} }\cos \alpha$	$F_{\mathrm {N} }=F_{\mathrm {GN} }$
$h=l\sin \alpha$	$F_{\mathrm {GH} }=F_{\mathrm {G} }\sin \alpha$	$F_{\mathrm {R} }=F_{\mathrm {GH} }$

Bedingung für die Ruhe eines haftenden Körpers:

$F_{\mathrm {R} }\leq \mu _{\mathrm {H} }\cdot F_{\mathrm {N} }\quad {\text{bzw.}}\quad \tan \alpha \leq \mu _{\mathrm {H} }.$

Reibung

Reibungskraft = Reibungszahl · Normalkraft:

$F_{R}=\mu \cdot F_{N}.$

Trockene Reibung (Gleitreibung):

${\vec {F}}_{\mathrm {RT} }=-\alpha _{\mathrm {T} }.$

Impuls

Für den Impuls gilt:

${\vec {p}}=m\cdot {\vec {v}}$

$E_{\text{kinetisch}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2\ m}}$

$\Delta {\vec {p}}=m\cdot \Delta {\vec {v}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\mathrm {d} t$

${\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}.$

Impulse bleiben (in einem kräftemäßig abgeschlossenen System) in der Summe erhalten.

Kraftstoß

Für den Kraftstoß gilt:

${\vec {I}}={\vec {F}}\cdot \Delta t\qquad {\text{bei }}{\vec {F}}={\text{konstant}}$

${\vec {I}}=\Delta {\vec {p}}=\int {\vec {F}}(t)\cdot \mathrm {d} t.$

Drehimpuls

Für den Drehimpuls gilt:

${\vec {L}}=J\cdot {\vec {\omega }}$

und außerdem:

${\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}$

mit:

$L$: Drehimpuls

$J$: Trägheitsmoment

$\omega$: Winkelgeschwindigkeit

$M$: Drehmoment.

Der Gesamtdrehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert.

Stoß

Geschwindigkeiten vor dem Stoß:

$v_{1},v_{2}.$

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

$u,u_{1},u_{2}.$

Elastischer gerader zentraler (idealer) Stoß

Impulserhaltung:

$m_{1}\cdot v_{1}+m_{2}\cdot v_{2}=m_{1}\cdot u_{1}+m_{2}\cdot u_{2}.$

Energieerhaltung:

${\frac {1}{2}}m_{1}\cdot v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\cdot v_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}\cdot u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\cdot u_{2}^{2}.$

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

$u_{1}={\frac {m_{1}\cdot v_{1}+m_{2}\cdot (2\ v_{2}-v_{1})}{m_{1}+m_{2}}}.$

$u_{2}={\frac {m_{2}\cdot v_{2}+m_{1}\cdot (2\ v_{1}-v_{2})}{m_{1}+m_{2}}}.$

Spezialfall: bei gleichen Massen:

$u_{1}=v_{2}\qquad u_{2}=v_{1}.$

Unelastischer (gerader zentraler) Stoß

Impulserhaltung:

$m_{1}\cdot v_{1}+m_{2}\cdot v_{2}=(m_{1}+m_{2})\cdot u.$

Verringerung der kinetischen Energie (Verformungsenergie):

${\frac {1}{2}}(m_{1}\cdot v_{1}^{2}+m_{2}\cdot v_{2}^{2})-{\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})\cdot u^{2}.$

Geschwindigkeit $u$ nach dem Stoß:

$u={\frac {m_{1}\cdot v_{1}+m_{2}\cdot v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

Teilelastischer Stoß

Änderung der Bewegungsenergie ("Verlust"):

$\Delta E=(E_{\text{kin.vor}}-E_{\text{kin.nach}})\cdot (1-k^{2})={\frac {1}{2}}(1-k^{2})\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\cdot (v_{1}-v_{2})^{2}.$

Stoßzahl:

$k={\frac {u_{2}-u_{1}}{v_{1}-v_{2}}}.$

Außerdem gilt:

$u_{1}={\frac {v_{1}\cdot (m_{1}-k\cdot m_{2})+v_{2}\cdot (1+k)\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

$u_{2}={\frac {v_{2}\cdot (m_{2}-k\cdot m_{1})+v_{1}\cdot (1+k)\cdot m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}.$

Dichte und Druck

Dichte

Dichte = Masse / Volumen:

$\rho ={\frac {m}{V}}.$

Druck

Druck = senkrecht wirkende Kraft / Fläche:

$p={\frac {|{\vec {F}}_{\perp }|}{|{\vec {A}}|}}.$

Einheit: Pa (Pascal)}

Schweredruck:

$p={\frac {F_{G}}{A}}={\frac {m\cdot g}{A}}=\rho \cdot h\cdot g.$

Auftriebskraft:

$F_{A}=\rho \cdot V\cdot g.$

Barometrische Höhenformel

(siehe Link)

Potentialfelder

Definition. Gibt es ein (auf einer offenen Teilmenge des euklidischen Raumes definiertes, stetig differenzierbares) Skalarfeld $U({\vec {r}})$, so dass

${\vec {F}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}}),$

so nennt man ${\vec {F}}$ ein Potentialfeld und $U$ dessen Potential. Das Potentialfeld ist nur dann ein Kraftfeld, wenn das Potential die potentielle Energie ist. Andernfalls muss eine entsprechende Proportionalitätskonstante $k$ eingefügt werden, so dass gilt:

$E_{\text{pot}}({\vec {r}})=k\cdot U({\vec {r}}).$

Triviale Eichfreiheit: Das Potential ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.

Potentialfelder sind Rotationsfrei:

$\nabla \times {\vec {F}}=0.$

Arbeit im Potentialfeld

Die Arbeit im Potentialfeld ist wegunabhängig:

$W=-\int _{\gamma }\langle \nabla U({\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {r}}\rangle =U({\vec {r}}_{1})-U({\vec {r}}_{2}),$

wobei $U=E_{\mathrm {pot} }$ und $\gamma (t)={\vec {r}}(t)$ ein Weg von $\gamma (0)={\vec {r}}_{1}$ nach $\gamma (1)={\vec {r}}_{2}$ ist.

$W<0$	Arbeit muss aufgebracht werden
$W>0$	Arbeit wird freigegeben

Energieerhaltungssatz

Einer Punktmasse, die sich auf der Parameterkurve ${\vec {r}}(t)$ bewegt , wird zum Zeitpunkt t die kinetische Energie

$E_{\text{kin}}(t)={\tfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}(t)|^{2}={\tfrac {1}{2}}m|{\vec {r}}'(t)|^{2}$

zugeordnet. Befindet sich die Punktmasse in einem Potentialfeld, so besitzt sie am Ort ${\vec {r}}$ das Potential

$E_{\text{pot}}({\vec {r}}).$

Bei der Bewegung der Punktmasse im Potentialfeld gilt:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}E_{\text{kin}}(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}E_{\text{pot}}({\vec {r}}(t))=0.$

Nach Integration bekommt die Gleichung die Gestalt:

$E_{\text{kin}}(t_{1})+E_{\text{pot}}({\vec {r}}(t_{1}))=E_{\text{kin}}(t_{2})+E_{\text{pot}}({\vec {r}}(t_{2})).$

In Kurzschreibweise:

T₁+V₁ = T₂+V₂

mit T=E_kin und V=E_pot.

In Worten:

Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist die Gesamtenergie einer Punktmasse in einem Potentialfeld. Die Gesamtenergie ist konstant, sie hat zu jedem Zeitpunkt den selben Wert.

Potentiale

	Potential	Potentielle Energie	Potentialfeld
Höhenpotential	$U(h)=mgh$	$E_{\text{pot}}=U(h)$	$F(h)=-\nabla U(h)=-mg$
Potential einer Feder	$U(s)={\tfrac {1}{2}}Ds^{2}$	$E_{\text{pot}}=U(s)$	$F(s)=-\nabla U(s)=-Ds$
Gravitationspotential einer kugelförmigen Masse $M$	$U({\vec {r}})=-{\frac {GM}{|{\vec {r}}|}}$	$E_{\text{pot}}=mU({\vec {r}})$	${\vec {g}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})=-GM{\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|^{3}}}$
Elektrisches Potential einer Ladung $Q$ im Vakuum	$U({\vec {r}})={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}|{\vec {r}}|}}$	$E_{\text{pot}}=qU({\vec {r}})$	${\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})={\frac {Q{\vec {r}}}{4\pi \epsilon _{0}|{\vec {r}}|^{3}}}$

Gravitation

Gravitationsgesetz

Das Gravitationsgesetz lautet:

${\vec {F}}=G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}}$

Hubarbeit

Für die Hubarbeit im Gravitationsfeld ergibt sich:

$W_{H}=F_{G}\cdot h.$

Daraus folgt:

$W_{H}=G\cdot {\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\cdot h$

oder:

$W_{H}=m\cdot {\frac {G\cdot M}{r^{2}}}\cdot h$

oder:

$W_{H}=m\cdot g\cdot h.$

Potentielle Energie

Für die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld gilt:

$E_{\mathrm {pot} }=-G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{r}}$

mit:

• Gravitationskraft $F$
• Massen der sich anziehenden Körper: $m_{1}$ und $m_{2}$
• Abstand der sich anziehenden Körper: $r$
• Richtung zwischen den sich anziehenden Körpern: ${\vec {e}}_{r}$
• Gravitationskonstante: $G=(6{,}6742\pm 0{,}0010)\cdot 10^{-11}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}}$

Auf der Erde gilt:

Kraft = Masse · Erdbeschleunigung

$F=m\cdot g$

Die Erdbeschleunigung g hängt von der geografischen Breite und der Höhe über Meeresniveau ab und ist am Äquator ca. g = 9,780 m/s² und an den Polen ca. g = 9,832 m/s².

Erdbeschleunigung:

$g={\frac {G\cdot M}{r^{2}}}$,

mit

• Erdmasse: $M=5{,}972\cdot 10^{24}\,\mathrm {kg}$
• Erdradius: $r=6371\,\mathrm {km}$
• Gravitationskonstante: $G=6{,}674\cdot 10^{-11}\,{\frac {\mathrm {m^{3}} }{\mathrm {kg\,s^{2}} }}$

Diese Formel liefert etwa 9,82 m/s².

Kosmische Geschwindigkeiten

1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit)

Die 1. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

$v_{K}={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}$

• $M$ = Masse des Zentralkörpers (Erde)
• $r$ = Bahnradius des Zentralkörpers (Erde)

$v_{\text{K, Erde}}=7{,}9\,\mathrm {\frac {km}{s}}$

Herleitung:

Bei einer Kreisbewegung eines Probekörpers $m$ um eine Zentralmasse $M$ ist die Zentrifugalkraft $F_{Zf}$ gerade gleich der Gravitationskraft $F_{G}$.

Zentrifugalkraft $F_{Zf}$ = Gravitationskraft $F_{G}$.

Daraus folgt:

${\frac {v^{2}\cdot m}{r}}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}$.

Umstellen nach $v$ ergibt:

$v={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}$.

2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit)

Die 2. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

$v_{F}={\sqrt {\frac {\,2\cdot G\cdot M}{r}}}$

$v_{\text{F, Erde}}=11{,}2\,\mathrm {\frac {km}{s}}$

Herleitung:

Bei der minimalen Fluchtgeschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gerade gleich der Gravitationsenergie.

Kinetische Energie $E_{\text{kin}}$ = Gravitationsenergie $E_{G}$.

Daraus folgt:

${\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}=G\cdot {\frac {M\cdot m}{r}}$.

Umstellen nach $v$ ergibt:

$v={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M}{r}}}.$

Federgesetze

Hookesches Gesetz für Federn

Definition. Federkraft = Federkonstante · Federverlängerung:

$F=D\cdot \Delta l$

oder:

$F=D\cdot s.$

Rückstellkraft für Federn

Es ist zu beachten, dass die Rückstellkraft die entgegengesetzte Richtung wie die Verlängerung hat (Feder wird wieder kürzer).

Für eine Verlängerung müsste ein Minus [-] eingefügt werden, um die Richtung miteinzubeziehen:

$F=-D\cdot s.$

Spannarbeit

Für die Spannarbeit an einer Feder ergibt sich:

$W_{\text{Spann}}={\frac {1}{2}}\ D\cdot s^{2}.$

Spannenergie

Spannenergie einer Feder:

$E_{\text{Spann}}=E_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}\,D\cdot s^{2}$

mit:

• $D$: Federkonstante
• $s\colon$ Auslenkung der Feder aus der Ruhelage.

Spannenergie einer Drehfeder:

$E_{\text{Spann}}=E_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}\,D\ \cdot \varphi ^{2}$

mit:

• $D\colon$ Direktionsmoment,
• $\varphi \colon$ Auslenkungswinkel der Feder aus der Ruhelage.

Hookesches Gesetz

Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand:

$\sigma =E\cdot \varepsilon .$

Daraus folgt das E-Modul:

$E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}$

oder für die Verzerrung:

$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}$

wobei:

• $\sigma$ Spannung (Kraft pro Fläche)
• $\varepsilon$ Verzerrung (Längenänderung durch ursprüngliche Länge)
• $E$ Elastizitätsmodul (auch Zugmodul, Elastizitätskoeffizient, Dehnungsmodul, E.Modul usw.).

Verzerrungstensor

Der Verzerrungstensor lautet:

$\varepsilon _{ij}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right),$

wobei:

• ${\vec {u}}=\left(u_{i}\right)_{i\in \{1,2,3\}}$ Ortsverschiebung

Der Verzerrungstensor ist symmetrisch:

$\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}.$

Spannungstensor

(siehe Link)

Tensorielle Form des Hookschen Gesetzes

Die tensorielle Form des Hookeschen Gesetzes lautet:

$\sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}.$

Hookesches Gesetz für den eindimensionalen Fall

Für die Spannung bei einem Stab der Länge $l_{0}$ in x-Richtung gilt:

$\sigma _{x}={\frac {F_{x}}{A}}$

mit:

$F_{x}:$ Zugkraft

$A:$ Querschnittsfläche des Stabes.

Für die Dehung eines Stabes in x-Richtung ergibt sich:

$\varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}.$

Das Hookesche Gesetz lautete:

$\sigma =E\cdot \varepsilon .$

Durch Einsetzen und Umstellen erhält mann:

$F_{x}=E\cdot A\cdot {\frac {\Delta l}{l_{0}}}.$

Dieses erweitere Hookesche Gesetz lässt sich dort anwenden, wo die wirkende Kraft nahezu linear von der Ausdehnung bzw. Auslenkung abhängt, und ist eine Verallgemeinerung des Hookeschen Gesetzes für Federn.

Schaltung von Federn

Parallelschaltung

Für die Parallelschaltung von Federn ergibt sich:

$D=D_{1}+D_{2}+D_{3}+\dots +D_{n}=\sum _{i=1}^{n}D_{i}.$

Reihenschaltung

Für die Reihenschaltung von Federn ergibt sich:

${\frac {1}{D}}={\frac {1}{D_{1}}}+{\frac {1}{D_{2}}}+{\frac {1}{D_{3}}}+\dots +{\frac {1}{D_{n}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{D_{i}}}.$

Federschaltungen verhalten sich in diesem Sinne wie Kondensatorschaltungen. Jede Feder kann sich jedoch nur bis zu einem bestimmten Punkt ausdehnen.

Harmonische Schwingung und Pendel

Fadenpendel

(siehe Link)

Federpendel

Weg-Zeit-Gesetz des Federpendels:

$s(t)={\hat {s}}\cdot \cos \omega t$

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des Federpendels:

$v(t)=-\omega {\hat {s}}\cdot \sin \omega t$

Beschleunigungs-Zeit-Gesetz des Federpendels:

$a(t)=-\omega ^{2}{\hat {s}}\cdot \cos \omega t$

Frequenz des Federpendels:

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {D}{m}}}$

Schwingungsdauer des Federpendels:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}$

Torsionspendel

(siehe Link)

Gekoppelte Pendel

(siehe Link)

Doppelpendel

(siehe Link)

Hydrostatik

Die Hydrostatik ist die Lehre von den ruhenden Flüssigkeiten und den sich in ihnen ausbildenden Kräften unter der Wirkung äußerer Kräfte. Aufgabe der Hydrostatik ist es, die infolge des hydrostatischen Drucks auftretenden Erscheinungen zu analysieren und Kraftwirkungen zu ermitteln.

Definition, Einheiten und Eigenschaften des Druckes

Unter dem hydraulischen Druck p versteht man den Quotienten aus Normalkraft und gedrückter Fläche: Der Druck ist eine skalare Größe, d. h., er ist in einem Punkt eines Fluids ( Flüssigkeit, Gas, Dampf ) nach allen Richtungen gleich groß. Zur Angabe seiner Größe genügt demnach eine einzige Zahlenangabe mit dazugehöriger Einheit. Die Einheit des Druckes ist das Pascal ( Pa ). 1 Pa ist der Druck, der durch eine Kraft von 1 N erzeugt wird, welche gleichmäßig auf die zu ihr senkrechten Fläche von 1 m² wirkt: 1 Pa = 1 N/m² = 1 kg/( m * s² ) 1 bar = 1000 mbar = 105 Pa = 103 hPa ( Hektopascal ) Druck p am Boden eines Fluides in Tiefe h ergibt

Hydrostatische Grundgleichung

Beachte:

1) h wird nach unten von der Fluidoberfläche gezählt

2) der Druck nimmt linear mit der Tiefe zu

3) der Druck ist isotrop, d.h. er wirkt in einer Tiefe h in alle Richtungen gleich

Beispiel 2.1.1: Wasserdruck in 10 m Tiefe

Gegeben: h = 10 m; Dichte des Wassers $\rho$ = 1000 kg/m³

Gesucht: Wasserdruck p

Lösung: p = $\rho$ g h = 1000 * 9,81* 10 = 98100 Pa = 0,981 bar (~Atmosphären-Druck)

Wellenlehre

Wellengeschwindigkeiten

Die Wellengeschwindigkeit ist hier mit c bezeichnet. Für eine elektromagnetische Welle ist diese die Lichtgeschwindigkeit.

Wellenart	Formel	Erläuterungen
Elektromagnetische Welle	$c={\sqrt {\frac {1}{\varepsilon \mu }}}$	hier ist c die Lichtgeschwindigkeit $\varepsilon$ die Permittivität $\mu$ die Permeabilität
Druck- und Schallwellen in Gasen	$c={\sqrt {\chi {\frac {RT}{M}}}}$	M: molare Masse T: Temperatur R: universelle Gaskonstante $\chi =C_{p}/C_{v}\,$

Wellengleichung

$\Psi \,$ ist die Wellenfunktion.

Dimension	Formel
Eindimensional	${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}$
Dreidimensional	${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}$ $\Delta \Psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0$ $\Box \Psi =0$

Wellenlänge und Frequenz

Zusammenhang von Frequenz $f\$ und Wellenlänge $\lambda \$:

$\lambda ={\frac {c}{f}}$

$f={\frac {c}{\lambda }}$

gelegentlich wird auch der Buchstabe $\nu$ anstelle von $f$ für die Frequenz verwendet

Beugung und Interferenz

Einfachspalt

Intensitätsverlauf:$I(\Theta )=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {\pi b}{\lambda }}\sin \theta \right)}{{\frac {\pi b}{\lambda }}\sin \theta }}\right)^{2}$

Konstruktive Interferenz (Maximum): $b\sin \Theta =\pm \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\lambda$

Destruktive Interferenz (Minimum): $b\sin \Theta =\pm n\lambda \,$

wobei

• n eine positive Ganzahl ist (1, 2, 3, …) (Null ist ausgenommen). Sie wird auch die Ordnung des Maximums bzw. Minimums genannt.
• $\lambda$ ist die Wellenlänge
• $b$ ist die Breite des Spaltes
• $I_{0}=I(\Theta =0)$
• $\Theta \;$ ist der Winkel unter dem die Interferenz beobachtet wird.

