Ing Mathematik: Differentialgleichungen

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Einleitung und Definition

Gewöhnliche Differenzialgleichungen sind Gleichungen der Form $F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0$. Die Ordnung der Differentialgleichung ist $n$.

Eine gewöhnliche Differenzialgleichung 1. Ordnung ist somit eine Gleichung der Form $F(x,y,y')=0$.

Der Begriff gewöhnliche Differentialgleichung wird im Englischen auch mit ODE (Ordinary Differential Equation) abgekürzt. Wenn hier von Dgl. die Rede ist, dann ist damit immer eine gewöhnliche Differentialgleichung gemeint. Es gibt nämlich auch partielle Differentialgleichungen (PDE). Die werden aber erst später in dieser Buchreihe behandelt.

Beispiele für Dgln. 1. Ordnung:

• $y'=x$
• $y'=x^{2}+y^{2}$

Beispiel für eine Dgl. 2. Ordnung:

• $Ay''(x)+By'(x)+Cy(x)=f(x)$

Richtungsfeld

Nachfolgend sei das Richtungsfeld der Dgl. $y'=y-x$ dargestellt (siehe auch  Richtungsfeld):

Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

Siehe vorerst  Satz von Picard-Lindelöf

• 
  Ernst Leonard Lindelöf (1870-1946) finnischer Mathematiker
• 
  Charles Émile Picard (1856-1941) französischer Mathematiker

Separation der Variablen

Nun kommen wir zu den analytischen Lösungsmöglichkeiten für Dgln. Das Problem dabei ist, dass es keine geschlossene Lösungstheorie für Dgln. gibt. Stattdessen gibt es eine Vielzahl von Methoden, die jeweils auf eine bestimmte Klasse von Dgln. zugeschnitten ist. Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit ist die Separation (Trennung) der Variablen.

Beispiel: Löse die Gleichung $y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\text{e}}^{x}$.

Diese Dgl. ist elementar zu lösen. Man kann $\mathrm {d} x$ auf die rechte Gleichungsseite bringen und dann integrieren. Man separiert sozusagen die Gleichungsbestandteile $x$ und $y$.

$\int \mathrm {d} y=\int {\text{e}}^{x}\;\mathrm {d} x\Rightarrow y={\text{e}}^{x}+C$

Die Konstante C ist z.B. aus einer Anfangsbedingung zu ermitteln.

Beispiel: $y'=xy$

${\frac {\mathrm {d} y}{y}}=x\mathrm {d} x$

$\int {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=\int x\mathrm {d} x$

$\log |y|-\overbrace {\log C} ^{-D}={\frac {x^{2}}{2}}$

$\log |{\frac {y}{C}}|={\frac {x^{2}}{2}}$

$y=C{\text{e}}^{\frac {x^{2}}{2}}$

Übung: Löse folgende Dgl.

• $(1+y^{2})\mathrm {d} x+xy\ \mathrm {d} y=0$

Manchmal muss man zuerst substituieren, um anschließend eine Separation der Variablen durchführen zu können.

Beispiel: $y'=1+{\frac {y}{x}}$

Substitution: $z={\frac {y}{x}}\Rightarrow$ $y=xz;\;$ $y'=z+xz'$

$z+xz'=1+{\frac {xz}{x}}=1+z$

$x{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}=1$

$\int \mathrm {d} z=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x}}$

$z=\log |x|+C$

$y=x(\log |x|+C)$

Beispiel: $2y'+y^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=0$

Das lässt sich so umformen: $2y'x^{2}+(xy)^{2}+1=0$

Probieren wir nun folgende Substitution aus: $z=xy\Rightarrow y={\frac {z}{x}};\;y'={\frac {z'x-z}{x^{2}}}$

$2{\frac {z'x-z}{x^{2}}}x^{2}+z^{2}+1=0$

$2{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}x=2z-z^{2}-1$

$-2{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}x=z^{2}-2z+1=(z-1)^{2}$

$\int {\frac {\mathrm {d} z}{(z-1)^{2}}}=-\int {\frac {\mathrm {d} x}{2x}}$

${\frac {1}{1-z}}=-{\frac {1}{2}}\log |x|$

${\frac {1}{1-xy}}=-{\frac {1}{2}}\log |x|+C$

$2=(1-xy)(C-\log |x|)$

Beispiel: $y'=ax+by+c$

Hier substituieren wir direkt $z=ax+by+c$

$z'=a+by';\;y'={\frac {z'-a}{b}}$

${\frac {z'-a}{b}}=z$

Und nun separieren wir wieder die Variablen: $\int {\frac {\mathrm {d} z}{a+bz}}=\int \mathrm {d} x$

Integriert führt dies auf folgende Formel: $\log |a+bz|-\log D=bx$

Rücksubstituieren: $\log {\frac {a+b(ax+by+c)}{D}}=bx$

$a+b(ax+by+c)=D{\text{e}}^{bx}$

Homogene Dgl.

