Ing Mathematik: Cauchyscher Integralsatz

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Sei

• $D\subset \mathbb {C}$ einfach zusammenhängend
• $f$ in $D$ holomorph
• $C$ in $D$ stückweise glatt, geschlossen, ganz in $D$ verlaufend.

Dann gilt der cauchysche Integralsatz

$\oint _{C}f(z){\text{d}}z=0$

Wenn eine Prämisse nicht erfüllt ist, so gilt diese Formel i.A. nicht!

• 
• 

$\int _{C_{1}}f(z){\text{d}}z-\int _{C_{2}}f(z){\text{d}}z=0$

$\int _{C_{1}}f(z){\text{d}}z=\int _{C_{2}}f(z){\text{d}}z$

Für mehrfach zusammenhängende Gebiete

• 

$\int _{C}f(z){\text{d}}z=\sum _{k=1}^{n}\int _{C_{k}}f(z){\text{d}}z$.

Cauchy-Integralformel:

• $f$ holomorph
• $D$ einfach zusammenhängend
• $C$ geschlossene Jordankurve, positiv orientiert, ganz in D verlaufend

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}{\text{d}}\zeta$.

Satz von Morera: Dies ist die Umkehrung des cauchyschen Integralsatzes. Sei

• $D$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet
• $f$ eine in $D$ stetige Funktion
• $C$ eine stückweise glatte, geschlossene, ganz in $D$ verlaufende Kurve
• $\int _{C}f(z){\text{d}}z=0$

Dann ist $f$ in $D$ holomorph.

• 
  Giacinto Morera (1856-1909) italienischer Mathematiker und Ingenieur

Siehe auch  Cauchyscher Integralsatz,  Cauchysche Integralformel,  Satz von Morera.

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