Achtung:

Die Formeln für Minimum und Maximum gelten nur für positive Ganzzahlen. Bei $\Theta =0$ liegt das Hauptmaximum.

Doppelspalt

Konstruktive Interferenz (Maximum): $a\sin \Theta =n\lambda \;$

Destruktive Interferenz (Minimum): $a\sin \Theta =\lambda \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,$

Intensitätsverlauf: $I(\Theta )=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {\pi b}{\lambda }}\sin \Theta \right)}{{\frac {\pi b}{\lambda }}\sin \Theta }}\right)^{2}\cos ^{2}\left({\frac {a\pi }{\lambda }}\sin \Theta \right)$

Intensitätsverlauf für $b\ll \lambda$: $I(\Theta )=\cos ^{2}\left({\frac {a\pi }{\lambda }}\sin \Theta \right)$

wobei

• n eine Ganzzahl ist. Sie wird auch die Ordnung des Maximums bzw. Minimums genannt.
• $\lambda$ die Wellenlänge ist
• $a$ der Abstand der Spalte ist
• $b$ die Breite eines Spaltes ist
• $I_{0}=I(\Theta =0)$
• $\Theta \;$ der Winkel ist, unter dem die Interferenz beobachtet wird.

Gitter

Beugung an einem Gitter mit 6 Spalten

Intensitätsverlauf:$I(\Theta )=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {\pi b}{\lambda }}\sin \Theta \right)}{{\frac {\pi b}{\lambda }}\sin \Theta }}\right)^{2}\left({\frac {\sin \left({\frac {\pi Ng}{\lambda }}\sin \Theta \right)}{{\frac {\pi g}{\lambda }}\sin \Theta }}\right)^{2}$

Hauptmaxima: $g\sin \Theta =n\lambda \$

Zwischen zwei Hauptmaxima liegen immer n-1 Nebenminima und n-2 Nebenmaxima.

wobei

• n eine Ganzahl ist. Sie wird auch die Ordnung des Maximums genannt.

• $\lambda$ ist die Wellenlänge
• $b$ ist die Breite eines Spaltes des Gitters
• $N$ ist die Anzahl der Spalte des Gitters
• $g$ Gitterparameter (Abstand zweier Spalte des Gitters)
• $I_{0}=I(\Theta =0)$
• $\Theta \;$ ist der Winkel unter dem die Interferenz beobachtet wird.

Geometrische Optik

Strahlen

1. Divergente Strahlen: Strahlen, die von einem Punkt ausgehen (wie bei der auslaufenden Kugelwelle)
2. Konvergente Strahlen: Strahlen, die in einem Punkt zusammenlaufen (wie bei der einlaufenden Kugelwelle)
3. Parallele Strahlen: alle Strahlen verlaufen parallel zueinander. Dies entspricht der ebenen Welle.
4. Diffuse Strahlen: die einzelnen Strahlen verlaufen wahllos zueinander, Gegensatz zu homozentrischen Strahlen. Sie entstehen z.B. bei der Reflexion paralleler Strahlung an einer rauen Oberfläche.

Brechzahl

$n_{\mathrm {m} }={\frac {c}{c_{\mathrm {m} }}}$

$c$: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

$c_{\mathrm {m} }$: Lichtgeschwindigkeit im Medium (für Vakuum und Luft $\approx 3\cdot 10^{8}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$)

$n_{\mathrm {m} }$: Brechzahl des Mediums (für Vakuum = 1 und Luft $\approx 1$)

${\frac {c_{1}}{c_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Reflexion an ebenen Flächen

$\alpha =\alpha '$

$\alpha$: Einfallswinkel, zwischen Strahl und Lot auf die Oberfläche

$\alpha '$: Ausfallswinkel, zwischen Strahl und Lot auf die Oberfläche

Reflexionsgesetz in vektorieller Form

${{\mathbf {e} }_{r}}-{{\mathbf {e} }_{i}}=2{{\mathbf {e} }_{A}}\cos \alpha$

${{\mathbf {e} }_{i}}$: Einheitsvektor in Richtung der einfallenden Welle

${{\mathbf {e} }_{r}}$: Einheitsvektor in Richtung der reflektierten Welle

${{\mathbf {e} }_{A}}$: Normaleneinheitsvektor (Lot) der Oberfläche

Hohlspiegel

Gaußsche Strahlen

Amplitude des Elektrischen Feldes

$E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}e^{\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}e^{-ik{\frac {r^{2}}{2Rz+i\zeta (z)}}}$

Intensität

$I(r,z)=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}e^{\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}$

Strahlradius

$w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{0}}}\right)}^{2}}}$ mit $z_{0}={\frac {\pi \cdot w_{0}^{2}}{\lambda }}$

Konstruktion der Abbildung

1. Parallelstrahlen (Strahlen parallel zur optischen Achse) werden zu Brennpunktstrahlen (führen durch den Brennpunkt).
2. Mittelpunktstrahlen werden nicht abgelenkt.
3. Strahlengänge sind umkehrbar (also werden auch Brennpunktstrahlen zu Parallelstrahlen).

Abbildungsmaßstab

Der Abbildungsmaßstab A ist das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße G.

$A={\frac {B}{G}}$

Brechung an ebenen Grenzflächen

Snelliussches Brechungsgesetz

Für die Brechung eines Lichtstrahls beim Übergang Vakuum $\rightarrow$ Medium gilt:

${\frac {\sin(\Theta _{1})}{\sin(\Theta _{2})}}={\frac {c_{0}}{c}}=n$

Für den Übergang Medium 1 $\rightarrow$ Medium 2 gilt:

${\frac {\sin(\Theta _{1})}{\sin(\Theta _{2})}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\qquad {\rm {oder}}\qquad n_{1}\sin(\Theta _{1})=n_{2}\sin(\Theta _{2})$

wobei

• $\Theta _{1}$ Einfallswinkel (zum Lot gemessen)
• $\Theta _{2}$ Brechungswinkel(oder auch Ausfallswinkel) (zum Lot gemessen)
• $c_{0}$ Vakuumlichtgeschwindigkeit
• $c_{1}$ Lichtgeschwindigkeit in Medium 1
• $c_{2}$ Lichtgeschwindigkeit in Medium 2
• $n$ Brechzahl in Medium
• $c$ Lichtgeschwindigkeit in Medium

Fresnelsche Formeln

Reflektionsgrad senkrecht zur Einfallsebene polarisierter Wellen

$R_{\perp }=\left({\frac {\sin(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\sin(\Theta _{1}+\Theta _{2})}}\right)^{2}$

wobei

• $R_{\perp }$ Reflektionsgrad einer senkrecht zur Einfallsebene polarisierten Welle
• $\Theta _{1}$ Einfallswinkel (zum Lot gemessen)
• $\Theta _{2}$ Brechungswinkel(oder auch Ausfallswinkel) (zum Lot gemessen)

Reflektionsgrad parallel zur Einfallsebene polarisierter Wellen

$R_{||}=\left({\frac {\tan(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\tan(\Theta _{1}+\Theta _{2})}}\right)^{2}$

wobei

• $R_{||}\$ Reflektionsgrad einer parallel zur Einfallsebene polarisierten Welle
• $\Theta _{1}$ Einfallswinkel (zum Lot gemessen)
• $\Theta _{2}$ Brechungswinkel(oder auch Ausfallswinkel) (zum Lot gemessen)

Reflektionsgrad bei senkrecht zur Grenzfläche einfallendem Licht

$R=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}$

• $R$ Reflektionsgrad einer senkrecht zur Grenzfläche einfallenden Welle
• $n_{1}$ Brechzahl in Medium 1
• $n_{2}$ Brechzahl in Medium 2

Totalreflexion

$\theta _{\mathrm {c} }=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\quad {\text{mit}}\quad n_{1}>n_{2}$

wobei

• $\theta _{\mathrm {c} }$ Grenzwinkel der Totalreflexion

Brewster-Winkel

$\theta _{\mathrm {B} }=\arctan \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)$

wobei

• $\theta _{\mathrm {B} }$ Brewster Winkel

Linsen

Brechwert

$D={\frac {1}{f}}$

wobei:

• $f$ Brennweite

Dünne Linse

Erzeugen eines reellen Bildes mit einer Sammellinse

Brennweite :

${\frac {1}{f}}=\left({\frac {n}{n_{\mathrm {0} }}}-1\right)\left({\frac {1}{r_{\mathrm {1} }}}-{\frac {1}{r_{\mathrm {2} }}}\right)$

wobei

• $f$ Brennweite
• $n$ Brechzahl des Linsenmaterials
• $n_{\mathrm {0} }$ Brechzahl des umgebenden Mediums (bei Luft $\approx$ 1)
• $r_{1}$ Krümmungsradius der linken Linsenfläche (positiv bei konvexer Linsenfläche)
• $r_{2}$ Krümmungsradius der rechten Linsenfläche (positiv bei konvexer Linsenfläche)

Linsengleichung:

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}$

wobei

• $f$ Brennweite
• $g$ Gegenstandsweite (Abstand von der Linse zum abzubildenden Gegenstand)
• $b$ Bildweite (Abstand von der Linse zum Bild des abgebildeten Gegenstandes)

Abbildungsmaßstab:

$A={\frac {B}{G}}={\frac {b}{g}}$

$A={\frac {b-f}{f}}={\frac {f}{g-f}}$

Linsenschleiferformel

${\frac {1}{f}}=\left({\frac {n-n_{0}}{n_{0}}}\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-n_{0})d}{nR_{1}R_{2}}}\right)$

• $R_{1},R_{2}$ die Kugelradien,
• $d$ die Dicke der Linse (gemessen in Höhe der optischen Achse),
• $n_{0}$ die Brechzahl des Mediums außerhalb der Linse,
• $n$ die Brechzahl des Linsenmaterials,
• $f$ die Brennweite der Linse

Optische Instrumente

Lochkamera

Unschärfefleck

$S={\frac {D(b+g)}{g}}$

wobei

• $D$ Durchmesser des Lochs
• $S$ Durchmesser des Unschärfeflecks
• $b$ Bildweite
• $g$ Gegenstandsweite

Lupe

Vergrößerung

$V={\frac {\tan \epsilon }{\tan \epsilon _{0}}}={\frac {\frac {O}{f}}{\frac {O}{s_{0}}}}={\frac {s_{0}}{f}}={\frac {25\mathrm {cm} }{f}}$

wobei

• $V$ Winkelvergrößerung
• $\epsilon _{0}$ Sehwinkel ohne Lupe
• $\epsilon$ Sehwinkel mit Lupe
• $s_{0}$ deutliche Sehweite
• $O$ Größe des Objekts
• $f$ Brennweite

Galilei-Fernrohr

$V={\frac {f_{\mathrm {ob} }}{f_{\mathrm {ok} }}}$

Kepler-Fernrohr

Vergrösserung

$V={\frac {f_{\mathrm {ob} }}{f_{\mathrm {ok} }}}$

Mikroskop

Vergrößerung

$V={\frac {(d-f_{\mathrm {ob} })s_{0}}{f_{\mathrm {ob} }f_{\mathrm {ok} }}}$

wobei

• $V$ Vergrößerung
• $d$ Abstand vom Objektiv zur Brennebene des Okulars
• $f_{\mathrm {ob} }$ Brennweite des Objektivs
• $f_{\mathrm {ok} }$ Brennweite des Okulars
• $s_{0}$ deutliche Sehweite

Akustik

Schallfeldgrößen

Schallschnelle

ist die Geschwindigkeit schwingender Teilchen um deren Ruhelage. Sie ergibt sich aus Frequenz f und Auslenkung y

$v=2\,\pi \,f\cdot y$

Schalldruck

ist der maximale Differenzdruck einer Schallwelle (Unter- bzw. Überdruck). Er ergibt sich aus Schallschnelle, statischer Luftdichte $\rho \$ und Schallgeschwindigkeit c

$p=\rho \,c\cdot v$

Schallintensität I beschreibt die Schallleistung $P$, die durch eine Fläche $A$ geht.

$I={\frac {dP}{dA}}$

Pegelmaße

Alle Schallfeldgrößen lassen sich in Pegelmaße [dB] überführen. Für die energetische Größe Schallintensitätspegel ergibt sich

$L(I)=10\lg \left({\frac {J}{J_{0}}}\right)$

Für alle linearen Schalldruckgrößen ($p,\,\rho ,\,v$) wird der 20-fache dekadische Logarithmus verwendet.

$L=20\lg \left({\frac {p}{p_{0}}}\right)$ (Schalldruckpegel)

Schallausbreitung

$t=e+d$

Psychoakustik

]

Tontechnik

Diese Formelsammlung kommt aus den Gebieten Akustik, Psychoakustik, Elektro-Akustik, Elektrotechnik und vielen weiteren Gebiete mehr.

Schallgeschwindigkeit

$c_{\mathrm {S} }=f\,\lambda$

$c_{\mathrm {S} }:$ Schallgeschwindigkeit in m/s
$f$ : Frequenz in Hz
$\lambda$ : Wellenlänge in m

Gase und Flüssigkeiten

$c_{\mathrm {S} }={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}$

$c_{\mathrm {S} }:$ Schallgeschwindigkeit in m/s
$K$ : Kompressionsmodul in Pascal Pa = N/m²
$\rho$ : Dichte, in kg/m³

Ideales Gas

$c_{\mathrm {S} }={\sqrt {\frac {\kappa \,p}{\rho }}}={\sqrt {\frac {\kappa \,R\,T}{M}}}$

$p$ : Schalldruck in Pascal) = N/m²
κ = c_p/c_V = Adiabatenexponent
$R$ : universelle Gaskonstante = 8,3145 J/molK

Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist nicht vom Luftdruck abhängig, weil ${\frac {p}{\rho }}$ konstant ist.

Festkörper

• langer Stab longitudinal:$c_{\rm {l}}={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$

• langer Stab transversal:$c_{\rm {t}}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2(1+\mu )\rho }}}$

$E$ : Elastizitätsmodul in N/m²
$G$ : Schubmodul in N/m²
$\mu$ : Poissonzahl

Wellenamplitude

Verschiebungsamplitude $x_{0}={\frac {v_{0}}{\omega }}$

Geschwindigkeitsamplitude (Schallschnelle) $v_{0}=\omega \,x_{0}$

Beschleunigungsamplitude $a_{0}=\omega ^{2}\,x_{0}$

Druckamplitude $\Delta p_{0}=Z\,v_{0}$

Wärmelehre

Formelsammlung Physik

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Allgemeine Gasgleichung

$p\cdot V=n\cdot R\cdot T$

Symbol, Größe	Einheit bzw. Wert
p: Druck	Pa (-->Pascal)
V: Volumen	m3
n: Stoffmenge	mol
R: Allgemeine Gaskonstante	8,314472 J/(mol·K)
T: Absolute Temperatur	K

Isochore Zustandsänderung

${\frac {p}{T}}={\text{const.}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\frac {p_{1}}{T_{1}}}={\frac {p_{2}}{T_{2}}}$

Bei gleichbleibendem Volumen erhöht sich bei einem Druckanstieg von $p_{1}$ auf $p_{2}$ die Temperatur $T_{1}$ auf $T_{2}$:

$T_{2}={\frac {p_{2}\cdot T_{1}}{p_{1}}}$

Bei gleichbleibendem Volumen erhöht sich bei einem Temperaturanstieg von $T_{1}$ auf $T_{2}$ der Druck $p_{1}$ auf $p_{2}$:

$p_{2}={\frac {p_{1}\cdot T_{2}}{T_{1}}}$

Symbol, Größe	Einheit bzw. Wert
$p_{1}$: Ausgangsdruck	Pa
$p_{2}$: Enddruck	Pa
$T_{1}$: Ausgangstemperatur	K1
$T_{2}$: Endtemperatur	K1

Isotherme Zustandsänderung

$p\cdot V={\text{const.}}\qquad \Leftrightarrow \qquad p_{1}\cdot V_{1}=p_{2}\cdot V_{2}$

Um bei gleichbleibender Temperatur den Druck von $p_{1}$ auf $p_{2}$ zu erhöhen, muss das Volumen von $V_{1}$ auf $V_{2}$ verringert werden:

$V_{2}={\frac {p_{1}\cdot V_{1}}{p_{2}}}$

Bei gleichbleibender Temperatur erhöht sich bei einer Volumenverringerung von $V_{1}$ auf $V_{2}$ der Druck $p_{1}$ auf $p_{2}$

$p_{2}={\frac {p_{1}\cdot V_{1}}{V_{2}}}$

Symbol, Größe	Einheit bzw. Wert
$p_{1}$: Ausgangsdruck	Pa
$p_{2}$: Enddruck	Pa
$V_{1}$: Ausgangsvolumen	m³
$V_{2}$: Endvolumen	m³

Isobare Zustandsänderung

${V \over T}={\text{const.}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}$

Bei gleichbleibendem Druck erhöht sich bei einem Temperaturanstieg von $T_{1}$ auf $T_{2}$ das Volumen $V_{1}$ auf $V_{2}$:

$V_{2}={\frac {V_{1}\cdot T_{2}}{T_{1}}}$

Um bei gleichbleibendem Druck das Volumen von $V_{1}$ auf $V_{2}$ zu erhöhen, muss die Temperatur von $T_{1}$ auf $T_{2}$ steigen:

$T_{2}={\frac {T_{1}\cdot V_{2}}{V_{1}}}$

Symbol, Größe	Einheit bzw. Wert
$V_{1}$: Ausgangsvolumen	m³
$V_{2}$: Endvolumen	m³
$T_{1}$: Ausgangstemperatur	K
$T_{2}$: Endtemperatur	K

Wärmewiderstand, Wärmefluss und Temperaturdifferenz

Wärmeleiter

Bei gegebenen Abmessungen $A,l\$ und spezifischem Wärmewiderstand $\rho _{\mathrm {th} }\$ des Wärmeleiters kann der Wärmewiderstand $R_{\mathrm {th} }\$ berechnet werden:

$R_{\mathrm {th} }={\frac {\rho _{\mathrm {th} }\cdot l}{A}}$

Aus der Temperaturdifferenz $\Delta T\$, dem Wärmestrom ${\dot {Q}}$ und den Abmessungen des Wärmeleiters kann der spezifische Wärmewiderstand des Materials bestimmt werden:

$\rho _{\mathrm {th} }={\frac {\Delta T\cdot A}{{\dot {Q}}\cdot l}}$

mit

$\rho _{\mathrm {th} }\$ = Spezifischer Wärmewiderstand

$\Delta T\$ = Temperaturdifferenz

$A\$ = Querschnitt

$l\$ = Länge des Wärmeleiters

${\dot {Q}}$ = Wärmefluss

Grundgleichung Wärmelehre

$Q=c\cdot m\cdot \Delta T$

mit

$Q\$ = Wärmeenergie [J]

$c\$ = spezifische Wärmekapazität [J/(kg·K)]

$m\$ = Masse [kg]

$\Delta T\$ = Temperaturdifferenz [K]

${\dot {Q}}=c\cdot {\dot {m}}\cdot \Delta T$

mit

${\dot {Q}}$ = Wärmestrom [W],

${\dot {m}}$ = Massenstrom [kg/s],

Gültigkeitsbedingung der Formel:
→

Wärmeleitung/Wärmeleitfähigkeit

${\dot {Q}}={\frac {\lambda }{s}}\cdot A\cdot \Delta T$

mit

${\dot {Q}}$ = Wärmestrom [W],

$\lambda$ = Wärmeleitfähigkeit [W/(mK)],

$s$ = Abstand [m],

$A$ = Fläche [m²]

$\Delta T\$ = Temperaturdifferenz [K]

Wärmedurchgang durch eine Wand oder ein Fenster

${\dot {Q}}=U\cdot A\cdot \Delta T$

mit

${\dot {Q}}$	= Wärmestrom [W]
$U$	= Wärmedurchgangskoeffizient [W/(m²K)] - {ALTE BEZEICHNUNG "k"}
$A$	= Fläche [m²]
$\Delta T$	= Temperaturdifferenz (in Kelvin)

für U gilt:

$U={\frac {1}{R_{\mathrm {T} }}}={\frac {1}{R_{\mathrm {se} }+{\frac {d}{\lambda }}+R_{\mathrm {si} }}}$

mit

${R_{\mathrm {index} }}$ = Wärmeübergangswiderstand (Index se = außen, si = innen) [(Km²)/W]

$d$ = Dicke - {ALTE BEZEICHNUNG "s"}

$\lambda$ = Wärmeleitfähigkeit [W/(Km)]

Wärmedurchlasswiderstand

Setzt sich aus den Wärmedurchlasswiderständen der einzelnen Wandschichten zusammen.