Homogene Funktion: $f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots \lambda x_{n})=\lambda ^{m}f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ mit $m$ als Homogenitätsgrad.

Seien $M(x,y)$ und $N(x,y)$ homogene Funktionen vom gleichen Grad. Die Differentialgleichung laute $M(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)\mathrm {d} y=0$. Dann führt die Substitution $z={\frac {y}{x}}$ zum Ziel.

Beispiel: $(x+y)\mathrm {d} x+(x-y)\mathrm {d} y=0$

Dies ist eine homogene Gleichung vom Homogenitätsgrad 1.

Substitution: $y=zx;\;y'=z'x+z$

$x+zx\mathrm {+} (x-zx)(z'x+z)=0$

$x+zx+x^{2}z'-zx^{2}z'+zx-z^{2}x=0$

$1+z+xz'-zxz'+z-z^{2}=0$

$z'x(1-z)+2z-z^{2}+1=0$

${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}x={\frac {z^{2}-2z-1}{1-z}}$

$\int {\frac {1-z}{z^{2}-2z-1}}\mathrm {d} z=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x}}$

Diese Integrale können gelöst werden und dann wird wieder rücksubstituiert. Dies machen wir hier aber nicht und beenden dieses Beispiel somit. Die Berechnung mit Maxima ergibt:

Exakte Dgl. und integrierender Faktor

Gegeben sei eine Dgl. der Form $M(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)\mathrm {d} y=0$. Sie ist exakt, wenn $M_{y}=N_{x}$ gilt. Wenn das nicht gilt, so kann man eventuell noch mit einem integrierenden Faktor $\mu (x,y)$ weiterkommen: Ist $\mu Mdx+\mu Ndy=0$ exakt? Dazu aber später. Vorerst noch ein einfaches Beispiel: $\underbrace {(y+x^{2})} _{M(x,y)}dx+\underbrace {(-y^{2}+x)} _{N(x,y)}dy=0$.

Lösung: Wir stellen zuerst die Exaktheit fest, $M_{y}=1;\ N_{x}=1$. Diese Dgl. ist exakt!

$F(x,y)=\int M(x,y)dx+C(y)=\int (y+x^{2})dx+C(y)=yx+{\frac {x^{3}}{3}}+C(y)$

$F_{y}=x+C'(y)=N(x,y)=-y^{2}+x$

$C'(y)=-y^{2}$

$C(y)=-\int y^{2}dy=-{\frac {y^{3}}{3}}$

$F(x,y)=yx+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {y^{3}}{3}}$

Nun zum integrierenden Faktor.

Beispiel: $\underbrace {(3x^{2}+y)} _{M}dx+\underbrace {(x^{2}y-x)} _{N}dy=0$

$M_{y}=1;\ N_{x}=2xy-1\$, d.h. die Dgl. ist nicht exakt! Aber vielleicht kann sie mittels integrierenden Faktor exakt gemacht werden? Dies probieren wir nun.

Wenn der integrierende Faktor nur von x abhängt (Spezialfall 1), so muss gelten: $w(x)={\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}$ hängt nur von x ab. $\mu (x)=\exp {(\int w(x)dx)};\ \mu (y)=0$.

Oder, wenn es einen nur von y abhängigen Faktor gibt (Spezialfall 2): $w(y)={\frac {-M_{y}+N_{x}}{M}};\ \mu (y)=\exp({\int w(y)dy)};\ \mu (x)=0$.

Hier probieren wir vorerst, ob $\mu =\mu (x)$.

$w(x)={\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}=-{\frac {2}{x}}$. Das passt! $\mu$ hängt nur von $x$ ab.

$\mu (x)=\exp {(\int -{\frac {2}{x}}dx)}={\frac {1}{x^{2}}};\ \mu (y)=0$

Nun kontrollieren wir, ob dies auf eine exakte Dgl. führt.

