Ing Mathematik: Differentiation im Komplexen

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Existiert der Grenzwert $f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$, so ist $f$ in $z_{0}$ differenzierbar.

Beispiel: Ist $f(z)=z^{n}$ in $\mathbb {C}$ stetig differenzierbar?

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{n}-h^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{n-k}h^{k}-h^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}z^{n-k}h^{k-1}={\binom {n}{1}}z^{n-1}=nz^{n-1}$

Holomorphie

holo ... ganz; morph ... Gestalt

Eine komplexwertige Funktion $w=f(z)$ mit Definitionsbereich $U$ heißt holomorph (analytisch, regulär), falls sie an jeder Stelle von $U$ komplex differenzierbar ist.

Rechenregeln

• $(f+g)'=f'+g'$
• $(fg)'=f'g+fg'$
• $\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$
• $(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

• 
  Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) französischer Mathematiker
• 
  Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) deutscher Mathematiker

Sei $z=x+iy;\quad w=f(z)=u+iv$

Dann heißen

$u_{x}=v_{y};\quad u_{y}=-v_{x}$

die cauchy-riemannschen Dgln. Gelten diese Dgln. im gesamten Definitionsbereich, so ist w holomorph.

Beispiel: Ist $f(z)=\sin x\sin y-i\cos x\cos y$ holomorph?

$u=\sin x\sin y;\quad v=-\cos x\cos y$

$u_{x}=\cos x\sin y;\quad u_{y}=\sin x\cos y;\quad v_{x}=\sin x\cos y;\quad v_{y}=\cos x\sin y$

$u_{y}=-v_{x}$ gilt nicht allgemein! $\quad \sin x\cos y\neq -\sin x\cos y$, außer für $\sin x\cos y=0$

Die Funktion ist nicht holomorph!

Übung: Sind folgende Funktionen holomorph?

• $w=x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3})$
• $w=|z|$
• $w=\Re (z)$
• $w=\Im (z)$
• $w=\sin(z)$
• $w=z$
• $w={\bar {z}}$

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