Fortgeschrittene Astronomie/ Zweikörperproblem

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Häufig findet man Himmelskörper, die durch ihre gravitative Anziehungskraft um ein gemeinsames Zentrum kreisen. Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet:

Es gilt das Newtonsche Axiom:

Hieraus erhält man sofort:

Setzt man und so hat man:

Der Drehimpuls[Bearbeiten]

Man hat experimentell gefunden, dass der Drehimpuls bei vielen Experimenten erhalten ist. Er ist definiert als:

Die Erhaltung des Drehimpulses bedeutet nichts anderes, als dass seine zeitliche Ableitung 0 ist. Üblicherweise ist eine Ortskoordinate in einem Inertialsystem.

In unserer Betrachtung haben wir jedoch anders definiert. Nämlich als Abstand zwischen zwei Körpern, die sich beschleunigt bewegen.

Vielleicht haben wir aber trotzdem das Glück, dass hier eine ähnliche Größe erhalten ist. Leiten wir also einfach einmal ab:

Wir haben also eine dreidimensionale Erhaltungsgröße gefunden. Wir definieren:


Wegen den Eigenschaften des Kreuzproduktes wissen wir, dass und immer senkrecht auf dem konstanten Vektor liegen. Sie liegen also immer in der gleichen unveränderlichen Ebene. Wir können daher das Problem in Zylinderkoordinaten umschreiben und dabei das Koordinatensystem so wählen das die - Achse parallel zu liegt und die konstante Ebene bei . Somit erhalten wir

Und entsprechend für die Ableitung

Und natürlich

Aus der Bedingung erhalten wir:

Diese Gleichung wird uns, wie wir bald sehen werden, sehr nützliche Dienste leisten. Man kann aber schon sehen, dass sie das Problem vereinfacht. Sie enthält nur noch eine Ableitung erster Ordnung und dazu nur die einer Skalaren, vorher hatten wir die zweite Ableitung einer vektoriellen Größe.

Die Energie[Bearbeiten]

Nach unserem Erfolg mit dem Drehimpuls versuchen wir sogleich, noch eine Erhaltungsgröße zu finden. Experimentell fand man ebenfalls, dass die Energie erhalten ist. Hier haben wir es mit der Summe aus potentieller und kinetischer Energie zu tun.

Für die potentielle Energie gilt:

Für die kinetische Energie gilt:

Wir haben bei der kinetische Energie wie schon beim Drehimpuls, das Problem, dass wir als den Abstand zweier beschleunigt bewegter Körper definiert haben, in der Gleichung für die kinetische Energie jedoch von einer Ortskoordinate in einem Inertialsystem die Rede ist. Die Gleichung für die potentielle Energie können wir verwenden, da dort genau so definiert ist wie bei uns. Vielleicht habe wir ja noch einmal Glück und können uns wieder eine Erhaltungsgröße basteln. Wir versuchen es mal mit:

Hierbei haben wir unsere energieähnliche Größe genannt. Ferner brauchen für den kinetischen Term noch eine massen ähnlich Größe, diese haben wir genannt, da wir sie noch nicht genau kennen. Unsere Hoffnung ist jetzt, dass wenn wir diese Gleichung nach der Zeit ableiten und gleich 0 setzten, eine Gleichung erhalten, aus der wir bestimmen können. Dann könnten wir den wert für einsetzten und wüssten, dass die zeitliche Ableitung von 0 ist, also, dass eine Erhaltungsgröße darstellt. Also auf geht es:

Jetzt verwenden wir noch die Gleichung:

von oben und erhalten indem wir setzten:

Diese Gleichung ist offenbar genau dann erfüllt wenn:

und damit haben wir unsere zweite Erhaltungsgröße. Wir wollen wie beim Drehimpuls auch hier eine einfachere Gleichung finden mit der wir das Problem schließlich lösen können. Dazu berechnen wir zunächst:

und somit haben wir:

und dies ist die zweite wichtige Gleichung.

Nur setzten wir die Gleichung aus der Drehimpulserhaltung ein:

und erhalten:

Und somit

Verwenden wir nochmal die Gleichung aus der Drehimpulserhaltung so haben wir:

Lösung des Integrals[Bearbeiten]

Ich löse diese Integral durch nachschlagen in einer Integraltafel. In meinem Falle Bronstein. Es ist und somit

Dies lässt sich umstellen zu

Diese Gleichung hat offenbar die Form

und diese Gleichung stammt aus dem Wikipedia Artikel über Ellipsen.
(=Y=)