Ing Mathematik: Differenziation im Rn

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Partielle Differenziation

 Partielle Ableitung: ... eine partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten...

Beispiel: $z=5x^{2}y$

${\frac {\partial z}{\partial x}}=z_{x}=10xy$

${\frac {\partial z}{\partial y}}=z_{y}=5x^{2}$

Allgemein: ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {a} )=f_{x_{i}}(\mathbf {a} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\dotsc ,a_{i}+h,\dotsc ,a_{n})-f(a_{1},\dotsc ,a_{i},\dotsc ,a_{n})}{h}}$

Jacobi-Matrix

• 
  Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) deutscher Mathematiker

Sei $\mathbf {f} (\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\end{bmatrix}}$

Dann ist

$\mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

die Ableitungsmatrix oder Jacobi-Matrix.

Übung: Berechnen Sie die Jacobi-Matrix für

• $f(x,y)=x^{2}-x\cos(2y)$
• $\mathbf {f} (\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}x_{1}\cos(x_{2}+x_{3})\\x_{1}^{2}-\mathrm {e} ^{x_{2}}+3x_{3}\end{bmatrix}}$

Siehe auch  Jacobi-Matrix

Tangentialebene

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\underbrace {\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})+\mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})} _{\mathbf {g} (\mathbf {x} )}+\mathbf {k} (\mathbf {x} )$

$\lim _{\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} _{0}}{\frac {|\mathbf {k} (\mathbf {x} )|}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}=0$

$\mathbf {f}$ kann durch die Tangentialebene angenähert werden. Diese Tangentialebene lässt sich viel einfacher berechnen, als die unter Umständen sehr komplizierte Funktion $\mathbf {f}$. Dies entspricht der Annäherung einer Kurve durch die Tangente im $\mathbb {R} ^{2}$ (z.B.  Linearisierung im Arbeitspunkt).

Beispiel: Wir berechnen die Tangentialebene für

$f(x,y)=x^{4}+y^{2};\;\mathbf {x} _{0}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}$.

$\mathbf {f} '={\begin{bmatrix}4x^{3}\\2y\end{bmatrix}}$

$\mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})={\begin{bmatrix}108\\2\end{bmatrix}}$

$f(\mathbf {x} _{0})=3^{4}+1^{2}=82$

$f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} _{0})+\mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+k(\mathbf {x} )=\dots =\underbrace {108x+2y-244} _{g(x,y)}+k(\mathbf {x} )$

Visuell dargestellt ergibt sich nachstehende Grafik. In Blau ist der Graph der Funktion $f(x,y)=x^{4}+y^{2}$ gehalten. In Orange ist die Tangentialebene im Punkt (3, 1) eingefärbt.

Siehe auch  Tangentialebene

Richtungsableitung

Richtungsableitung von $\mathbf {f}$ in Richtung $\mathbf {a}$ ($\mathbf {a}$ sei ein Einheitsvektor):

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {a} }}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {f} '(\mathbf {x} _{0})\mathbf {a}$

Für eine Funktion ergibt sich

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {a} }}f(\mathbf {x} _{0})=\mathbf {grad} f(\mathbf {x} _{0})\mathbf {a}$

Der Gradient zeigt übrigens in die Richtung des größten Wertanstiegs. Zum Gradienten siehe z.B. Ing_Mathematik:_Funktionen_mehrerer_Veränderlicher#Gradient.

Siehe auch  Richtungsableitung und  Gradient (Mathematik).

Rechenregeln

Es gelten im Wesentlichen dieselben Rechenregeln wie für den zweidimensionalen Fall.

Totales Differenzial

${\mathrm {d} }f=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\mathrm {d} }x_{i}$

Siehe auch  Totales Differential

Höhere partielle Ableitungen

Genauso wie im zweidimensionalen Fall kann man partielle Ableitungen wieder ableiten. Dies haben wir schon im Kapitel Ing_Mathematik:_Funktionen_mehrerer_Veränderlicher#Partielle_Ableitung kurz angesprochen. Insbesondere gilt auch der Satz von Schwarz.

Satz von der impliziten Funktion

Wann kann man die implizit gegebene Funktion $f(x,y)=0$ nach y auflösen? Gesucht ist also $y=g(x)$.

Beispiele:

• $x^{2}+y^{2}+10=0$ lässt sich im $\mathbb {R}$ nicht nach $y$ auflösen.
• $x^{2}+y=0$ lässt sich dagegen schon eindeutig auflösen.

Der Satz von der impliziten Funktion gibt nun Kriterien an, in denen sich die gegebene Funktion $f$ nach y auflösen lässt.

Dieser Satz ist einigermaßen komplex und sei hier nicht weiter ausgeführt. Aber prinzipiell kann man sagen, dass die Funktion auflösbar ist, wenn

$f(x_{0},y_{0})=0$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0$ gilt.

Beispiel:

$x^{2}+y=0$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=1\neq 0$.

D.h. diese Funktion lässt sich nach $y$ auflösen: $y=-x^{2}$. Dies gilt für alle $x,y$.

Siehe auch  Satz von der impliziten Funktion

Extremalprobleme

Ohne Nebenbedingungen

Es gelte für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion $f(x,y)$:

$f_{x}(x_{0},y_{0})=0;\quad f_{y}(x_{0},y_{0})=0;\quad f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}>0$

Dann ist der Punkt $(x_{0},y_{0})$

• eine echte Maximalstelle, wenn $f_{xx}(x_{0},y_{0})<0$
• eine echte Minimalstelle, wenn $f_{xx}(x_{0},y_{0})<0$

Siehe auch  Extremwert

Beispiel: $z=x^{2}+xy+y^{2}-3ax-3by$

$z_{x}=2x+y-3a=0$

$z_{y}=x+2y-3b=0$

Dies ist ein lineares Gleichungssystem und kann z.B. mittels Gauß gelöst werden. Oder auch mit einem CAS (siehe z.B. Maxima), was wir hier machen:

$z_{xx}=2;\;z_{yy}=2;\;z_{xy}=1$

$z_{xx}z_{yy}-z_{xy}^{2}=2\cdot 2-1^{2}=3>0$

Daraus folgt: Der Punkt an der Stelle $(2a-b,2b-a,-3(a^{2}+b^{2}-ab))$ ist ein Minimum.

Mit Nebenbedingungen

Siehe vorerst  Lagrange-Multiplikator

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