${\frac {d}{\lambda }}={\frac {d_{1}}{\lambda _{1}}}+{\frac {d_{2}}{\lambda _{2}}}+\dots$

mit

$d$ = Abstand (Dicke)

$\lambda$ = Wärmeleitfähigkeit [W/mK]

Wärmestrahlung

$Q_{p}=\epsilon \cdot \sigma \cdot A\cdot T^{4}$

mit

$Q_{p}$ = Wärmestrom [W]

$\epsilon$ = Emissionsgrad [-]

$\sigma$ = Strahlungskonstante des schwarzen Strahlers = 5,67e-8 [W/m²K⁴]

A = Fläche [m²]

T = Temperatur

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Elektrotechnik

Grundlagen

Ladung

Formelzeichen	Einheit
Q Ladung	C Coulomb
$[Q]=[I]\cdot [t]$	$C=A\cdot s$

$Q=\int _{t}I(t)\mathrm {d} t\$

Kapazität

Allgemein
Ladung Q im Kondensator	$Q=C\cdot U$
Energie W im Kondensator	$W={\frac {1}{2}}\ C\cdot U^{2}$
Strom in den Kondensator	$I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}\$
Laden / Entladen in Reihenschaltung
Anfangsladestrom	$I={\frac {U}{R}}$
Zeitkonstante $\tau$	$\tau =R\cdot C$
Kondensatorspannung beim Ladevorgang	$u_{c}=U\cdot (1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})$
Ladestrom	$i_{c}={\frac {U}{R}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$
Kondensatorspannung beim Entladevorgang	$u_{c}=U\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$
Entladestrom	$i_{c}=-{\frac {U}{R}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Reihenschaltung von Kondensatoren	Parallelschaltung von Kondensatoren
$U_{g}=U_{1}+U_{2}+\dots +U_{n}\$	$Q_{g}=Q_{1}+Q_{2}+\dots +Q_{n}\$
${\frac {1}{C_{g}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}+\dots +{\frac {1}{C_{n}}}$	$C_{g}=C_{1}+C_{2}+\dots +C_{n}\$
${\frac {U_{1}}{U_{2}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$	${\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}$
Für n gleiche C $C_{g}={\frac {C}{n}}$	Für n gleiche C $C_{g}=n\cdot C$

Stromstärke

Formelzeichen

$I\$

Einheit

Ampere

Das Ampere ist eine SI-Basiseinheit und hat daher keine Definitionsgleichung

$\mathrm {A} \$

Beweglichkeit

Elektronen werden durch Kraftwirkung Beschleunigt

$\mathrm {\vec {F}} =-e{\vec {E}}$

Elektronen werden beschleunigt bis es z. B. ein Gitteratom stößt:

${\vec {v_{D}}}=\int _{0}^{\tau _{m}}{\frac {(-e){\vec {E}}}{m_{e}}}=-\left({\frac {e\tau _{m}}{m}}\right){\vec {E}}=-\mu _{n}{\vec {E}}$

wobei

$\tau _{m}$: Mittlere zwischen zwei Stößen

$v_{D}$: Driftgeschwindigkeit: Ist die mittlere Geschwindigkeit, die von Feldstärke verursachen wird.

$m_{e}$: Elektronenmasse

$\mu _{n}$: Beweglichkeit der Elektronen

Stromdichte

Einheit

Ampere*Meter^-2

${\vec {J}}=\rho \;{\vec {v}}_{D}=n\;e\;{\vec {v_{D}}}$

wobei

$\rho$: Volumenladungsichte

$n$: Anzahl der Elektronen

$e$: Elementarladung

$I=\iint \limits _{A}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

Wenn Homogen

$I=J\cdot A$

Kirchhoff: Knotenregel

Es gilt nur wenn Strom konstant ist, und wenn es keine Ladung in die Hüllfläche gibt.

$0=$ $A$ ${\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

Widerstand

Formelzeichen

$R={\frac {U}{I}}$

Einheit

Ohm

$1\Omega ={\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {A} }}={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{3}\cdot \mathrm {A} ^{2}}}$

Dass der Widerstand konstant ist, gilt übrigens nur bei konstanter Temperatur und metallischen Leitern! Für den Fall, dass der Widerstand sich mit der Temperatur ändert, gilt folgende Gesetzmäßigkeit:

$R_{\theta }=R_{20}\cdot \left(1+\alpha \cdot \Delta \theta \right)$

Der Widerstand bei einer Temperatur ist der Widerstand bei einer bekannten Temperatur multipliziert mit einem Faktor, der von einer Materialkonstante α abhängt und der Temperaturdifferenz $\Delta \theta$.

Spannung, Stromstärke, Widerstand, Leitwert

Formelzeichen	Einheit
U Spannung	V Volt
I Stromstärke	A Ampère
R Widerstand	Ω Ohm
G Leitwert	S Siemens

$U=I\cdot R$	$I={\frac {U}{R}}$	$R={\frac {U}{I}}$
$I=U\cdot G$	$U={\frac {I}{G}}$	$G={\frac {I}{U}}$
$1=R\cdot G$	$R={\frac {1}{G}}$	$G={\frac {1}{R}}$

Leistung

Formelzeichen	Einheit
P Leistung	W Watt

$P=U\cdot I$	$U={\frac {P}{I}}$	$I={\frac {P}{U}}$
$P={\frac {U^{2}}{R}}$	$P={I^{2}}\cdot {R}$ (Ohmsche Verluste)
$U={\sqrt {P\cdot R}}$	$I={\sqrt {\frac {P}{R}}}$
$R={\frac {U^{2}}{P}}$	$R={\frac {P}{I^{2}}}$

Elektrische Arbeit

Formelzeichen	Einheit
W Arbeit	Ws Wattsekunde = J w:Joule
t w:Zeit	s Sekunden

$W=P\cdot t$	$P={\frac {W}{t}}$	$t={\frac {W}{P}}$
$W=U\cdot I\cdot t$

Reihenschaltung von Widerständen

2. Kirchhoff'sches Gesetz, auch Maschenregel genannt.

Die Summe aller Teilspannungen ist genauso groß wie die Gesamtspannung

Formelzeiche	Beschreibung	Formelzeichen	Beschreibung	Formelzeichen	Beschreibung
Rges	Gesamtwiderstand	R1	Teilwiderstand	R2	Teilwiderstand
Uges	Gesamtspannung	UR1	Spannung an R1	UR2	Spannung an R2
Pges	Gesamtleistung	PR1	Leistung an R1	PR2	Leistung an R2

$I_{\mathrm {ges} }=I_{R_{1}}=I_{R_{2}}=\dots =I_{R_{n}}$

$R_{\mathrm {ges} }=R_{1}+R_{2}+\dots +R_{n}$

$U_{\mathrm {ges} }=U_{R_{1}}+U_{R_{2}}+\dots +U_{R_{n}}$

$P_{\mathrm {ges} }=P_{R_{1}}+P_{R_{2}}+\dots +P_{R_{n}}$

$P_{R_{1}}=U_{R_{1}}\cdot I$

$U_{R_{1}}=U_{\mathrm {ges} }\cdot {\frac {R_{1}}{R_{\mathrm {ges} }}}$

Parallelschaltung von Widerständen

1. Kirchhoff'sches Gesetz, auch Knotenregel genannt.

Die Summe aller Teilströme ist genauso groß wie der Gesamtstrom

Formelzeichen	Beschreibung	Formelzeichen	Beschreibung	Formelzeichen	Beschreibung
Rges	Gesamtwiderstand	R1	Teilwiderstand	R2	Teilwiderstand
Gges	Gesamtleitwert	G1	Leitwert von Teilwiderstand R1	G2	Leitwert von Teilwiderstand R2
Iges	Gesamtstromstärke	IR1	Stromstärke an R1	IR2 Stromstärke an R2
Pges	Gesamtleistung	PR1	Leistung an R1	PR2	Leistung an R2

$U_{\mathrm {ges} }=U_{R_{1}}=U_{R_{2}}=\dots =U_{R_{n}}$

$R_{\mathrm {ges} }={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}}}$

$G_{\mathrm {ges} }=G_{1}+G_{2}+\dots +G_{n}$

$R_{\mathrm {ges} }={\frac {1}{G_{1}+G_{2}+\dots +G_{n}}}$

$I_{\mathrm {ges} }=I_{R_{1}}+I_{R_{2}}+\dots +I_{R_{n}}$

$P_{\mathrm {ges} }=P_{R_{1}}+P_{R_{2}}+\dots +P_{R_{n}}$

$P_{R_{1}}=U\cdot I_{R_{1}}$

Spezifischer Widerstand

Formelzeichen	Einheit
ρ Spezifischer Widerstand	(Ω·mm²)/m

$[\rho ]={\frac {\Omega \cdot \mathrm {mm} ^{2}}{\mathrm {m} }}$

Tabelle für den spezifischen Widerstand

Leiterwiderstand

Formelzeichen	Einheit
l Länge	m w:Meter
A w:Fläche	m² w:Quadratmeter

$R={\frac {\rho \cdot l}{A}}$

Leitfähigkeit

Formelzeichen	Einheit
γ Leitfähigkeit	m / (Ω·mm²)

$[\gamma ]={\frac {\mathrm {m} }{\Omega \cdot \mathrm {mm} ^{2}}}$

Leiterwiderstand

$R={\frac {l}{\gamma \cdot A}}$

Einfacher Gleichstromkreis

elektrische Spannung U	$U={\frac {W}{Q}}$	$t$ = Zeit $Q$ = elektrische Ladung $W$ = mechanische Arbeit $\vartheta$ = Temperatur $\rho =$ spezifischer elektrischer Widerstand
elektrische Strom- stärke I	$I={\frac {dQ}{dt}}$ Unter der Bedingung eines stationären Stromes (I = konstant) gilt: $I={\frac {Q}{t}}$
elektrischer Wider- stand R	$R={\frac {U}{I}}$
elektrischer Leitwert G	$G={\frac {1}{R}}$
elektrische Leistung P	$P=U\cdot I$
elektrische Arbeit W	$W=P\cdot t$
ohmsches Gesetz	Unter der Bedingung $\vartheta =\mathrm {konstant}$ gilt: $U\sim I,{\frac {U}{I}}=\mathrm {konstant}$
Widerstandsgesetz	$R={\frac {\rho \cdot l}{A}}$
elektrische Leitfähigkeit	$\gamma ={\frac {1}{\rho }}$

Unverzweigter und verzweigter Gleichstromkreis

Reihenschaltung von Widerständen	Parallelschaltung von Widerständen
$I=I_{1}=I_{2}=\dots =I_{n}\$	$I=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{n}\$
$U=U_{1}+U_{2}+\dots +U_{n}\$	$U=U_{1}=U_{2}=\dots =U_{n}\$
$R=R_{1}+R_{2}+\dots +R_{n}\$	${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\dots +{\frac {1}{R_{n}}}\$
Spannungsteilerregel: ${\frac {U_{1}}{U_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}\qquad {\frac {U_{1}}{U}}={\frac {R_{1}}{R}}$	Stromteilerregel: ${\frac {I_{2}}{I_{1}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}\qquad {\frac {I_{1}}{I}}={\frac {R}{R_{1}}}$
Reihenschaltung von Spannungsquellen	Parallelschaltung von Spannungsquellen
$U=U_{1}+U_{2}+\dots +U_{n}$	Unter der Bedingung gleicher Spannungsquellen gilt: $U=U_{1}=U_{2}=...=U_{n}$

Magnetisches Feld

Lorentzkraft

Magnetische Flussdichte

Formelzeichen	Einheit
${\vec {B}}$ Magnetische Flussdichte	T Tesla
$[{\vec {B}}]={\frac {[U]\cdot [t]}{[s]^{2}}}$	$T={\frac {V\cdot s}{m^{2}}}$

$\mathbf {\vec {B}} =\mu _{0}(\mathbf {{\vec {H}}+{\vec {M}}} )=\mu \mathbf {\vec {H}}$

Allgemein

Magnetische Wirkung eine ladung in andere Ladung:

${\vec {F}}_{mag,Q_{2}}=(Q_{2}{\vec {v}}_{2})\times \mu {\frac {(Q_{1}{\vec {v_{1}}})\times {\vec {r}}}{r^{3}}}=(Q_{2}{\vec {v}}_{2})\times {\vec {\mathbf {B} }}$

wobei

$\mu =\mu _{0}\mu _{r}$

$\mu$: Permeabilität

$\mu _{0}\,$: magnetische Feldkonstante $\approx 4\pi \cdot 10^{-7}{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {A} ^{2}}}$

$\mu _{\rm {r}}\,$: relative Permeabilität

$\pi \,$: (Pi) Kreiszahl $=\,3{,}14159265\dots$

$Q_{1}\,,\,Q_{2}$: Ladungen

${\vec {v}}_{1}\,,\,{\vec {v}}_{2}$: Ladungen geschwindigkeit

${\vec {r}}\,$: Abstandsvektor der Ladungen

$r\,=\,|{\vec {r}}|\,$: Abstand der Ladungen

und

${\overrightarrow {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\overrightarrow {\mathbf {H} }}$

$\mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}$

Magnetische Feldstärke

Formelzeichen	Einheit
${\vec {H}}$ Magnetische Feldstärke	A/m
$[H]$	${\frac {A}{m}}$

$\mathbf {\vec {B}} =\mu _{0}(\mathbf {{\vec {H}}+{\vec {M}}} )=\mu \mathbf {\vec {H}}$

Lorenzkraft

${\boldsymbol {F}}_{L}=q\left({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}\right)=I\,\mathbf {\ell } \times \mathbf {B}$

Flussdichte eines Leiters

Für einer unendliche lange Leiter gilt:

${\vec {B}}={\frac {\mu \;I}{2\pi \rho }}{\vec {e_{\rho }}}$

Oerstedsche Gesetz

$\oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {s}}=\Theta$

Magnetischer Fluss

Formelzeichen	Einheit
$\Phi$ Magnetischer Fluss	Weber
$[\Phi ]=[U]\cdot [t]$	$Wb=V\cdot s$

$\Phi =\oint \limits _{\partial V}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\int \limits _{V}\nabla \cdot {\vec {B}}\;\mathrm {d} V$

Induktivität

Formelzeichen	Einheit
$L$ Induktivität	Henry
$[L]={\frac {[\Phi ]}{[I]}}$	$H={\frac {Wb}{A}}$

Induktivität ist verketterter magnetische Fluss durch Ström

Elektromagnetisches Feld

Braunsche Röhre

Ablenkung im Kondensator	$y_{1}={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {U_{y}}{U_{A}}}\cdot {\frac {l^{2}}{d}}$	$U_{y}$ = Ablenkspannung $U_{A}$ = Beschleunigungsspannung $l$ = Kondensatorlänge $d$ = Plattenabstand $s$ = Abstand von Kondensator zum Schirm
Ablenkung außerhalb des Kondensator	$y_{2}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {U_{y}}{U_{A}}}\cdot {\frac {l\cdot s}{d}}$
Gesamte Ablenkung	$y={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {U_{y}}{U_{A}}}\cdot {\frac {l}{d}}\left({\frac {l}{2}}+s\right)$

Wechselstromkreis

Stromstärke i im Wech- selstromkreis	Momentanwert: $i={\hat {i}}\cdot \sin \left(\omega \cdot t+\varphi _{0}\right)$ Effektivwert: $I={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ {\hat {i}}\approx 0{,}707\ {\hat {i}}$	$\omega =2\pi \cdot f$ $i\$ = Momentanwert $t\$ = Zeit ${\hat {i}}$ = Scheitelwert $I\$ = Effektivwert $\varphi _{0}$ = Phasenwinkel $u\$ = Momentanwert ${\hat {u}}$ = Scheitelwert $U\$ = Effektivwert $\cos \varphi$ = Leistungsfaktor $\varphi$ = Phasenverschiebungswinkel
Spannung u im Wech- selstromkreis	Momentanwert: $u={\hat {u}}\cdot \sin \left(\omega \cdot t+\varphi _{0}\right)$ Effektivwert: $U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ {\hat {u}}\approx 0{,}707\ {\hat {u}}$
Scheinleistung S	$S=U\cdot I$
Wirkleistung P	$P=U\cdot I\cdot \cos \varphi$
Blindleistung Q	$Q=U\cdot I\cdot \sin \varphi$

Widerstände im Wechselstromkreis

kapazitiver Widerstand

$X_{C}={\frac {1}{2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}$

$f\$ = Frequenz $C\$ = Kapazität

induktiver Widerstand

$X_{L}={2\cdot \pi \cdot f\cdot L}$

$f\$ = Frequenz $L\$ = Induktivität

Transformator

${\frac {U_{1}}{U_{2}}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}$

${\frac {I_{1}}{I_{2}}}={\frac {N_{2}}{N_{1}}}$

${\frac {I_{1}}{I_{2}}}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}$

---

$U_{1}$ = Spannung in der Primärspule
$U_{2}$ = Spannung in der Sekundärspule
$N_{1}$ = Windungen der Primärspule
$N_{2}$ = Windungen der Sekundärspule
$I_{1}$ = Stromstärke in der Primärspule
$I_{2}$ = Stromstärke in der Sekundärspule

Weblinks

• http://www.elektrotechnik-fachwissen.de/
• http://www.elektronik-kompendium.de/
• http://www.formelsammlung24.de/
• Formelsammlung für TI Grafiktaschenrechner - speziell für Elektroberufe

Elektrostatik

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieses ist eine Formelsammlung zum Thema Elektrostatik. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Wikipedia-Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Ladung / Verschiebungsfluss

Einheit

Q bzw. q = $\Psi$. Einheit: [Q] = C = As (Coulomb = Ampere Sekunde)