$\underbrace {{\frac {1}{x^{2}}}(3x^{2}+y)} _{\mu M}dx+\underbrace {{\frac {1}{x^{2}}}(x^{2}y-x)} _{\mu N}dy=0$

Dem ist so: $(\mu M)_{y}={\frac {1}{x^{2}}};\ (\mu N)_{x}={\frac {1}{x^{2}}}$

Somit kann die weitere Vorgehensweise, wie oben für eine exakte Dgl. gezeigt, gewählt werden: $(3+{\frac {y}{x^{2}}})dx+(y-{\frac {1}{x}})dy=0$

Übung: Lösen Sie diese exakte Dgl.

Der allgemeine Fall $\mu =\mu (x,y)$ sei hier nicht gezeigt. Das ist dann meist komplizierter.

Aber siehe zu den exakten Dgln. und dem integrierenden Faktor z.B. auch  Exakte Differentialgleichung

Übung: Lösen Sie $ydx+xdy=0$

1. mittels Separation der Variablen
2. als homogene Dgl.
3. als exakte Dgl.
4. mit Hilfe eines Computeralgebrasystems (z.B. Maxima)
5. mit Hilfe einer KI (z.B. chatgpt.com, grok.com oder Google)

Lineare Dgl. 1. Ordnung

Homogene lineare Dgl.

Obwohl sie ähnlich heißen, haben homogene lineare Dgln. nichts mit den vorher behandelten homogenen Dgln. zu tun. Es liegen hier Dgln. folgender Form vor:

$y'-g(x)y=0$

Eine Separation der Variablen führt zum Ziel:

${\frac {\mathrm {d} y}{y}}=g(x)\mathrm {d} x$

$\log |y|-\log C=\int g(x)\mathrm {d} x$

$|y|=C{\text{e}}^{\int g(x)\mathrm {d} x}$

Beispiel: $y'-2\sin {(x)}y=0$

$\int {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=2\int \sin {(x)}\mathrm {d} x$

$\log |y|-\log C=-2\cos(x)$

$|y|=C{\text{e}}^{-2\cos(x)}$

Inhomogene lineare Dgl.

Es liegen Dgln. folgender Form vor:

$y'-g(x)y=h(x)$

Wir können die homogene lineare Gleichung wie oben lösen:

$y'-g(x)y=0$

$y=C{\text{e}}^{G(x)}$ mit $G(x)=\int _{x_{0}}^{x}(g(x))\mathrm {d} x$.

Variation der Konstanten

Wir setzen bei dieser Methode

$y(x)=C(x){\text{e}}^{G(x)}$

$y'(x)=C'(x){\text{e}}^{G(x)}+C(x)G'(x){\text{e}}^{G(x)}$

$C'(x){\text{e}}^{G(x)}+{\cancel {C(x)\overbrace {G'(x)} ^{g(x)}{\text{e}}^{G(x)}}}={\cancel {g(x)C(x){\text{e}}^{G(x)}}}+h(x)$

Wir dividieren durch ${\text{e}}^{G(x)}$

$C'(x)=h(x){\text{e}}^{-G(x)}$.

und integrieren

$C(x)=\int _{x_{0}}^{x}h(t){\text{e}}^{-G(t)}\mathrm {d} t+C_{1}$

Jetzt setzen wir ein

$y(x)=C(x){\text{e}}^{G(x)}=\left(\int _{x_{0}}^{x}h(t){\text{e}}^{-G(t)}\mathrm {d} t+C_{1}\right){\text{e}}^{G(x)};\quad C_{1}=y_{0}$

Beispiel: $y'-{\frac {y}{x}}=x;\quad y(1)=0$

$g(x)={\frac {1}{x}};\quad h(x)=x;\quad (x_{0},y_{0})=(1,0)$

$G(x)=\int _{x_{0}}^{x}g(t)\mathrm {d} t=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=\log |x|$

$y(x)=\left(\int _{x_{0}}^{x}h(t){\text{e}}^{-G(t)}\mathrm {d} t+y_{0}\right){\text{e}}^{G(x)}=\left(\int _{1}^{x}t\mathrm {e} ^{-\log |t|}\mathrm {d} t+0\right)\mathrm {e} ^{\log |x|}=\int _{1}^{x}t{\frac {1}{t}}\mathrm {d} t\;x=x(x-1)$