Elektrische Elementarladung

$e=\,1{,}60217662\cdot 10^{-19}\mathrm {As}$

Die Ladung ist vielfaches der elektrische Elementarladung $e$

$Q=eN\quad {\text{mit}}\quad N\in \mathbb {Z}$

Ladungsdichte

Linienladungsdichte

$\lambda ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} l}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{l}\lambda ({\vec {r}})\,\mathrm {d} l.$

Oberflächenladungsdichte

$\sigma ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} A}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{A}\sigma ({\vec {r}})\,\mathrm {d} A$

Raumladungsdichte

$\rho ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V$,

Ladungserhaltung

$Q_{\mathrm {tot} }=\sum _{i}Q_{i}=\int \limits _{V}{q_{i}\,\cdot \,\mathrm {d} V}$

$Q_{\mathrm {tot} }\,$: Gesamtladung im abgeschlossenen System

$Q_{i}/q_{i}$: Einzelladungen

$V,\mathrm {d} V$: Volumen , w:infinitesimales Volumenelement

Anziehungskraft zweier Punktladungen

skalar:

$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\qquad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}$

vektoriell:

${\vec {F}}\,=\,{\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\,\cdot \,{\frac {\vec {r}}{r}}\qquad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}$

$\varepsilon \,$: w:Permittivität (Dielektrizitätszahl)

$\varepsilon _{0}\,$: w:elektrische Feldkonstante $=\,8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\rm {As}}{\rm {Vm}}}$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }\,$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

$\pi \,$: (Pi) w:Kreiszahl $=\,3{,}14159265\dots$

$Q_{1},Q_{2}$: Ladungen

${\vec {r}}\,$: Abstandsw:vektor der Ladungen

$r=|{\vec {r}}|\,$: Abstand der Ladungen

Verschiebungsfluss

skalar:

$\Psi =Q=\sum {\varepsilon \,\cdot E_{N}\,\cdot \,\Delta A}\qquad {\textrm {mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}$

wenn homogen:

$\Psi =Q=$ $A$ $D\,\cdot \,\mathrm {d} A$

vektoriell:

$\Psi =Q=$ $A$ $\varepsilon \,\cdot {\vec {E}}\,\cdot \,{\vec {\mathrm {d} A}}\quad \mathrm {mit} \quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$\Psi =Q=$ $A$ ${\vec {D}}\,\cdot \,{\vec {\mathrm {d} A}}$

geschlossene Fläche:

$\Psi \,=\,\sum _{A}{Q_{e}}$

$Q_{e}$: eingeschlossene Ladung

$\varepsilon \,$: Permittitvität (Dielektrizitätszahl)

$\varepsilon _{0}\,$: elektrische Feldkonstante $=\,8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {As} }{\mathrm {Vm} }}$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }\,$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

$E_{\mathrm {N} }=|{\vec {E}}|\cdot \,\cos(\varphi )\,$: Normalkomponente

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elektrische Feldstärke

die elektrische Feldstärke (E-Feld) und deren Einheit

Die elektrische Feldstärke ist eine vektorielle Größe; sie hat somit einen Betrag und eine Richtung.

${\vec {E}}\qquad {\text{Einheit:}}\,{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}\quad {\text{bzw.}}\quad {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {C} }}$

Die Einheiten veranschaulichen die einfachste Berechnungen des E-Feldes:

${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}={\frac {\mathrm {d} U}{\vec {\mathrm {d} l}}}$

Feldstärke im Potenzialfeld:

${\vec {E}}=-\operatorname {grad} (\varphi )$

E-Feld einer Punktladung

skalar:

$E={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q}{r^{2}}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

vektoriell:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\cdot \,{\frac {Q}{r^{2}}}\,\cdot \,{\frac {\vec {r}}{r}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$\varepsilon _{0}$: Elektrische Feldkonstante $=8{,}85418782\dots \cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {As} }{\mathrm {Vm} }}$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }$: Dielektrizitätszahl

E-Feld eines geladenen Leiters

äußeres Feld:

skalar:

$E={\frac {Q}{2\pi \varepsilon lr}}={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon r}}\quad {\text{mit}}\quad \rho ={\frac {Q}{l}}$

vektoriell:

${\vec {E}}(P)={\frac {Q}{2\pi \varepsilon l({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}})^{2}}}\cdot ({\vec {e_{l}}}\times ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}}))={\frac {\rho }{2\pi \varepsilon ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}})^{2}}}\cdot ({\vec {e_{l}}}\times ({\vec {p}}\times {\vec {e_{l}}}))\quad {\text{mit}}\quad {\vec {e_{l}}}={\frac {\vec {l}}{|{\vec {l}}|}},\quad {\vec {p}}={\vec {OP}}$

inneres Feld:

Für eine Statische Ladungsverteilung muss die Summe aller Kräfte auf jede Ladung 0 sein. Da Ladungen im inneren eines Leiters frei beweglich sind gilt, darf es kein Feld geben. Diesem würde jede Ladung folgen, bis auftretende Ladungsverteilungen das Ursprungsfeld kompensieren. Das heißt, dass es keine Potentialdifferenz gibt:

$\Delta U=0$.

$U({\vec {r}})={\text{const.}}$ erfüllt diese Bedingung. Wonach das Feld 0 sein muss:

${\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})=0$

Nach dem Eindeutigkeitssatz, ist dies die richtige Lösung.

nach oben

Spannung / Potential

die Spannung / das Potential und deren Einheit

$U\qquad {\text{Einheit ist Volt: }}\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {C} }}$

$\varphi \qquad {\text{Einheit: }}\mathrm {V}$

Spannung zwischen zwei Punkten im E-Feld

$U_{AB}={\frac {W_{AB}}{q}}$

$U_{AB}=\int \limits _{A}^{B}{{\vec {E}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}}$

im homogenen Feld:

$U_{AB}={\vec {E}}\cdot {\vec {s}}$

Potential im E-Feld

$\varphi _{A}=U_{AZ}=-\int \limits _{Z}^{A}{{\vec {E}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}}$

$Z$: Bezugspunkt; $\varphi _{Z}=0$

Kirchoff: Maschenregeln

Wenn kein bewegendes Magnetischesfeld vorhanden ist.

$\oint {\vec {E}}\cdot {\rm {d}}{\vec {s}}=0$

Elektromotorische Kraft

$\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-\int {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {A}}={\mathcal {E}}$

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Kondensatoren

Kapazität

die Kapazität und deren Einheit

die Kapazität ist ein Maß für die Speicherfähigkeit eines Kondensators. Ihr Symbolbuchstabe ist:

$C\$

Ihre Einheit ist das Farad:

$[C]=1\,\mathrm {F} ={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {V} }}$

Die Einheit veranschaulicht die einfachste Berechnung der Kapazität:

$C={\frac {Q}{U}}$

Kapazität einer beliebigen Ladungsverteilung

$C={\frac {Q}{U}}={\frac {\oint _{A}\varepsilon {\vec {E(A)}}\cdot d{\vec {A}}}{\int _{A}^{B}{\vec {E(s)}}\cdot d{\vec {s}}}}$

Kapazität eines Plattenkondensators

$C=\varepsilon {\frac {A}{d}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$\varepsilon$: Permittivität (Dielektrizitätszahl)

$\varepsilon _{0}$: elektrische Feldkonstante $=8{,}85418782\ldots \cdot 10^{-12}\,\mathrm {\frac {\mathrm {A} s}{\mathrm {V} m}}$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }$: relative Permittivität (relative Dielektrizitätszahl)

Kapazität eines Zylinderkondensators

könnte z.B. ein Koax-Kabel sein

$C={\frac {2\pi \varepsilon l}{\ln {\frac {r_{\mathrm {a} }}{r_{\mathrm {i} }}}}}\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$r_{\mathrm {a} }$: Außenradius

$r_{\mathrm {i} }$: Innenradius

$l$: Zylinderlänge

Kapazität einer freistehenden Kugel

$C=4\pi \varepsilon r\quad {\text{mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$

$r$: Kugelradius

Kapazität eines Kugelkondensators

$C={\frac {4\pi \varepsilon }{\left({{\frac {1}{r_{\rm {i}}}}-{\frac {1}{r_{\rm {a}}}}}\right)}}\quad {\rm {mit}}\quad \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\rm {r}}$

$r_{\mathrm {a} }$: äußerer Kugelradius

$r_{\mathrm {i} }$: innerer Kugelradius

Elektrodynamik

Maxwell-Gleichungen

Im SI-System gilt:

Ampèresches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {j}$
Induktionsgesetz Faradaysches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Coulombsches Gesetz	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$
Gaußsches Gesetz des Magnetismus	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Elektrische Flussdichte	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} +\mathbf {P}$
Magnetische Flussdichte	$\mathbf {B} =\mu _{0}\,(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$

Wobei $\mathbf {H}$ die magnetische Feldstärke, $\mathbf {B}$ die magnetische Flussdichte, $\mathbf {E}$ das elektrische Feld, $\mathbf {D}$ die elektrische Flussdichte,$\mathbf {P}$ die Polarisation, $\mathbf {M}$ die Magnetisierung, $\mathbf {j}$ die Stromdichte und $\rho$ die Ladungsdichte ist

Kontinuitätsgleichung

Für den stationären Fall gilt:

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Ohmsches Gesetz

Für isotrope Medien mit der Leitfähigkeit $\sigma$ gilt:

$\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E}$

Potentiale

$\mathbf {A}$ ist das Vektorpotential, mit dem man das $\mathbf {B}$-Feld berechnen kann.

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

$\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'$

Mithilfe des skalaren Potentials $\mathbf {\Phi }$, kann man auch das $\mathbf {E}$-Feld berechnen.

$\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\Phi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'$

Induktion

Lorentz-Kraft

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

unter Vernachlässigung des E-Feldes folgt

$\mathbf {F} =\int d\mathbf {r} \rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\int d\mathbf {r} \mathbf {j} \times \mathbf {B}$

Gegeninduktivität

$L_{jm}={\frac {\mu _{r}\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C}\oint _{D}{\frac {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=L_{mj}$ wobei C und D geschlossene Leiterwege um die Leiterkreise j und m sind

Elektromagnetische Wellen

Um die inhomogene Wellengleichung zu lösen, benutzt man retardierende Potentiale. Man erhält dann folgendes: $\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ',t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'$

$\Phi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'$

Poynting-Vektor

$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

Poynting-Theorem

$-\mathbf {j} \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial w}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S}$

Energiedichte des elektromagnetischen Feldes

$w={\frac {1}{2}}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )$

Eichungen

Lorenz-Eichung

$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=0$

$\Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j}$

$\Box \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

Coulomb-Eichung

$\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

$\Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

$\nabla ^{2}\Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

wobei $\Box$ der d'Alembertoperator ist.

Atom- und Kernphysik

Aufbau von Atomen

Energiebilanz für emittiertes oder absorbiertes Licht	$\Delta E=E_{n}-E_{m}\,$ $\Delta E=h\cdot f$	$E_{n},E_{m}$ = Energieniveaus des Atoms $f$ = Frequenz des Lichtes $h$ = Planck-Konstante $h=6{,}62608\cdot 10^{-34}{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} }}$
Spektralserien des Wasserstoffatoms	${\frac {1}{\lambda }}=R_{H}\cdot \left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$ $f=R_{y}\cdot \left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)\qquad |n<m$	$\lambda \,$ = Wellenlänge $R_{H}$ = Rydberg-Konstante $R_{H}=1{,}09737315\cdot 10^{7}\mathrm {m} ^{-1}$ $R_{y}\,$ = Rydberg-Frequenz $R_{y}=3{,}28984195\cdot 10^{15}\mathrm {Hz}$
Relative Atommasse	$A_{\mathrm {r} }={\frac {m_{\mathrm {A} }}{\mathrm {u} }}$	$m_{\mathrm {A} }$ = Masse des Atoms u = atomare Masseneinheit $1\,\mathrm {u} =1{,}660540\cdot 10^{-27}\,\mathrm {kg}$
Nukleonenzahl (Massenzahl)	$A=Z+N$	$X$ = Symbol des Elements $Z$ = Protonenzahl (Kernladungszahl, Ordnungszahl im Periodensystem) $A$ = Massenzahl $N$ = Neutronenzahl $m_{p}$ = Masse eines Protons $m_{p}=1{,}6726231\cdot 10^{-27}\,\mathrm {kg}$ $m_{n}$ = Masse eines Neutrons $m_{n}=1{,}6749286\cdot 10^{-27}\,\mathrm {kg}$ $c$ = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $c=2{,}99792458\cdot 10^{8}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$
Symbolschreibweise	${}_{Z}^{A}X$
Kernmasse $m_{\mathrm {K} }$ und Massendefekt $\Delta m$	$m_{\mathrm {K} }<Z\cdot m_{p}+N\cdot m_{n}$ $\Delta m=\left(Z\cdot m_{p}+N\cdot m_{n}\right)-m_{\mathrm {K} }$
Kernbindungsenergie	$E_{\mathrm {B} }=\Delta m\cdot c^{2}$

Ionisierende Strahlung

Aktivität einer radioaktiven Substanz	$A={\frac {\Delta N}{\Delta t}};\qquad A=A_{0}\cdot e^{-\lambda \cdot t}$	$\Delta N$ = Anzahl der zerfallenen Atomkerne $\Delta t$ = Zeitspanne $A_{0}$ = Anfangsaktivität $E$ = von einem Körper aufgenommene Energie $m$ = Masse eines Körpers $N_{0}$ = Anzahl der zum Zeitpunkt t=0 vorhandenen, nicht zerfallenen Atomkerne $N$ = Anzahl der nicht zerfallenen Atomkerne $\lambda$ = Zerfallskonstante $t$ = Zeit $T_{1/2}$ = Halbwertszeit $e$ = Eulersche Zahl
Energiedosis	$D={\frac {E}{m}}$
Äquivalentsdosis	$H=D\cdot q$
Zerfallsgesetz	$N=N_{0}\cdot e^{-\lambda \cdot t}$ $N=N_{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{T_{1/2}}}$
Halbwertszeit $T_{1/2}$	$T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}$

Quantenphysik

Quantenphysik

Austrittsarbeit von Elektronen aus Oberflächen	$W_{\mathrm {A} }=h\cdot f_{\mathrm {G} }$	$h$ : Planck-Konstante $f_{\mathrm {G} }$ : Grenzfrequenz $f$ : Frequenz $c$ : Vakuumlichtgeschwindigkeit $\lambda$ : Wellenlänge $m_{e}$  : Masse eines Elektrons $v$ : Geschwindigkeit eines Elektrons $p$ : Impuls $\Delta x$ : Ortsunschärfe $\Delta p$ : Impulsunschärfe $\Delta E$ : Energieunschärfe $\Delta t$ : Zeitunschärfe $\Delta \lambda$ : Wellenlängenzunahme $\lambda _{\mathrm {C} }$ : Compton-Wellenlänge ($2{,}42\cdot 10^{-12}\,\mathrm {m}$) $\vartheta$ : Streuwinkel
Energie eines Lichtquants (Photon)	$E=h\cdot f\qquad E=h\cdot {\frac {c}{\lambda }}$
Einsteinsche Gleichung für den Fotoeffekt	$h\cdot f={\frac {1}{2}}m_{e}\cdot v^{2}+W_{\mathrm {A} }$
De-Broglie-Gleichung für Materiewellen	$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{m\cdot v}}$
Heisenbergsche Unschärferelation	$\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\qquad \hbar ={\frac {h}{2\pi }}$
Energie-Zeit Unschärferelation	$\Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}$
Compton-Effekt	$\Delta \lambda =\lambda _{\mathrm {C} }\left(1-\cos \vartheta \right)$

Kernwaffenexplosion

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieses ist eine Formelsammlung zum Thema Kernwaffenexplosion. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Wikipedia-Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Die Formelsammlung Kernwaffenexplosion ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln zu anderen Fachbereichen zu finden sind.

Modell für Detonationswellen im homogenen Luftraum

DNA-Standardkurve für OP und DP

Der von der früheren US-Behörde Defense Nuclear Agency (DNA) entwickelte Standardkurve für die Druckwelle einer 1-Kilotonnen-Explosion liegt die folgende Beziehung zwischen dem Abstand R vom Explosionszentrum und dem Druckpegel OP zugrunde, wobei von einer Freiluftexplosion in einer homogenen unbegrenzten Atmosphäre unter Meeresniveaubedingungen (P = P₀ = 101325 Pa und T = T₀ = 288,15 K) ausgegangen wird:

${\begin{matrix}{\mathit {OP}}_{\mathrm {DNA} }&=&{\frac {3.04\times 10^{11}}{R^{3}}}+{\frac {1.13\times 10^{9}}{R^{2}}}\\&&\\&&+\quad {\frac {7.9\times 10^{6}}{R{\sqrt {\ln \left({\frac {R}{445.42}}+3\exp \left(-{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {R}{445.42}}}\right)\right)}}}}\end{matrix}}$

Dabei ist R in m einzusetzen (der Übersichtlichkeit wegen wurde auf die Einheiten-Divisoren in der Formel verzichtet), und das Ergebnis ist OP in Pa. Der dynamische Druck ergibt sich aus

${\mathit {DP}}={\frac {n-1}{2}}\,{\mathit {OP}}\,,$

wobei n das Dichteverhältnis vor und hinter der Stoßfront und P der Druck der ungestörten Atmosphäre ist. Für Luft ist

$n={\frac {1+\mu _{\mathrm {s} }\left({\frac {\mathrm {OP} }{P}}+1\right)}{\mu +\left({\frac {\mathrm {OP} }{P}}+1\right)}}\quad {\mbox{mit}}\quad \mu ={\frac {\kappa +1}{\kappa -1}}\quad {\mbox{und}}\quad \mu _{\mathrm {s} }={\frac {\kappa _{\mathrm {s} }+1}{\kappa _{\mathrm {s} }-1}}\,.$

κ ist der Adiabatenexponent, und der Index s deutet an. dass κ infolge der Stoßerhitzung hinter der Stoßfront nicht mehr den klassischen Wert für Luft von 1,402 besitzt, da durch Ionisation mehr Freiheitsgrade hinzukommen. Unterhalb von etwa 1000 kPa ist der Korrekturterm vernachlässigbar; für höhere Drucke Für werden zunächst einige temporäre Variablen benötigt, über die dann die Korrektur für κ resultiert:

$x={\frac {\mathit {OP}}{P}}+1\,;\quad y=10^{-12}\,x^{6}\,;\quad z=\ln x-{\frac {0{,}47y}{100+y}}$

Dann ist

$\kappa _{\mathrm {s} }=1{,}402-{\frac {3{,}4\times 10^{-4}\,z^{4}}{1+2{,}22\times 10^{-5}\,z^{6}}}\,.$

Aus den hier berechneten Größen folgt auch der Normalreflexionsfaktor F_n, der die Druckerhöhung bei senkrechter Reflexion wiedergibt (trivialerweise 2 bei gewöhnlichen Schallwellen):

$F_{\mathrm {n} }=2+{\frac {(\kappa _{\mathrm {s} }+1)(n-1)}{2}}$

Mit diesen Resultaten ergibt sich aus den Rankine-Hugoniot-Gleichungen die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Windgeschwindigkeit der Stoßfront:

$v_{\mathrm {s} }=c_{\mathrm {s} }\cdot {\sqrt {{\frac {(\kappa _{\mathrm {s} }+1){\mathit {OP}}_{\mathrm {DNA} }}{2\kappa _{\mathrm {s} }P}}+1}}\ ;\quad c_{\mathrm {s} }={\mbox{Schallgeschwindigkeit}}$

$w_{\mathrm {s} }=v_{\mathrm {s} }\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

Daraus ergibt sich durch Integration der reziproken Geschwindigkeit auch die Laufzeit der Druckwelle zu einem bestimmten Radius.

Skalierungsfaktoren

Der wichtigste Skalierungsfaktor ist die Sprengkraft- oder Sachs-Skalierung. Die Standardkurven sind für 1 kT definiert; für beliebige Energien W (gleicher mechanischer Anteil vorausgesetzt) ist für beliebige Längen- und Zeitgrößen S die Gleichung

$S(W)=S(1\,\mathrm {kT} )\cdot \left({W \over \mathrm {kT} }\right)^{1/3}$

anzuwenden. Dabei ist W bereits ein auf den typischen mechanischen Anteil von Atomwaffen (etwa 50 bis 60 Prozent der Gesamtenergie) normiert. Für andere als nukleare Explosionen muss um das Verhältnis der mechanischen Anteile ξ korrigiert werden. Nimmt man den Mittelwert 55 % als Referenzwert für Nuklearexplosionen, so gilt für eine Explosion mit Energie E und mechanischem Anteil ξ

$W={\frac {\xi }{0{,}55}}\cdot E\ .$

Für chemische Explosionen kann näherungsweise ξ = 1 gesetzt werden. Für gegebenen Luftdruck P und Temperatur T gehen zudem

$S_{P}={\frac {P}{P_{0}}}\ ;\quad S_{T}={\frac {T}{T_{0}}}\ ;$

$\mathrm {L{\ddot {a}}nge:} \ S_{L}=S_{P}^{-1/3}\ ;\quad {\text{Dauer:}}\ S_{D}={\frac {S_{L}}{\sqrt {S_{T}}}}$

in die korrigierte 1-kT-Druck- und Zeitkurve ein:

${\mathit {OP}}(R,P)=S_{P}\cdot {\mathit {OP}}(R/S_{L},P_{0})\ ;\quad t(R,P,T)=S_{D}\cdot t(R/S_{L},P_{0},T_{0})\ .$

Der Zeitskalierungsfaktor ist für die Laufzeit der Druckwelle von Bedeutung. Über Druck bzw. Temperatur wird auch die weiter unten benötigte Schallgeschwindigkeit skaliert.

Sind Explosionszentrum und Ziel auf unterschiedlichen Höhen, so zeigen Beobachtungswerte und theoretische Rechnungen, dass für den Druck die Skalierungsfaktoren für die Höhe des Zieles statt des Explosionsherdes zu wählen sind. Für die Laufzeit sind die Verhältnisse komplizierter. Zusätzlich ist zu beachten, dass der mechanische Wirkungsgrad bei geringer Dichte kleiner wird. In etwa 30 km Höhe liegt er noch zwischen 30 % und 40 % (Glasstone, Dolan, The Effects of Nuclear Weapons,1977; kurz EoNW77), in größeren Höhen nimmt er dann rapide ab.

Modell für Luftexplosion mit Reflexion

Abb. 2: Abhängigkeit der Isobaren-Radien von der Detonationshöhe

Das DNA-Modell beschreibt auch die Druckwelle bei Luftexplosionen, also unter Berücksichtigung der Reflexion an der Oberfläche. Bei der Berechnung sind zwei Regime zu unterscheiden, nämlich das Regime der regulären Reflexion und das der Mach-Reflexion. Für das erstere benötigt man neben dem oben berechneten Normalreflexionsfaktor R_n noch einige temporäre Variablen und Koeffizienten, um dann den Überdruck für reguläre Reflexion, OP_reg berechnen zu können. Dabei wurde gelegentlich von Druckgrößen nur der Betrag verwendet (z. B. in Exponenten oder bei nicht-ganzzahliger Potenzierung usw.), der Übersichtlichkeit wegen aber auf zusätzliche Symbole verzichtet.

Höhenkoeffizienten

Seien H und GR für eine 1-kT-Explosion gegeben. Dann sind die Raumdiagonale R der Einfallswinkel α der Primärfront sowie einige temporäre Variablen wie folgt definiert:

$R={\sqrt {H^{2}+{\mathit {GR}}^{2}}}\ ;\quad \alpha =\arctan {\frac {H}{\mathit {GR}}}$

$T={\frac {340}{OP_{\mathrm {DNA} }^{0{,}55}}}\ ;\quad U=\left({\frac {7782}{OP_{\mathrm {DNA} }^{0{,}7}}}+0{,}9\right)^{-1}$

${\tilde {U}}=\left({\frac {7473}{OP_{\mathrm {DNA} }^{0{,}5}}}+6{,}6\right)^{-1}\ ;\quad V=\left({\frac {647}{OP_{\mathrm {DNA} }^{0{,}8}}}+{\tilde {U}}\right)^{-1}$

Grenzwinkel α_M zwischen regulärer und Mach-Region und (Winkel-)Breite β der Zone, wo die Wellen verschmelzen, Hilfsvariablen und Schaltparameter σ:

$\alpha _{\mathrm {M} }=\arctan {\frac {1}{T+U}}\ ;\quad \beta =\arctan {\frac {1}{T+V}}\ ;\quad s={\frac {\alpha -\alpha _{\mathrm {M} }}{\beta }}$

$s_{0}=\max(\min(s,1),-1)\ ;\quad \sigma =0{,}5\left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}\,s_{0}\right)+1\right)$

Reguläre Reflexion

Ausgangspunkt ist die DNA-Standardfunktion, die auf die Raumentfernung R angewendet wird

$f={\frac {OP_{\mathrm {DNA} }(R)}{75842\,\mathrm {Pa} }}\ ;\quad g={\frac {f^{6}\left(1{,}2+0{,}07\,f^{0{,}5}\right)}{f^{6}+1}}\ ,$

und daraus

$OP_{\mathrm {reg} }=OP_{\mathrm {DNA} }\cdot \left((F_{\mathrm {n} }-2)\sin ^{g}\alpha +2\right)\ .$

Ein Speziallfall ist die Situation im Hypozentrum:

${\mathit {OP}}_{\mathrm {GZ} }=F_{\mathrm {n} }\cdot {\mathit {OP}}_{\mathrm {DNA} }\ ;\quad H>0$

Mach-Reflexion

Zunächst wieder ein paar Zwischenvariablen:

$A=\min(3{,}7-0{,}94\,\ln({\mathit {GR}}),\ 0{,}7)\ ;\quad B=0{,}77\,\ln({\mathit {GR}})-{\frac {18}{\mathit {GR}}}-3{,}8$

$C=\max(A,B)$

Nun setze 2^(-1/3)*GR anstelle von R in die DNA-Formel OP(R) ein und setze das daraus erhaltene Ergebnis OP₁ hier ein:

${\mathit {OP}}_{\mathrm {mach} }={\frac {{\mathit {OP}}_{1}}{1-C\sin \alpha }}$

Der Abstand GR_M, an dem die Verschmelzung von direkter und reflektierter Welle einsetzt, lässt sich auch annähern durch

$GR_{\mathrm {M} }={\frac {H^{2{,}5}}{5822}}+2{,}09\,H^{0{,}75}\ .$

Gesamtamplitude

Der Gesamt-Überdruck OP_air ist dann

$OP_{\mathrm {air} }=\sigma OP_{\mathrm {reg} }+(1-\sigma )OP_{\mathrm {mach} }\ .$

Der dynamische Druck folgt dann mit dem Dichteverhältnis in der resultierenden Druckfront (anstelle der Standarddruckwelle) n_a=n(OP_air):

$DP_{\mathrm {air} }=OP_{\mathrm {air} }(n_{a}-1)\left(1-\sigma \sin ^{2}\alpha \right)/2$

Die Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle kann nun mit OP_air statt OP_DNA geschehen; die Windgeschwindigkeit w_s berechnet man sinnvollerweise aus DP_air, weil dort die Restriktion auf die Horizontale bereits berücksichtigt worden ist:

$w_{s}={\sqrt {2{\frac {{\mathit {DP}}_{\mathrm {air} }}{\rho _{2}}}}}\ ,$

wobei ρ₂ = n ρ₀ die Dichte hinter der Stoßfront ist.

Laufzeit der Druckwelle

Um die Laufzeit der Druckwelle zu errechnen, ist die reziproke Geschwindigkeit der Stoßfront über die (auf die tatsächliche Sprengkraft skalierte) Entfernung zu integrieren. Bei Luftexplosionen sind hier zwei Wegabschnitte zu unterscheiden:

1. Innerhalb der Mach-Zone GR_M ist die Laufzeit mit der einer Freiluftexplosion (skalierte DNA-Standardexplosion) identisch. Für R ist dabei die Raumdiagonale vom Explosionszentrum zum Messpunkt einzusetzen. Die Refraktion der Welle in der inhomogenen Atmosphäre kann normalerweise vernachlässigt und von einer geradlinigen Ausbreitung ausgegangen werden.
2. Außerhalb der Mach-Zone bewegt sich die Stoßfront horizontal, daher ist erst die Strecke vom Zentrum zum Rand des Mach-Radius als Freiluftexplosion und von dort zum Messpunkt als Bodenexplosion mit der reflexionsverstärkten Druckwelle zu betrachten, die sich schneller fortpflanzt als die unverstärkte Welle.

Das DNA-Modell verwendet einen Näherungsfit, der ohne rechenaufwendige Integration auskommt. Zunächst wird eine Laufzeitfunktion für eine 1-kT-Freiluftexplosion definiert:

$t_{\mathrm {free} }(R)={\frac {R^{2}(R+6{,}7)}{340{,}5\,R^{2}+73200\,R+7{,}12\cdot 10^{6}}}$

Für Freiluftexplosionen müssen jetzt nur R und t_free um die Kubikwurzel von W/kT skaliert werden. Für Luftexplosionen wird ein weiterer Korrekturfaktor benötigt:

$\nu =\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{wenn}}\ GR\leq GR_{\mathrm {M} }\\{\sqrt[{3}]{2}}+\left(1-{\sqrt[{3}]{2}}\right){\frac {GR_{\mathrm {M} }}{GR}}&{\mbox{sonst}}\end{matrix}}\right.$

Nun wird in die Laufzeitformel einfach R_ν=R/ν statt R eingesetzt und das Ergebnis mit W^(1/3) skaliert:

$t_{\mathrm {air} }({\mathit {H}},{\mathit {GR}})=t_{\mathrm {free} }(R_{\nu })\ ,\quad t_{\mathrm {air} ,W}({\mathit {GR}})=t_{\mathrm {air} }({\mathit {GR}})\cdot \left({\frac {W}{\mathrm {kT} }}\right)^{1/3}$

Für von den Standardbedingungen stark abweichende Bedingungen können die obigen Skalierungsfaktoren auch für Luftexplosionen angewendet werden. Für große Detonationshöhen muss die numerische Integration mit anhand lokaler Längen- und Zeitskalierungen korrigierter Ausbreitungsgeschwindigkeit verwendet werden.

Dauer der positiven Druckphase

Auch diese Formeln sind durchweg für 1 kT Sprengkraft gegeben und können wie die übrigen durch das Kubikwurzelgesetz skaliert werden. Wieder sind zunächst einige Hilfsgrößen zu definieren, zunächst eine Zeitskalierung:

$t_{0}={\frac {\ln(1000\,t_{\mathrm {air} })}{3{,}77}}$

Dann ist die Dauer der 1-kT-Überdruckphase am Boden

$D_{p,\mathrm {surf} }=0{,}001\cdot \left(155\exp(-20{,}8\,t_{\mathrm {air} })+\exp \left(-t_{0}^{2}+4{,}86\,t_{0}+0{,}25\right)\right)$,

aus der ein „Rohwert“ für die Überdruckdauer bei Luftexplosionen

$D_{p,\mathrm {unmod} }=D_{p,\mathrm {surf} }\,\left(1-F_{A}\,F_{B}\right)$

gewonnen wird, wobei

$F_{A}=1-{\frac {1}{1+4{,}5\cdot 10^{-8}\,H^{7}}}\ ,\quad F_{B}=0{,}04+{\frac {0{,}61}{1+{\frac {t_{\mathrm {air} }^{1{,}5}}{0{,}027}}}}$

Für beliebige Explosionshöhen für 1 kT Energie ist dann

$D_{p}=D_{p,\mathrm {unmod} }\left(1{,}16\,\exp \left(-\left[{\frac {{\frac {H}{0{,}3048}}-156}{1062}}\right]\right)\right)$

Obige Formeln gelten für den Überdruck. Die Dauer der positiven dynamischen Druckphase ist infolge der Massenträgheit der Luft in der Regel etwas länger als die der Überdruckphase

Dauer des dynamischen Druckstoßes

Für die folgende Berechnung der dynamischen Druckdauer sollte der GR den Wert

$\max(GR_{M},80\,\mathrm {m} )$

nicht unterschreiten.
Substitution:

$H_{\mathrm {ft} }\equiv {\frac {H_{\mathrm {s} }}{0{,}3048}}$

und

$R_{\mathrm {ft} }\equiv {\frac {GR_{\mathrm {s} }}{0{,}3048}}$,

sowie

${\begin{matrix}H_{x}&=&\left|H_{\mathrm {ft} }-200\right|+200\\R_{x}&=&R_{\mathrm {ft} }-1000\\D_{q0}&=&0{,}3+0{,}42\exp \left(-{\frac {H_{x}}{131}}\right)\end{matrix}}$

und

$D_{qx}={\begin{cases}D_{q0}+4{,}4\cdot 10^{-5}R_{x}&\quad {\text{falls}}\,R_{x}>0\\D_{q0}+R_{x}\cdot F_{C}&\quad {\text{sonst}}\end{cases}}$

mit

$F_{C}={\frac {1}{2361}}-{\frac {(H_{x}-533)^{2}}{7{,}88\cdot 10^{7}}}$.

Die auf 1 kT skalierte dynamische positive Phasendauer ist dann

$D_{q}={\begin{cases}D_{qx}&\quad {\text{falls}}\,H_{\mathrm {ft} }\geq 200\\D_{qx}\left(1+0{,}2\sin {\frac {\pi \,H_{\mathrm {ft} }}{200}}\right)&\quad {\text{sonst}}\end{cases}}$

Nützliche Vereinfachungen

Im Falle einer Explosion direkt am Boden vereinfacht sich die Beziehung für die Reflexion dergestalt, dass die halbkugelförmige Druckwelle sich wie eine Freiluftexplosion doppelter Sprengkraft verhält. In diesem Fall ist also

${\mathit {OP}}(r)={\mathit {OP}}_{\mathrm {DNA} }(r/{\sqrt[{3}]{2}})\ .$

Die Entfernung von der Bodenexplosion, in der ein bestimmter Druck OP angenommen wird, kann alternativ zum numerischen Lösen näherungsweise auch durch folgenden Fit bestimmt werden:

${{\mathit {GR}}_{{\mathit {OP}},H=0} \over \mathrm {m} }\approx \left(\left(2{,}738\cdot 10^{6}\,{{\mathit {OP}} \over \mathrm {Pa} }^{-0{,}879}\right)^{1{,}37}+\left(1{,}012\cdot 10^{4}\,{{\mathit {OP}} \over \mathrm {Pa} }^{-0{,}342}\right)^{1{,}37}\right)^{1/1{,}37}\,.$

Diese Näherung für eine 1-kT-Explosion ist – in Bezug auf das Originalmodell – zwischen 0,3 und 10000 PSI (2,1 und 69000 kPa) auf ±1 % genau. Allerdings gilt diese Rechnung nur für einen Reflexionsgrad von 100 %. Kernwaffentests in Nevada und im Pazifik zeigten einen Reflexionsgrad von nur etwa 70 % für Wüstensand oder weichen feuchten Untergrund. Statt des doppelten ist hier also der 1,7-fache Wert der Freiluftsprengkraft einzusetzen. Der Radius verringert sich gemäß der Kubikwurzelregel. Für Luftdetonationen über Stadtgebieten, wo die Druckwelle Energie durch Zerstörungsarbeit verliert, gilt vermutlich etwas Ähnliches. Jedoch sind genaue Daten hierzu bisher nicht veröffentlicht worden.

Die Explosionshöhe, bei der der Grundradius GR_OP für einen bestimmten Druck OP maximal wird, ist näherungsweise gegeben durch die Beziehung:

${H_{\mathit {OP}} \over \mathrm {m} }\approx 16100\,\left({{\mathit {OP}} \over \mathrm {Pa} }\right)^{-0{,}38}=560\,\left({{\mathit {OP}} \over \mathrm {PSI} }\right)^{-0{,}38}\,.$

Der durch diese Wahl von H_OP maximierte Radius GR_OP ist dann ungefähr

${{\mathit {GR}}_{\mathit {OP}} \over \mathrm {m} }\approx \left(\left(9{,}54\cdot 10^{-3}\,{H_{\mathit {OP}} \over \mathrm {m} }^{1{,}95}\right)^{4}+\left(3{,}01\,{H_{\mathit {OP}} \over \mathrm {m} }^{0{,}75}\right)^{4}\right)^{1/4}\,.$

Diese Formeln sind in Bezug auf das Originalmodell auf ±20 % für H und ±10 % für GR im Bereich von 0,1 bis 10000 PSI (0,69 bis 69000 kPa) jedoch unter Vernachlässigung der atmosphärischen Druckvariation und für ebenes Gelände). Die Näherung ist allerdings ein Kompromiss zwischen dem BLAST-Modell und Daten aus EoNW77. Die Abweichungen vom BLAST-Modell resultieren überwiegend aus den Abweichungen beider Quelldaten.

Grenzen des Modells

Grenzen für Eingabewerte

Das DNA-Modell ist in weiten Bereichen von Radius und Druck gültig. Räumliche Modellgrenzen skalieren wie alle übrigen Längenskalen mit der Kubikwurzel der Sprengkraft.

Eingabewerte	Minimum	Maximum
Sprengkraft W / kT	0,1	25.000
Höhe in Standardatmosphäre / m	0	25.000
Höhe über Grund / m	0	4000 SL W1/3
Ohne Reflexion: Radius R / m	16 SL W1/3	4000 SL W1/3
Mit Reflexion: Grundradius GR / m	LM	4000 SL W1/3
H / m für dynamische Druckdauer	0	750 SL W1/3
GR / m für dynamische Druckdauer	LQ	4000 SL W1/3

Dabei ist LM = 20 S_L W^1/3, falls H < 25 S_L W^1/3 und 0 sonst, sowie LQ = max(GR_M,80 m). Die Modellgrenzen für die statische Überdruckphasendauer sind die gleichen wie für den statischen Überdruck selbst.

Diese Grenzen sind recht konservativ gewählt; plausible Ergebnisse liefert das Modell, mit Ausnahme der dynamischen Phasendauer, noch in mehr als dem Doppelten der oberen Radiusgrenze, wenn nahezu ideale Bedingungen vorausgesetzt werden. Die W-Skalierung beispielsweise ist theoretisch unbegrenzt und exakt gültig; die Grenzen ergeben sich vor allem aus dem Druckgradienten der Atmosphäre und den spezifischen Eigenschaften von Atomwaffen, auf die sich das Modell ursprünglich bezieht.