Beispiel: $y'+ay=x;\;$ mit $a={\text{konstant}}$

Lösung der homogenen Dgl.: $y'=-ay\Rightarrow y=C\mathrm {e} ^{-ax}$

Variation der Konstanten: $y'=C'\mathrm {e} ^{-ax}-Ca\mathrm {e} ^{-ax}$

$C'\mathrm {e} ^{-ax}-{\cancel {Ca\mathrm {e} ^{-ax}}}+{\cancel {aC\mathrm {e} ^{-ax}}}=x$

$C'=x\mathrm {e} ^{ax}$

Aus einer Integraltafel (oder mittels partieller Integration) findet man damit $C={\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{a^{2}}}(ax-1)+D$

und somit $y=Ce^{-ax}=\left({\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{a^{2}}}(ax-1)+D\right)\mathrm {e} ^{-ax}$

Die Konstante D kann man wieder aus einer Anfangsbedingung ermitteln. Auch hier sei wieder auf die Möglichkeit der Berechnung mittels Computeralgebrasystemen hingewiesen. So ergibt die Berechnung mit dem CAS Maxima natürlich obige Formel:

Bernoullische Dgl.

Jakob Bernoulli (1654–1705) schweizer Mathematiker und Physiker

Die bernoullische Dgl. $y'=f(x)y+g(x)y^{\alpha };\;\alpha \neq 0,\alpha \neq 1$ lässt sich durch Transformation von $z=y^{-\alpha +1}$ auf eine lineare Dgl. 1. Ordnung zurückführen.

Beispiel: $y'={\frac {y}{x}}+xy^{2}$

Subst.: $z=y^{-\alpha +1}$ mit $\alpha =2;\ z={\frac {1}{y}};\ y={\frac {1}{z}}$

$z'=-{\frac {y'}{y^{2}}};\ y'=-y^{2}z'$

$-y^{2}z'={\frac {y}{x}}+xy^{2}$

$z'=-{\frac {z}{x}}-x$

Dies ist eine lineare Dgl. 1.O. Sie kann, wie weiter oben gezeigt, gelöst werden. Dann wird noch rücksubstituiert.

Siehe auch  Bernoullische Differentialgleichung.

Riccatische Dgl.

Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) italienischer Mathematiker

Sie hat die Form: $y'=f(x)y+g(x)y^{2}+h(x)$

Die allgemeine Lösung einer Riccati-Dgl. ist im Allgemeinen nicht möglich. Ist jedoch eine partikuläre Lösung bekannt, z.B. durch Raten, so kann sie in eine lineare Dgl. überführt werden.

Für Details siehe z.B.  Riccatische Differentialgleichung.

Lineare Systeme 1. Ordnung

• 
  Josef Hoëné-Wronski (1776-1853) polnischer Mathematiker
• 
  Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783) französischer Mathematiker

Homogene

$\mathbf {y} '-\mathbf {A} (x)\mathbf {y} =\mathbf {0}$

Sei $\mathbf {y} _{1},\dots ,\mathbf {y} _{n}$ ein Fundamentalsystem von $\mathbf {y} '$. Dann lässt sich $\mathbf {y}$ in der Form $\mathbf {y} =C_{1}\mathbf {y} _{1}+\dots +C_{n}\mathbf {y} _{n}$ darstellen ($C_{i}={\text{konst.}}$).

Wie findet man nun ein solches Fundamentalsystem? Dafür gibt es verschiedene Ansätze. Hier sei nur das Reduktionsverfahren von d'Alembert erwähnt. Zu dessen Anwendung müssen aber schon linear unabhängige Lösungen bekannt sein. Für weitere Details siehe vorerst  Wronski-Determinante,  Fundamentalsystem (Mathematik) bzw. Furlan: Das gelbe Rechenbuch 3, Seite 89ff.

Inhomogene

$\mathbf {y} '-\mathbf {A} (x)\mathbf {y} =\mathbf {B} (x)$

Sei $\mathbf {y} _{p}$ eine (partikuläre) Lösung des inhomogenen linearen Systems und bilden $\mathbf {y} _{1},\dots ,\mathbf {y} _{n}$ ein Fundamentalsystem des zugehörigen homogenen linearen Systems. Dann ist $\mathbf {y} _{p}(x)+C_{1}\mathbf {y} _{1}+\dots +C_{n}\mathbf {y} _{n}$ eine Lösung des Systems ($C_{i}={\text{konst.}}$).

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