Genauigkeit

Die Genauigkeit des Modells hängt stark von der Genauigkeit der Messwerte zusammen, für die keine Angaben verfügbar sind. Abweichungen in Folge von nicht vorhersagbaren Umwelteinflüssen (Geländeformation, Winde, lokale Temperaturschwankungen usw.) sowie Unsicherheit bei der gemessenen Sprengkraft führen zu teilweise erheblichen Fehlern. Für große Distanzen können Reflexion und Refraktion zu lokaler Bündelung von Wellenfronten und damit zu erheblich größeren Druckspitzen führen. Daher wird zudem der zumeist erheblich geringere Fehler zu komplexen numerischen Modellen oder den theoretischen Werten (bei Näherungsformeln) mit angegeben.

Ausgabegröße	Fehler bzgl. Theorie	Fehler bzgl. Beobachtung
Skalierungsfaktoren	(exakt)	unter 1 %
Überdruck Freiluft	(gering)	±15 %–±30 %
Überdruck mit Reflexion	±4 % (max. 11 %)	±30 %
Laufzeit	ca. 1 %	±15 %

Beispiel

Die wahrscheinliche Explosion eines Meteoriden beim Tunguska-Ereignis lässt sich näherungsweise durch eine Explosion von etwa 15 MT TNT-Äquivalent in ca. 8 km Höhe darstellen. Für solch eine Explosion liefert obiges Modell einen Überdruck von 101 kPa (knapp 1 atm) im Hypozentrum, 35 kPa im Umkreis von 16 km (hier treten schwerste Verwüstungen auf, was sich mit den Beobachtungen deckt). Orkanartige Winde über 11 Bft treten im Umkreis von 30 km auf und lassen noch einzelne Bäume umstürzen. In 65 km Grundradius beträgt der Druck noch mehr als 4 kPa, wodurch Fenster und Türen eingedruckt und Dächer beschädigt werden. Der Windstoß im Freien beträgt in diesem Abstand nicht mehr als 10 m/s (5 Bft), jedoch kann an Öffnungen (Türen, Fenster) der Überdruck zu kurzzeitigen Strömungen von bis zu 69 m/s führen und Personen umwerfen. Dies deckt sich mit beobachteten Schäden und Zeugenaussagen in der Stadt Wanawara, die 65 km vom vermuteten Hypozentrum entfernt liegt. Dort traf die Druckwelle dem DNA-Modell zufolge nach knapp drei Minuten ein (175 sek Fit, 176 sek integriert; Standardatmosphäre 1976).

Feuerballentwicklung bei Kernexplosionen

Ausdehnung

Feuerballtemperatur (oben) und -durchmesser (unten) einer 20-kT-Luftexplosion als Funktion der Zeit. Die orange Teilkurve zeigt die durch Absorption scheinbar reduzierte Effektivtemperatur im Frühstadium.

Eng mit der Druckwellenausbreitung hängt auch die Ausbildung des Feuerballs einer Kernwaffenexplosion zusammen. Im Wesentlichen gibt es drei Hauptphasen, die im genannten Artikel beschrieben werden:

1. Ausdehnung durch Strahlungstransport (<10^-4 Sekunden bei 20 Kilotonnen),
2. Ausdehnung als glühende Stoßfront (<10^-2 Sekunden),
3. Nachglühen der heißen Gase (<10 Sekunden).

In dichten Atmosphärenschichten (unter 30 Kilometer Höhe) ist die Dauer und die räumliche Ausdehnung der ersten Phase gegenüber den nachfolgenden Phasen vernachlässigbar. Die folgenden können daher annähernd unabhängig von der ersten beschrieben werden. Die folgenden Formeln sind gültig für Höhen unter 30 km, wo die mittlere freie Weglänge für die primären Röntgenstrahlen klein gegenüber dem skalierten Feuerballdurchmesser sind und ein Feuerball somit auf ähnliche Weise entstehen kann, wie auf Meeresniveau. Generell sind diese Formeln nur Näherungen, die mit entsprechender Vorsicht zu verwenden sind.

Das Wachstum des Feuerballs in der 2. Phase skaliert mit der Explosionsenergie in der gleichen Weise wie die Druckwelle selbst (Bezeichnungen siehe oben):

$S_{L}=S_{P}^{-1/3}\ ;\qquad S_{D}={\frac {S_{L}}{\sqrt {S_{T}}}}$

Um die mit Umgebungsbedingungen und Sprengkraft sowie Sprengkopftyp (geringfügig) unterschiedlichen Energieanteile von Druckwelle ξ_b und Wärme ξ_h (letztere ist für die Ausdehnung des späten Feuerballs maßgeblich) zu berücksichtigen, werden mechanische („blast“) und thermische („heat“) Sprengkraft, W_b und W_h unterschieden:

$W_{\mathrm {b} }=W{\frac {\xi _{\mathrm {b} }}{0{,}50}}\ ,\quad W_{\mathrm {h} }=W{\frac {\xi _{\mathrm {h} }}{0{,}35}}$

Bei einer Explosion im Kilotonnenbereich sind die Anteile etwa ξ_h = 50 % und ξ_h = 35 % und somit W_b = W_h = W. Aus in der Literatur vorhandenen Diagrammen ist folgende Näherungsformel für eine 20-kT-Luftexplosion gewonnen worden, die die Grundlage für die obige Abbildung ist (man beachte, dass dort der Durchmesser D = 2R angegeben ist):

$R(t)=\left[\left(R_{-4}t^{C}\right)^{-3}+R_{\infty }^{-3}\right]^{-1/3}\ ;\quad R_{-4}=13\,\mathrm {m} \ ;\ R_{\infty }=236\,\mathrm {m} \ ;\ C=0{,}406\ .$

t ist dabei der Betrag der Zeit nach der Zündung in Sekunden und wird als dimensionslose Zahl verwendet. Der späte Feuerballdurchmesser (3. Phase) R_∞ skaliert mit W^0,39 statt mit der Kubikwurzel, so dass sich für die W-Skalierung ergibt:

$R(t,W)=\left[\left(S_{0}W_{\mathrm {b} }^{(1-C)/3}R_{0}t^{C}\right)^{-3}+\left(S_{\infty }W_{\mathrm {h} }^{0{,}39}R_{\infty }\right)^{-3}\right]^{-1/3}\ ,$

$R_{0}=303\,\mathrm {m} \ ,\quad R_{\infty }=73\,\mathrm {m} \ .$

Dabei W wieder in Einheiten von kT TNT-Äquivalent, ferner ist R₀ ein auf 1 Sekunde nach dem t^C-Gesetz extrapolierte (imaginärer, rein rechnerischer) Radius, R_∞, sowie S₀ und S_∞ Skalierungsfaktoren für Umgebungsdruck und -temperatur (auf oder nahe Meeresniveau können sie auf 1 gesetzt werden). S₀ ist einfach zu berechnen, da nur die Längen- und Zeit-Skalierungsfaktoren für die Druckwelle (auch für das Zeitargument t) eingehen:

$S_{0}=S_{P}^{\frac {C-1}{3}}S_{T}^{C/2}$

S_∞ ist weniger offensichtlich, da auch die optische Dicke τ eine wichtige Rolle spielt. Eine erste Näherung berücksichtigt nur die Zunahme des Radius mit abnehmendem Druck:

$S_{\infty }\approx S_{P}^{-1/3}$

Die effektive optische Dicke, die für den gegenüber 1/3 etwas größeren Exponenten von W verantwortlich ist, nimmt jedoch mit abnehmendem Druck (geringere Luftdichte) sowie der damit zunehmenden Ausdehnungszeit (Feuerball hat mehr Zeit zum Abstrahlen) ab. Mit der Beziehung

$R(W_{\mathrm {h} })=R(1kT)\tau ^{0{,}17}$,

der relativen Dichte S_ρ=ρ/ρ₀ und

$\tau \approx W_{\mathrm {h} }^{1/3}S_{\rho }^{2/3}\cdot S_{D}^{-1}=W_{\mathrm {h} }^{1/3}\left({\frac {S_{P}}{S_{T}}}\right)^{2/3}\cdot S_{P}^{1/3}S_{T}^{1/2}=W_{\mathrm {h} }^{1/3}S_{P}\cdot S_{K}^{-1/6}$

ergibt sich

$S_{\infty }\approx W_{\mathrm {h} }^{0{,}39}S_{P}^{-0{,}16333\dots }S_{T}^{-0{,}028333\dots }\ .$

Die Temperatur hat demnach nur geringen Einfluss auf den Endradius. Eine vernünftige Näherung ist somit

$R(t,W)=\left[\left(\left[{\frac {W_{\mathrm {b} }}{S_{P}}}\right]^{0{,}198}S_{T}^{0{,}203}R_{0}t^{0{,}406}\right)^{-3}+\left(W_{\mathrm {h} }^{0{,}39}S_{P}^{-0{,}2}R_{\infty }\right)^{-3}\right]^{-1/3}\ .$

Im Fall von Bodenexplosionen ist nur W_b aufgrund von Reflexion zu verdoppeln; wegen der Absorption von ungefähr der Hälfte der Wärme am Boden kann für W_h am Boden der gleiche Wert wie für Luftexplosionen eingesetzt werden.

Helligkeit

Für die theoretische Effektivtemperatur (d. h. die einem Planck-Strahler gleicher Strahlkraft entsprechende Temperatur) T_thedes Feuerballs einer 20-kT-Explosion wurde aus Abb. 2.123 aus EoNW77 eine zusammengesetzte Näherungsfunktion gewonnen:

$\log _{10}(T_{\mathrm {the} })={\begin{cases}g_{1}(\tau )&{\mbox{wenn }}\tau \leq -2{,}507\\g_{2}(\tau )&{\mbox{wenn }}\tau \leq -0{,}686\\g_{3}(\tau )&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

wobei τ = log₁₀ t und

${\begin{matrix}g1(\tau )&=&-1{,}103046\,\tau +1{,}032988\\g2(\tau )&=&p_{6}\,\tau ^{6}+p_{5}\,\tau ^{5}+p_{4}\,\tau ^{4}+p_{3}\,\tau ^{3}+p_{2}\,\tau ^{2}+p_{1}\,\tau +p_{0}\\g3(\tau )&=&-0{,}547586\,\tau +3{,}505928\end{matrix}}$

Die gemessene Effektivtemperatur T_obs in der Frühphase ist deutlich geringer, was auf Absorption durch ionisierte Luftgase zurückgeführt werden kann. In diesem Fall wird

$\log _{10}(T_{\mathrm {obs} })={\begin{cases}h(\tau )&{\mbox{wenn }}\tau \leq -2{,}22638\\g_{2}(\tau )&{\mbox{wenn }}\tau \leq -0{,}686\\g_{3}(\tau )&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

mit

$h(\tau )=q_{5}\,\tau ^{5}+q_{4}\,\tau ^{4}+q_{3}\,\tau ^{3}+q_{2}\,\tau ^{2}+q_{1}\,\tau +q_{0}$

Die Koeffizienten sind

$p_{0}=2,8526650801\quad q_{0}=69,18513566$
$p_{1}=-1,0863702704\quad q_{1}=115,00394909$
$p_{2}=4,7729619842\quad q_{2}=79,77893973$
$p_{3}=10,026967289\quad q_{3}=27,50798341$
$p_{4}=7,1862268373\quad q_{4}=4,74096116$
$p_{5}=2,2724484357\quad q_{5}=0,32749001$
$p_{6}=0,27143255706\$

Die Leuchtkraft ergibt sich dann aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz:

$4\pi R^{2}\sigma T_{\mathrm {eff} }^{4}\,$,

wobei σ = 5.6704·10^-8 W m^-2 K^-4 die Stefan-Boltzmann-Konstante ist.

Nach Beobachtungen wird etwa 1 % der thermischen Energie im ersten „Peak“ freigesetzt. Dieses entspricht jedoch einer Temperaturfunktion, die zwischen beiden obigen Funktionen liegt. Ein sinnvoller Kompromiss ist offenbar

$\log _{10}(T_{\mathrm {eff} })=0{,}4\cdot \log _{10}(T_{\mathrm {obs} })+0{,}6\cdot \log _{10}(T_{\mathrm {the} })\,$.

Ferner deuten andere Daten auf einen geringfügig (ca. 20 %) langsameren Verlauf der Explosion im zweiten Peak hin, was durch die Korrektur

$T_{\mathrm {eff} }'=0.77\cdot 10^{f_{\mathrm {korr} }}\cdot T_{\mathrm {eff} }\ ;$

$f_{\mathrm {korr} }={\begin{cases}0.0821379\cdot (\tau +0.75)&{\mbox{wenn }}\tau >-0{,}75\\0&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

unter Erhaltung der abgestrahlten Energie erreicht wird. Ursache für diese Diskrepanz sind vermutlich Ungenauigkeiten in den publizierten Daten. Für die Abbildung wurde die unkorrigierte (und damit der Originalabbildung am ehesten entsprechende) Funktion verwendet.

Die zeitliche Entwicklung der Helligkeit zu Beginn des zweiten thermischen Impulses skaliert anders als die räumliche Ausdehnung. Nach EoNW77 ist die zeitliche Skalierung gegeben durch

$S_{D,\mathrm {lum} }\approx W^{0{,}44}\cdot S_{\rho }^{0{,}36}\ .$

Die Leuchtkraft (Strahlleistung) L skaliert mit

$S_{D,\mathrm {lum} }\approx W^{0{,}59}\cdot S_{\rho }^{-0{,}45}\ .$

Der Feuerball wird also heller mit zunehmender Höhe (also abnehmender Luftdichte), leuchtet dafür aber kürzer.

Feuerball-Skalierungsregeln

Aus den Skalierungsregeln der Druckwelle für Explosionsenergie und Umgebungsdruck sowie denen aus EoNW77 für die Zeitentwicklung der Leuchtkraft lässt sich ein Ähnlichkeitsparameter f ableiten, indem beide Skalierungsregeln gleichgesetzt werden:

$W^{0{,}44}\cdot S_{P}^{0{,}36}\cdot S_{T}^{-0{,}36}=W^{1/3}\cdot S_{P}^{1/3}$

$\Rightarrow f=W\cdot S_{P}^{13/2}\cdot S_{T}^{-27/8}=W\cdot S_{P}^{6{,}5}\cdot S_{T}^{-3{,}375}$

Für den ungefähren Bereich 1 ≤ f ≤ 20000 gilt dann für Zeit- und Längenskalierung

$S_{D}={W \over S_{P}}^{1/3}\cdot f^{8/75}\ ;\quad S_{L}={W \over S_{P}}^{1/3}\cdot f^{17/300}\ .$

Für sehr kleine f<1 nimmt die thermische Emissionszeit weiter ab, während der Enddurchmesser zunehmend von der Druckwelle bestimmt wird und daher mit (Y/S_P)^1/3 oder geringfügig flacher skaliert (siehe Unterabschnitt zum Feuerballwachstum für eine Kompromisslösung). Bei sehr großen f>20000 geht die optische Dicke der die Feuerblase verhüllenden Stoßfront gegen unendlich und verschwindet erst unterhalb einer bestimmten Temperatur, dann jedoch schlagartig. Größere Feuerballdurchmesser ändern daran nichts mehr, so dass auch hier eine (Y/S_P)^1/3-Skalierung, jedoch für Radius und Leuchtdauer zu erwarten ist. Für diese Bereiche liegen jedoch keine Messwerte vor, so dass dies nur grobe Schätzungen sind. Ferner ist die f-Charakterisierung nur gültig, solange die mittlere freie Weglänge der direkten Röntgenstrahlung aus dem Explosionszentrum klein gegenüber dem Feuerballdurchmesser ist (das ist oberhalb von etwa 30 km nicht mehr gegeben), sowie der Feuerballradius kleiner als die Skalenhöhe der Atmosphäre ist. Bei Umrechnungen auf die Atmosphäre eines anderen Planeten (z. B. zur Modellierung des Shoemaker-Levy 9-Einschlags auf Jupiter) ist zudem deren unterschiedliche Zusammensetzung zu berücksichtigen.

Feuerbälle mit f=1 können mit der abgebildeten Zeit-Temperatur-Kurve berechnet werden, wobei die Zeit und der Durchmesser mit (Y/S_P)^1/3 und die Temperatur mit S_P^1/4 skaliert wird. Letzteres bedeutet anschaulich: Bei 1/8 des Meerenhöhendrucks dehnt sich der skalengleiche Feuerball doppelt so weit aus wie in Meereshöhe bei simpler Kubikwurzelskalierung bei gleicher Energie, und er braucht dafür doppelt so lange. Die Energie wird daher über die vierfache Fläche halb so schnell freigesetzt, also mit 1/8 der Intensität. Die Intensität skaliert bei konstantem f also linear mit dem Druck. Aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz folgt dann die Skalierung der Temperatur.

Größe und Form der Pilzwolke

Die Entwicklung der Pilzwolke hängt stark von den Wetterbedingungen ab. Dennoch ist es möglich, für durchschnittliche Bedingungen und annähernd Windstille eine Näherung zu beschreiben. Für kleine W_h (bis ca. 10 kT) gilt für Endhöhe H und -breite B der Pilzwolke

$H\approx 3000\,\mathrm {m} \cdot W_{\mathrm {h} }^{1/3}\ ;\quad B\approx 1200\,\mathrm {m} \cdot W_{\mathrm {h} }^{1/3}\ .$

Für größere Energien wird die Form der Wolke stark von der atmosphärischen Schichtung (v.a. der Tropopause) beeinflusst. Der Aufstieg wird gehemmt, während die Wolke sich stärker in die Breite ausdehnt. Die folgende Formel ist eine Anpassung an die Abbildung 2.16 aus EoNW77.

$H(W)=3000\,\mathrm {m} \cdot 10^{0{,}006941{\mathit {LW}}^{4}-0{,}06216{\mathit {LW}}^{3}+0{,}1526{\mathit {LW}}^{2}+0{,}1878{\mathit {LW}}}$,

$R(W)=1200\,\mathrm {m} \cdot 10^{0{,}0137{\mathit {LW}}^{3}-0{,}0358{\mathit {LW}}^{2}+0{,}37{\mathit {LW}}}$,

wobei LW = log₁₀(W/kT). Der stetige Übergang beider Näherungen wird durch eine Interpolation unterhalb von etwa LW = 1.5 bzw. W_h = 30 kT ermöglicht.

Die Zeit bis zum Erreichen der Endhöhe kann für W_h < 1 MT grob abgeschätzt werden durch die Beziehung

$t_{\mathrm {end} }\approx 60\,\mathrm {s} \cdot W^{0.25}\ ,$

die Steigrate durch

$v_{\mathrm {rise} }\approx 75\,\mathrm {m\,s^{-1}} \cdot W^{0.06}\ .$

(Quelle: Daten aus EoNW64, PDF bei Trinity Atomic Web Site als Grundlage für Potenzgesetz-Abschätzung.)

Siehe auch

• Detonationswelle
• Machwelle
• Kernwaffenexplosion
• Kernwaffentechnik

Thermodynamik 2

Definitionsgleichungen

$U=TS-PV\,$

$H=U+PV\,$

$G=H-TS\,$

$F=U-TS\,$

Fundamentalgleichungen

$dU=TdS-PdV+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}dn_{i}$

$dH=TdS+VdP+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}dn_{i}$

$dG=-SdT+VdP+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}dn_{i}$

$dF=-SdT-PdV+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}dn_{i}$

Kalorische Zustandsgröße

$C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}$

$C_{P}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{P}$

Maxwell-Beziehungen

$-\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}$

$\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{P}=\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}$

$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}=-\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}$

$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}$

Gibbs-Duhem-Gleichungen

Freie Enthalpie:

$0=SdT-VdP+\sum _{i=1}^{k}n_{i}d\mu _{i}$

Gleichgewicht und Stabilität

S= maximum G= minimum

Gibbs-Phasenregel

${\text{Freiheitsgrade}}={\text{Komponenten}}+2-{\text{Phasen}}\,$

Guggenheim-Quadrat

Clausius-Clapeyron

${\frac {dP^{LV}}{dT}}={\frac {\Delta S^{LV}}{\Delta V^{LV}}}={\frac {\Delta H^{LV}}{T\Delta V^{LV}}}$

August-Gleichung

$\ln P^{LV}=A-{\frac {B}{T}}$

Antoine-Gleichung

$\ln P^{LV}=A-{\frac {B}{T+C}}$

Gibbs-Helmholtz-Gleichung

$\left({\frac {\partial {\frac {G}{T}}}{\partial T}}\right)=-{\frac {H}{T^{2}}}$

Fugazitätskoeffizient

Definition:

$\varphi _{0,i}={\frac {f_{0,i}(T,P)}{P}}$ mit $\lim _{P\to \infty }f_{0,i}(T,P)=P$ und $\lim _{P\to \infty }\varphi _{0,i}(T,P)=1$

Reine Komponenten:

$\ln \varphi _{0,i}(T,P)=\int _{0}^{P}{\frac {z-1}{P}}dP$

$\ln \varphi _{0,i}(T,P)=z-1-\ln z+\int _{V}^{\infty }{\frac {z-1}{V}}dV$

Mischungen:

$\ln \varphi _{i}(T,P)=\int _{0}^{P}\left({\frac {v_{i}}{RT}}-{\frac {1}{P}}\right)dP$

$\ln \varphi _{i}(T,P)=\int _{V}^{\infty }\left(-{\frac {1}{RT}}\left({\frac {\partial P}{\partial n_{i}}}\right)_{T,V,{n\neq j}}+{\frac {1}{V}}\right)dV-\ln z$

Virialgleichung

Leidenform:

$z={\frac {Pv}{RT}}=1+B(T)\rho +C(T)\rho ^{2}+...=1+{\frac {B(T)}{v}}+{\frac {C(T)}{v^{2}}}+...$

Berlinform:

$z={\frac {Pv}{RT}}=1+B'(T)P+C'(T)P^{2}+...$

Umrechnungsformel:

$B'\approx {\frac {B}{RT}}$

$C'\approx {\frac {C-B^{2}}{{(R_{0}T)}^{2}}}$

Boyle-Temperatur

Bei Boyle-Temperatur ist das PVT-Verhalten ideal.

$B(T^{B})=0\,$

Van der Waals

Allgemein:

$\left(P+{\frac {a}{v^{2}}}\right)\left(v-b\right)=RT$

nach Druck P:

$P={\frac {RT}{v-b}}-{\frac {a}{v^{2}}}$

nach z:

$z={\frac {Pv}{RT}}={\frac {v}{v-b}}-{\frac {a}{vRT}}$

Generalisierten Form:

$\left[{\frac {P}{P_{kr}}}+3\left({\frac {v_{kr}}{v}}\right)^{2}\right]\left[3{\frac {v}{v_{kr}}}-1\right]=8{\frac {T}{T_{kr}}}$ mit $v_{kr}=3b\,$, $T_{kr}={\frac {8a}{27bR}}$ und $P_{kr}={\frac {a}{27b^{2}}}$

Reduzierte Form:

$\left(P_{r}+{\frac {3}{v_{r}^{2}}}\right)\left(3v_{r}-1\right)=8T_{r}$ mit $v_{r}={\frac {v}{v_{kr}}}$, $T_{r}={\frac {T}{T_{kr}}}$ und $P_{r}={\frac {P}{P_{kr}}}$

Virialgleichung und van der Waals

$B(T)=b-{\frac {a}{RT}}$

$T^{B}={\frac {a}{Rb}}$

Korrespondenzprinzip

Zweiparameterkorrespondenzprinzip:

Stoffe sind vergleichbar, wenn sie aus vergleichbaren Punkten betrachtet werden.

Dreiparameterkorrespondenzprinzip:

$z=z_{0}+\omega _{0,i}z_{1}\,$

mit Pitzerfaktor $\omega _{0,i}=-1-\log \left({\frac {P_{0,i}^{LV}(T_{r}=0,7)}{P_{kr}}}\right)$

Partielle molare Größe

${\overline {o_{i}}}=\left({\frac {\partial O}{\partial n_{i}}}\right)_{T,P,n_{i\neq j}}$

Mischungen

1. Differenzansatz:

$\Delta o=o_{ideal}-o_{real}\,$

2. Partielle molare Ansatz:

$o=\sum _{i=1}^{k}{\overline {o}}_{i}x_{i}$ oder $O=\sum _{i=1}^{k}{\overline {o}}_{i}n_{i}$

3. Exzessansatz:

$o=\sum _{i=1}^{k}x_{i}o_{i}+\Delta o^{ideal}+o^{E}$

Aktivitätskoeffizienten

Definition:

$\gamma _{i}={\frac {\varphi _{i}^{L}}{\varphi _{0,i}^{L}}}$

VLE

Allgemein:

Isofugazitätskriterium

$f_{i}^{V}=f_{i}^{L}$ mit

$f_{i}^{V}=y_{i}\varphi _{i}P$ und

$f_{i}^{L}=x_{i}\gamma _{i}f_{0,i}^{L}=x_{i}\gamma _{i}P_{0,i}^{LV}\varphi _{0,i}^{LV}\Pi$

Poynting-Korrektur $\Pi =\exp \left(\int _{P_{0,i}^{LV}}^{P}{\frac {v_{0,i}^{L}}{RT}}dP\right)$

Vereinfacht:

$x_{i}\gamma _{i}P_{0,i}^{LV}=y_{i}P$

Raoultsche Gesetz:

$x_{i}P_{0,i}^{LV}=y_{i}P$

Least-Square-Methode

$\sum _{i=1}^{k}\left(f_{{\text{exp}},i}-f_{{\text{cal}},i}\right)^{2}{\stackrel {!}{=}}{\text{minimal}}$

Plancksches Strahlungsgesetz

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieses ist eine Formelsammlung zum Thema plancksches Strahlungsgesetz. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Wikipedia-Artikel Mathematische Symbole erläutert werden.

Das plancksche Strahlungsgesetz

Dieses Kapitel erläutert die physikalische Bedeutung des Strahlungsgesetzes. Für die hier behandelte mathematische Darstellung des Gesetzes existieren zahlreiche verschiedene Varianten, je nachdem ob das Gesetz in Abhängigkeit von der Frequenz oder der Wellenlänge formuliert werden soll, ob die Intensität der Strahlung in eine bestimmte Richtung oder die Abstrahlung in den gesamten Halbraum betrachtet werden soll, ob Strahlgrößen, Energiedichten oder Photonenzahlen beschrieben werden sollen. Diese verschiedenen Formen werden im Folgenden in ihrem gegenseitigen Zusammenhang dargestellt und erläutert. Die Formelsammlung enthält auch unmittelbar aus dem planckschen Strahlungsgesetz abgeleitete Gesetze wie z. B. das Stefan-Boltzmann-Gesetz.

Wie bei radiometrischen Größen üblich, können auch zur Beschreibung des Spektrums eines Schwarzen Körpers verschiedene Strahlungsgrößen verwendet werden. Die hier benutzten Bezeichnungen und Symbole folgen der DIN EN ISO 9288 (August 1996). Der obere Index $\,^{o}$ weist jeweils darauf hin, dass die betreffende Größe hier speziell die Eigenschaften eines Schwarzen Körpers beschreibt. Die folgenden Formeln gelten für die Strahlung im Vakuum. Bei Strahlung in ein Medium mit der Brechzahl $n$ sind die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ durch $c/n$ und die Wellenlänge $\lambda$ durch $\lambda /n$ zu ersetzen, während die Frequenz $\nu$ unverändert bleibt.

Man unterscheidet

• spektrale Größen, welche die Frequenz- bzw. Wellenlängenabhängigkeiten explizit beschreiben
• Gesamtgrößen, welche über alle Frequenzen bzw. Wellenlängen integriert sind

sowie

• gerichtete Größen, welche die Richtungsabhängigkeiten explizit beschreiben
• hemisphärische Größen, welche über alle Richtungen des Halbraums integriert sind.

Spektrale Strahldichte

Die spektrale Strahldichte $\,L_{\Omega \nu }(\beta ,\varphi ,\nu ,T)$ liefert die detaillierteste Darstellung der Strahlungseigenschaften eines Strahlers. Sie beschreibt explizit die Richtungsabhängigkeit und die Frequenz- (oder Wellenlängen‑)abhängigkeit der abgegebenen Strahlung. Aus der spektralen Strahldichte lassen sich die anderen Strahlungsgrößen durch Integration über die Richtungen und/oder Frequenzen ableiten.

Für die spektrale Strahldichte $L_{\Omega \nu }^{o}$ eines Schwarzen Körpers der absoluten Temperatur T gilt

in der Frequenzdarstellung:

$L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$

SI-Einheit von $L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)$: W m-2 Hz-1 sr-1,

in der Wellenlängendarstellung:

$L_{\Omega \lambda }^{o}(\lambda ,T)\,\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}\cos(\beta )\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} \Omega$

SI-Einheit von $L_{\Omega \lambda }^{o}(\lambda ,T)$: W m-2 μm-1 sr-1.

$L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν in das zwischen den Azimutwinkeln φ und φ+dφ sowie den Polarwinkeln β und β+dβ aufgespannte Raumwinkelelement dΩ abgestrahlt wird. Weiter sind h das plancksche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit und k die Boltzmannkonstante.

Der Kosinusfaktor berücksichtigt den Umstand, dass bei Abstrahlung in eine beliebige durch φ und β gegebene Richtung nur die auf dieser Richtung senkrecht stehende Projektion $\cos(\beta )\mathrm {d} A$ der Fläche dA als effektive Strahlfläche auftritt. Die spektrale Strahldichte $L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)$ selbst muss im Falle des Schwarzen Körpers aus thermodynamischen Gründen richtungsunabhängig sein (Begründung: ist der Schwarze Körper einer Hohlraumstrahlung derselben Temperatur ausgesetzt, so absorbiert er die auf ihn treffende Strahlung vollständig, muss die absorbierte Strahlung aber gleichzeitig durch selbst emittierte Strahlung ersetzen, um das thermische Gleichgewicht zu erhalten. Die spektrale Strahldichte der Hohlraumstrahlung muss im Gleichgewicht richtungsunabhängig sein, und da die vom Schwarzen Körper emittierte Strahlung dieselbe Strahldichte haben muss, ist sie ebenfalls richtungsunabhängig). Der Schwarze Körper strahlt also völlig diffus, er ist ein Lambert-Strahler.

Bei der Umrechnung zwischen Frequenz- und Wellenlängendarstellung ist zu beachten, dass wegen

$\lambda ={\frac {c}{\nu }}$ gilt:

$|\mathrm {d} \lambda |={\frac {c}{\nu ^{2}}}|\mathrm {d} \nu |$   und   $|\mathrm {d} \nu |={\frac {c}{\lambda ^{2}}}|\mathrm {d} \lambda |$

Die spektrale Strahldichte ist eine spektrale gerichtete Größe.

Spektrale spezifische Ausstrahlung

Integriert man die spektrale Strahldichte über alle Richtungen des Halbraums, in welchen das betrachtete Flächenelement abstrahlt, so erhält man die spektrale spezifische Ausstrahlung in den Halbraum $M_{\nu }^{o}(\nu ,T)$, für die gilt:

$M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$	$=\int _{\text{Halbraum}}L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$
	$=\int _{\varphi =0}^{2\pi }\,\int _{\beta =0}^{\frac {\pi }{2}}L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\sin(\beta )\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \beta$
	$=2\pi \,L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \int _{\beta =0}^{\frac {\pi }{2}}\cos(\beta )\sin(\beta )\,\mathrm {d} \beta$
	$=\pi \,L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$,

so dass also in der Frequenzdarstellung:

$M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$

SI-Einheit von $M_{\nu }^{o}(\nu ,T)$: W m-2 Hz-1

und in der Wellenlängendarstellung:

$M_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \lambda \,={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \lambda$

SI-Einheit von $M_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)$: W m-2 μm-1.

$M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA im Frequenzbereich zwischen $\nu$ und $\nu +d\nu$ in den Halbraum abgestrahlt wird.

Die spektrale spezifische Ausstrahlung ist eine spektrale hemisphärische Größe.

Gesamtstrahldichte

Integriert man die spektrale Strahldichte nicht über die Richtungen, sondern über alle Frequenzen, so erhält man die Gesamtstrahldichte $L_{\Omega }^{o}(T)$, für die gilt:

$L_{\Omega }^{o}(T)\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\nu =0}^{\infty }L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$

Die Auswertung des Integrals liefert wegen $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{4}}{15}}$:

$L_{\Omega }^{o}(T)\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2\pi ^{4}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}T^{4}\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega$

SI-Einheit von $L_{\Omega }^{o}(T)$: W m-2 sr-1.

$L_{\Omega }^{o}(T)\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA auf allen Frequenzen in das in der Richtung β gelegene Raumwinkelelement dΩ abgestrahlt wird.

Die Gesamtstrahldichte ist eine gerichtete Gesamtgröße.

Spezifische Ausstrahlung, Stefan-Boltzmann-Gesetz

Integriert man die spektrale spezifische Ausstrahlung über alle Frequenzen oder die Gesamtstrahldichte über alle Richtungen des Halbraums, so erhält man die spezifische Ausstrahlung $\,M^{o}(T)$, für die gilt

$M^{o}(T)\,\mathrm {d} A$	$=\int _{\nu =0}^{\infty }M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$	$\equiv L_{\Omega }^{o}(T)\int _{\text{Halbraum}}\cos(\beta )\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \Omega$
		$=\pi \,L_{\Omega }^{o}(T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {sr}$

so dass

$M^{o}(T)\,\mathrm {d} A=\sigma \,T^{4}\,\mathrm {d} A$

SI-Einheit von $\,M^{o}(T)$: W m-2,

mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten $\sigma \,={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}\,=(5{,}670400\pm 0{,}000040)\,\cdot \,10^{-8}\,\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}}$ (gemäß CODATA 2006). Bei Strahlung in ein Medium mit der Brechzahl $n$ ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ durch $c/n$ zu ersetzen, die spezifische Ausstrahlung erhöht sich daher um den Faktor $n^{2}$.

$M^{o}(T)\,\mathrm {d} A$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement dA auf allen Frequenzen in den Halbraum abgestrahlt wird.

Die spezifische Ausstrahlung ist eine hemisphärische Gesamtgröße.

Strahlungsfluss oder Strahlungsleistung

Integriert man die spezifische Ausstrahlung über die gesamte strahlende Fläche A, so erhält man die Strahlungsleistung $\,\Phi ^{o}(T)$ dieser Fläche, für die gilt:

$\Phi ^{o}(T)=\int _{\text{Fläche}}M^{o}(T)\,\mathrm {d} A$,

so dass für einen Körper homogener Temperatur gilt

$\Phi ^{o}(T)=\sigma \,T^{4}\,A$

SI-Einheit von $\,\Phi ^{o}(T)$ : W.

$\Phi ^{o}(T)\,$ ist die Strahlungsleistung, die von der Fläche A auf allen Frequenzen in den Halbraum abgestrahlt wird.

Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung

Ein geschlossener Hohlraum mit Wänden aus beliebigem Material, welche auf der Temperatur T gehalten werden, ist nach Erreichen des thermischen Gleichgewichts mit einer homogenen isotropen thermischen Strahlung erfüllt, deren Eigenschaften nur von der Temperatur T abhängen und die daher universalen Charakter hat.

Bringt man einen kleinen Schwarzen Körper in den Hohlraum, so muss die Hohlraumstrahlung nach Wiederherstellung des thermischen Gleichgewichts die gleiche sein wie vorher, da sie nur von T abhängt. Da der Schwarze Körper sämtliche auf ihn treffende Hohlraumstrahlung absorbiert, zur Erhaltung des Gleichgewichts aber gleichzeitig die gleiche Strahlung als Ersatz wieder emittieren muss, müssen die spektralen Strahldichten der Hohlraumstrahlung und der Strahlung des Schwarzen Körpers identisch sein. Die oben hergeleiteten Ausdrücke für die einzelnen Strahlgrößen gelten daher auch für die Hohlraumstrahlung. Darüber hinaus weist die Hohlraumstrahlung eine konstante räumliche Energiedichte auf.

Man betrachte einen halbkugelförmigen mit Hohlraumstrahlung der Temperatur T gefüllten Hohlraum. Da die Strahlgrößen dieselben sind wie bei der Emission durch einen Schwarzen Körper, ist die aus dem gesamten Halbraum stammende auf ein Flächenelement dA im Mittelpunkt der kreisförmigen Grundfläche treffende Strahlungsleistung im Frequenzintervall zwischen ν und ν+dν gegeben durch die Formel zur spektralen spezifischen Ausstrahlung:

$W_{\nu }(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu =M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$ (*)

Seien nun $U_{\nu }^{o}\,\mathrm {d} \nu$ die Energiedichte im Frequenzintervall zwischen ν und ν+dν und $n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu$ die Dichte der Photonen aus dem selben Frequenzintervall:

$U_{\nu }^{o}\,\mathrm {d} \nu =h\nu \cdot n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu$

Da die Strahlung isotrop ist, kommen alle Richtungen gleich häufig vor. Der Anteil an Photonen, welcher aus dem Raumwinkelelement dΩ, d. h. aus Richtungen zwischen φ und φ + dφ sowie zwischen β und β + dβ, stammt, ist gegeben durch das Verhältnis von dΩ zum vollen Raumwinkel 4π. Die Dichte an Photonen mit Frequenzen zwischen ν und ν+dν, welche aus dem Raumwinkel dΩ stammen, ist daher

$n_{\nu \Omega }\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega =n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {\mathrm {d} \Omega }{4\pi }}=n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {\sin(\beta )\mathrm {d} \beta \mathrm {d} \phi }{4\pi }}$

Von allen Photonen aus dem Frequenzintervall dν, welche aus der Richtung von dΩ kommen, treten jene durch die Fläche dA, welche sich in einem Zylinder befinden, der um den Winkel β in die Richtung von dΩ geneigt ist und dA zur Grundfläche hat. Pro Zeiteinheit dt treten jene Photonen durch dA, die sich in einem Zylinderstück der Länge cdt befinden. Sie treten also mit der Rate

$n_{\nu \Omega }\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega \cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot c$

durch dA. Da jedes Photon die Energie hν trägt, tritt die Energie mit der Rate

$W_{\nu \Omega }(\nu ,\beta ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega =h\nu \cdot n_{\nu \Omega }\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega \cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot c=h\nu \cdot c\cdot n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {1}{4\pi }}\sin(\beta )\cos(\beta )\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} A$

durch dA. Es treten Photonen aus dem gesamten oberen Halbraum durch dA; Integration über den Halbraum liefert

$W_{\nu }(\nu ,T)\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu =h\nu \cdot c\cdot n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {1}{4\pi }}\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\beta =0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(\beta )\cos(\beta )\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} A=h\nu \cdot c\cdot n_{\nu }\,\mathrm {d} \nu {\frac {1}{4}}\,\mathrm {d} A=U_{\nu }^{o}\,{\frac {c}{4}}\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} \nu$

Vergleich mit (*) zeigt:

$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)={\frac {4}{c}}\cdot M_{\nu }^{o}(\nu ,T)$

Es gilt also

in der Frequenzdarstellung:

$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} V={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} V$

SI-Einheit von $U_{\nu }^{o}(\nu ,T)$: J m-3 s oder anschaulicher J m-3 Hz-1,

in der Wellenlängendarstellung:

$U_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} V={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} V$

SI-Einheit von $U_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)$: J m-4 oder anschaulicher J m-3 μm-1.

$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} V$ ist die Energie der thermischen Strahlung im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν, welche sich im Volumenelement dV eines Hohlraumstrahlers befindet.

Gesamtenergiedichte der Hohlraumstrahlung

Integriert man die spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung über alle Frequenzen, so erhält man die Gesamtenergiedichte $U^{o}$, für die gilt:

$U^{o}(T)\,\mathrm {d} V=\int _{\nu =0}^{\infty }U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} V$

Auswertung des Integrals liefert:

$U^{o}(T)\,\mathrm {d} V\,=\sigma ^{*}\,T^{4}\,\mathrm {d} V$

mit $\sigma ^{*}\,={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}}}\,=7{,}56\,\cdot \,10^{-16}\,\mathrm {\frac {Ws}{m^{3}K^{4}}}$, SI-Einheit von $U^{o}(T)$: J m-3.

$U^{o}(T)\,\mathrm {d} V$ ist die Energie der thermischen Strahlung aller Frequenzen, welche sich im Volumenelement dV eines Hohlraumstrahlers befindet.

Tabellarische Übersicht

	spektrale Strahldichte:
	$L_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$L_{\Omega \lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: W m-2 Hz-1 sr-1		Einheit: W m-2 m-1 sr-1
	spektrale spezifische Ausstrahlung:
	$M_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$M_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: W m-2 Hz-1		Einheit: W m-2 m-1
	Gesamtstrahldichte:
	$L_{\Omega }^{o}(T)={\frac {2\pi ^{4}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}T^{4}$
	Einheit: W m-2 sr-1
	spezifische Ausstrahlung ("Stefan-Boltzmann-Gesetz"):
	$M^{o}(T)\,=\sigma \,T^{4}$ mit Stefan-Boltzmann-Konstante $\sigma \,={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}\,=5{,}67\,\cdot \,10^{-8}\,\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}}$
	Einheit: W m-2
	spektrale Energiedichte im Hohlraum:
	$U_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$U_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: J m-3 Hz-1		Einheit: J m-3 m-1
	Gesamtenergiedichte im Hohlraum:
	$U^{o}(T)\,=\sigma ^{*}\,T^{4}$ mit $\sigma ^{*}\,={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}}}\,=7{,}56\,\cdot \,10^{-16}\,\mathrm {\frac {J}{m^{3}K^{4}}}$
	Einheit: J m-3

Statt der pro Zeiteinheit abgestrahlten Energie kann auch die pro Zeiteinheit abgestrahlte Anzahl von Photonen betrachtet werden. Da ein Photon der Frequenz $\nu$ bzw. der Wellenlänge $\lambda ={\frac {c}{\nu }}$ die Energie $h\nu$ bzw. ${\frac {hc}{\lambda }}$ trägt, gilt:

	spektrale Strahldichte:
	${\tilde {L}}_{\Omega \nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		${\tilde {L}}_{\Omega \lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {2c}{\lambda ^{4}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: Photonen s-1 m-2 Hz-1 sr-1		Einheit: Photonen s-1 m-2 m-1 sr-1
	spektrale spezifische Ausstrahlung:
	${\tilde {M}}_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		${\tilde {M}}_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {2\pi c}{\lambda ^{4}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: Photonen s-1 m-2 Hz-1		Einheit: Photonen s-1 m-2 m-1
	Gesamtstrahldichte:
	${\tilde {L}}_{\Omega }^{o}(T)={\frac {4\zeta (3)k^{3}}{h^{3}c^{2}}}\,T^{3}=4{,}840\cdot 10^{14}\mathrm {\frac {1}{s\,m^{2}\,sr\,K^{3}}} \,\cdot \,T^{3}$
	mit $\zeta (3)=1{,}202056903\dots$ (riemannsche Zeta-Funktion bzw. Apery-Konstante)
	Einheit: Photonen s-1 m-2 sr-1
	spezifische Ausstrahlung (Stefan-Boltzmann-Gesetz für die Photonenrate):
	${\tilde {M}}^{o}(T)\,={\frac {4\pi \zeta (3)k^{3}}{h^{3}c^{2}}}\,T^{3}=1{,}5204\cdot 10^{15}\mathrm {\frac {1}{s\,m^{2}\,K^{3}}} \,\cdot \,T^{3}$
	Einheit: Photonen s-1 m-2
	spektrale Photonendichte im Hohlraum:
	${\tilde {U}}_{\nu }^{o}(\nu ,T)\,={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		${\tilde {U}}_{\lambda }^{o}(\lambda ,T)\,={\frac {8\pi }{\lambda ^{4}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	Einheit: Photonen m-3 Hz-1		Einheit: Photonen m-3 m-1
	Gesamtphotonendichte im Hohlraum:
	${\tilde {U}}^{o}(T)\,={\frac {16\pi \zeta (3)k^{3}}{h^{3}c^{3}}}\,T^{3}=2{,}029\cdot 10^{7}\,\mathrm {\frac {1}{m^{3}K^{3}}} \,\cdot \,T^{3}$
	Einheit: Photonen m-3

Quellen

• Baehr/Stephan: Baehr H.D., Stephan K.: Wärme- und Stoffübertragung. 5. Auflage, Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32334-1
• Tatum: Tatum J.B.: Stellar Atmospheres, chapter 2: Blackbody Radiation. On-line lecture notes (pdf 217 KB)

Tabellen

Allgemeines zum Umgang mit Einheiten

Es existieren zwei Operatoren, die sich direkt auf eine physikalische Größe auswirken, ohne sie zu verändern:

• Einheit-Von-Operator: (Kraftbeispiel) [1,5 N] = [F] = N
• Skalar-Von-Operator: (Kraftbeispiel) {1,5 N} = 1,5

Man beachte in dem Zusammenhang, dass insbesondere im amerikanischen Raum diese Operatoren anders verwendet werden, insbesondere schreibt man dort oft die Einheit in Eckige Klammern, zum Beispiel [N].

Allgemeines zum Umgang mit Formeln

Jede physikalische Größe läßt sich aus einem Zahlenwert und einer Einheit schreiben.

physikalische Größe = Zahlenwert * Einheit

Beispiel:

7 Meter = 7 * Meter

SI-Basisgrößen und -einheiten

Basisgröße	Formelzeichen	Symbol für Dimension	Basiseinheit	Einheitenzeichen	Definition der Einheit
Länge	$l\,$, $s\,$, $x\,$, $r\,$, etc.	L	Meter	$\mathrm {m} \,$	Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während einer der Dauer von (1/299 792 458) Sekunden durchläuft
Masse	$m\,$	M	Kilogramm	$\mathrm {kg} \,$	Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des Internationalen Kilogrammprototyps
Zeit	$t\,$	T	Sekunde	$\mathrm {s} \,$	das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung
elektrische Stromstärke	$I\,$	I	Ampere	$\mathrm {A} \,$	Stärke eines konstanten Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Elektrische Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft 2 · 10 −7 Newton hervorruft.
Absolute Temperatur (auch thermodynamische Temperatur)	$T\,$	θ	Kelvin	$\mathrm {K} \,$	der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers1
Stoffmenge	$n\,$	N	Mol	$\mathrm {mol} \,$	die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie anderer Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.
Lichtstärke	$I_{\mathrm {V} }\,$	J	Candela	$\mathrm {cd} \,$	Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt.
1) Zwischen der thermodynamischen Temperatur T und der Celsiustemperatur t besteht der Zusammenhang: t/°C = T/K + 273,15

Abgeleitete Größen

Größe	Formelzeichen	Einheit	Einheitenzeichen	in SI-Basiseinheiten
Raumwinkel	$\Omega \$	Steradiant	sr	${\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {m} ^{2}}}\$2), 3)
Frequenz	$f\$	Hertz	Hz	${\frac {1}{\mathrm {s} }}\$
Geschwindigkeit	$v\$	Meter pro Sekunde	m/s	${\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\$
Beschleunigung	$a\$	Meter pro Sekunde2	m/s2	${\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\$
Kraft	$F\$	Newton	N	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\$
Druck	$p\$	Pascal	Pa	${\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {s} ^{2}\cdot \mathrm {m} }}={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}\$ 4)
Impuls	$p\$	Newtonsekunde	Ns	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=\mathrm {N} \cdot \mathrm {s} \$
Arbeit, Energie	$W,E\$	Joule	J	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}=\mathrm {W} \cdot \mathrm {s} =\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} \$
Leistung	$P\$	Watt	W	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{3}}}=\mathrm {N} \cdot {\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}={\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {s} }}=\mathrm {V} \cdot \mathrm {A} \$
elektrische Spannung (elektrisches Potential)	$U\$	Volt	V	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{3}\cdot \mathrm {A} }}={\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {A} }}={\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {C} }}\$
elektrische Ladung	$Q\$	Coulomb	C	$\mathrm {A} \cdot \mathrm {s} \$
magnetischer Fluss	$\Phi \$	Weber	Wb	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}\cdot \mathrm {A} }}=\mathrm {V} \cdot \mathrm {s} \$
elektrischer Widerstand	$R\$	Ohm	Ω	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{3}\cdot \mathrm {A} ^{2}}}={\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {A} }}\$
elektrischer Leitwert	$G\$	Siemens	S	${\frac {\mathrm {s} ^{3}\cdot \mathrm {A} ^{2}}{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}}={\frac {1}{\Omega }}\$
Induktivität	$L\$	Henry	H	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}\cdot \mathrm {A} ^{2}}}={\frac {\mathrm {Wb} }{\mathrm {A} }}\$
elektrische Kapazität	$C\$	Farad	F	${\frac {\mathrm {A} ^{2}\cdot \mathrm {s} ^{4}}{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}}={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {V} }}\$
magnetische Flussdichte, Induktion	$B\$	Tesla	T	${\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {s} ^{2}\cdot \mathrm {A} }}={\frac {\mathrm {Wb} }{\mathrm {m} ^{2}}}\$
Elektrische Feldstärke	$E\$	Volt pro Meter oder Newton pro Coulomb	V/m oder N/C	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{3}\cdot \mathrm {A} }}={\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {C} }}\$
Magnetische Feldstärke, magn. Erregung	$H\$	Ampere pro Meter	A/m	${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {m} }}\$
Elektrische Flussdichte, el. Verschiebungsdichte, el. Erregung	$D\$	Coulomb pro Quadratmeter	C/m2	${\frac {\mathrm {A} \cdot \mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{2}}}\$
Permittivität	$\varepsilon \$	Farad pro Meter	F/m	${\frac {\mathrm {A} ^{2}\cdot \mathrm {s} ^{4}}{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{3}}}={\frac {\mathrm {A} \cdot \mathrm {s} }{\mathrm {V} \cdot \mathrm {m} }}\$
Permeabilität (Magnetismus)	$\mu \$	Henry pro Meter	H/m	${\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}\cdot \mathrm {A} ^{2}}}={\frac {\mathrm {V} \cdot \mathrm {s} }{\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} }}\$
Lichtstrom	$\Phi _{\nu }\$	Lumen	lm	$\mathrm {cd} \cdot \mathrm {sr} \$
Beleuchtungsstärke	$E_{\nu }\$	lux	lx	${\frac {\mathrm {cd} \cdot \mathrm {sr} }{\mathrm {m} ^{2}}}={\frac {\mathrm {lm} }{\mathrm {m} ^{2}}}\$
Fläche	$A\$	Quadratmeter	m2	$\mathrm {m} ^{2}\$
Volumen	$V\$	Kubikmeter	m3	$\mathrm {m} ^{3}\$
Dichte	$\rho \$	Tonne pro Kubikmeter;	t/m3;	${\frac {\mathrm {t} }{\mathrm {m} ^{3}}}\$
		Gramm pro Kubikzentimeter;	g/cm3;	${\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {cm} ^{3}}}\$
Kreisfrequenz	$\omega \$	Hertz	Hz	${\frac {\mathrm {1} }{\mathrm {s} }}\$
Radioaktivität	$A\$	Becquerel (Einheit)	Bq	${\frac {1}{\mathrm {s} }}\$
Dosis	$D\$	Gray	Gy	${\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {kg} }}\$
Entropie	$S\$	Joule pro Kelvin bzw. Grad Celsius	J/K bzw. J/°C	${\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}\$
katalytische Aktivität	$z\$	Katal	kat	${\frac {\mathrm {mol} }{\mathrm {s} }}\$
1) Grad (°), 1° = (π/180) rad, ist keine SI-Einheit, die Verwendung, auch in Kombination mit SI-Einheiten, ist jedoch nach BIPM zulässig. Anders als bei SI-Einheiten wird bei Gradangaben ebener Winkel vor dem Gradzeichen kein Leerzeichen geschrieben. 2) Bei Verhältnisgrößen bestünde prinzipiell die Möglichkeit, die Einheiten zu kürzen und den Quotienten durch 1 zu ersetzen. Diese Kürzung unterbleibt jedoch, um zu vermeiden, dass verschiedenartige Größen gleichbenannte Einheiten erhalten. Der durch die Kürzung bewirkte Informationsverlust führt zu Mehrdeutigkeiten. Deshalb wird z. B. der Alkoholgehalt bei Getränken nicht einfach in % (Prozent), sondern in Vol% (Volumen-Prozent) angegeben – sonst wäre eine Abgrenzung zu z. B. Gew% (Gewichts-Prozent) nicht möglich. 3) In der Lichttechnik wird der Raumwinkel allgemein nicht als abgeleitete SI-Einheit betrachtet, sondern als Basis-SI-Einheit. 4) Neben Pascal ist auch die Angabe des Drucks laut BIPM in Bar zulässig.

Vorsätze bei Einheiten

Vorsatz	Bedeutung	Zeichen	Multiplikationsfaktor
Yotta	Quadrillion	Y	1024
Zetta	Trilliarde	Z	1021
Exa	Trillion	E	1018
Peta	Billiarde	P	1015
Tera	Billion	T	1012 = 1 000 000 000 000
Giga	Milliarde	G	109 = 1 000 000 000
Mega	Million	M	106 = 1 000 000
Kilo	Tausend	k	103 = 1000
Hekto	Hundert	h	102 = 100
Deka	Zehn	da	101 = 10
Dezi	Zehntel	d	10−1 = 0,1
Zenti	Hundertstel	c	10−2 = 0,01
Milli	Tausendstel	m	10−3 = 0,001
Mikro	Millionstel	µ	10−6 = 0,000 001
Nano	Milliardstel	n	10−9 = 0,000 000 001
Pico	Billionstel	p	10−12 = 0,000 000 000 001
Femto	Billiardstel	f	10−15
Atto	Trillionstel	a	10−18
Zepto	Trilliardstel	z	10−21
Yokto	Quadrillionstel	y	10−24

Physikalische Konstanten

Bezeichnung der Konstante	Symbol(e)	Wert
Elektromagnetismus
Elementarladung	e	1,602 176 462(63) · 10−19 C
Permeabilität (Magnetismus) des Vakuums	μ0	4π · 10−7 H m−1 (definiert) 12,566370614 · 10−7 T2 m3 J−1
Dielektrizitätskonstante des Vakuums	ε0 = 1/(μ0c02)	8,854 187 816 · 10−12 F m−1
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum	c0	299 792 458 m s−1 (definiert)
Gravitation
Gravitationskonstante	G	6,672 42(10) · 10−11 m3 kg−1 s−2
(Norm-)Fallbeschleunigung, (Norm-)Erdbeschleunigung	gn	9,80665 m s−2 (definiert)
Thermodynamik
Avogadrozahl oder Loschmidt-Zahl	L, NA, NL	6,022 141 99(47) · 1023 mol−1
Boltzmann-Konstante	kB	1,380 650 3(24) · 10−23 J K−1
		8,617 342(15) · 10−5 eV K−1
Universelle Gaskonstante	R0 = NAkB	8,314 472 (15) J K−1 mol−1
Stefan-Boltzmann-Konstante	σ	5,670 51(19) · 10−8 W m−2 K−4
Absoluter Nullpunkt		−273,15 °C = 0 K
Molvolumen eines idealen Gases, p = 1 bar, θ = 0 °C		22,413 996(39) L mol−1
Standard-Atmosphärendruck	atm	101 325 Pa (definiert)
Elementarteilchen
Planck'sche Konstante bzw. Wirkungsquantum	h	6,626 068 76(52) · 10−34 J s
		4,135 667 27(52) · 10−15 eV s
	ħ = h/(2π)	1,054 571 596(82) · 10−34 J s
Feinstrukturkonstante	α = μ0 e2 c0 / (2h)	7,297 352 533(27) · 10−3
	α−1	137,035 999 76(50)
Ruhemasse des Elektrons	me	9,109 381 88(72) · 10−31 kg
Klassischer Elektronenradius	re	2,817 92 · 10−15 m
Ruhemasse des Protons	mp	1,672 621 58(13) · 10−27 kg
Ruhemasse des Neutrons	mn	1,674 928 6(10) · 10−27 kg
Gyromagnetisches Verhältnis des freien Elektrons	γe	1,760 859 2 · 1011 s−1 T−1
Rydbergkonstante	R∞	1,097 373 153 4(13) · 107 m−1
Rydbergfrequenz	R∞c	3,289 841 960 360 · 1015 s−1
Rydbergenergie	R∞ch	13,605 141 384 3(13) eV
Bohrscher Radius	a0	0,529 177 208 3(19) · 10−10 m
Bohrsches Magneton	μB	9,274 015 4(31) · 10−24 J T−1
Magnetisches Moment des Elektrons	μe	−9,284 770 1(31) · 10−24 J T−1
Landé-g-Faktor des freien Elektrons	ge	2,002 319 304 386(20)
Nukleares Magneton, Kernmagneton	μN	5,050 786 6(17) · 10−27 J T−1
Magnetisches Moment des Protons	μp	1,410 607 61(47) · 10−26 J T−1
Gyromagnetisches Verhältnis des Protons	γp	2,675 221 28(81) · 108 s−1 T−1
Magnetisches Moment des Protons in H2O	μ'p/μB	1,520 993 129(17) · 10−3
Resonanzfrequenz des Protons per Feld in H2O	γ'p/2π	42,576 375 (13) MHz T−1
Vermischtes
Atomare Masseneinheit	mu, amu, 1u	1,660 538 73(13) · 10−27 kg
Faradaysche Konstante	F	9,648 530 9(29) · 104 C mol−1
Magnetisches Flussquantum	Φ0=h/(2e)	2,06783364 · 10−15 Wb
Hartree-Energie	Eh	4,359 748 2(26) · 10−18 J
Erste Strahlungskonstante	c1	3,741 774 9(22) · 10−16 W m2
Zweite Strahlungskonstante	c2	1,438 769 (12) · 10−2 m K

Die Ziffern in Klammern hinter einem Zahlenwert bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes. (Beispiel: Die Angabe 6,672 42(10) ist gleichbedeutend mit 6,672 42 ± 0,000 10.) Die Unsicherheit ist als einfache Standardabweichung gegeben.