Ing Mathematik: Differenziation im Rn

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Partielle Differenziation

 Partielle Ableitung: ... eine partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten...

Beispiel: $z=5x^{2}y$

$\frac{\partial z}{\partial x}=z_x=10xy$

$\frac{\partial z}{\partial y}=z_y=5x^2$

Allgemein: $\frac{\partial f}{\partial x_i}(𝐚)=f_{x_i}(𝐚)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a_1,\dots ,a_i+h,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_i,\dots ,a_n)}{h}$

Jacobi-Matrix

• 
  Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) deutscher Mathematiker

Sei $𝐟(𝐱)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ f_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,x_2,\dots ,x_n)\end{array}\right]$

Dann ist

${𝐟}^{\prime }({𝐱}_0)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$

die Ableitungsmatrix oder Jacobi-Matrix.

Übung: Berechnen Sie die Jacobi-Matrix für

• $f(x,y)=x^2-x\cos (2y)$
• $𝐟(𝐱)=\left[\begin{array}{c}{x}_1\cos (x_2+x_3)\\ x_1^2-{\mathrm{e}}^{x_2}+3x_3\end{array}\right]$

Siehe auch  Jacobi-Matrix

Tangentialebene

$𝐟(𝐱)=\underset{𝐠(𝐱)}{\underbrace{𝐟({𝐱}_0)+{𝐟}^{\prime }({𝐱}_0)(𝐱-{𝐱}_0)}}+𝐤(𝐱)$

$\underset{𝐱\to {𝐱}_0}{lim}\frac{|𝐤(𝐱)|}{|𝐱-{𝐱}_0|}=0$

$𝐟$ kann durch die Tangentialebene angenähert werden. Diese Tangentialebene lässt sich viel einfacher berechnen, als die unter Umständen sehr komplizierte Funktion $𝐟$. Dies entspricht der Annäherung einer Kurve durch die Tangente im ${ℝ}^2$ (z.B.  Linearisierung im Arbeitspunkt).

Beispiel: Wir berechnen die Tangentialebene für

$f(x,y)=x^4+y^2;{𝐱}_0=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$.

${𝐟}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}4x^3\\ 2y\end{array}\right]$

${𝐟}^{\prime }({𝐱}_0)=\left[\begin{array}{c}108\\ 2\end{array}\right]$

$f({𝐱}_0)=3^4+1^2=82$

$f(𝐱)=f({𝐱}_0)+{𝐟}^{\prime }({𝐱}_0)(𝐱-{𝐱}_0)+k(𝐱)=\dots =\underset{g(x,y)}{\underbrace{108x+2y-244}}+k(𝐱)$

Visuell dargestellt ergibt sich nachstehende Grafik. In Blau ist der Graph der Funktion $f(x,y)=x^4+y^2$ gehalten. In Orange ist die Tangentialebene im Punkt (3, 1) eingefärbt.

Siehe auch  Tangentialebene

Richtungsableitung

Richtungsableitung von $𝐟$ in Richtung $𝐚$ ($𝐚$ sei ein Einheitsvektor):

$\frac{\partial }{\partial 𝐚}𝐟({𝐱}_0)={𝐟}^{\prime }({𝐱}_0)𝐚$

Für eine Funktion ergibt sich

$\frac{\partial }{\partial 𝐚}f({𝐱}_0)=𝐠𝐫𝐚𝐝f({𝐱}_0)𝐚$

Der Gradient zeigt übrigens in die Richtung des größten Wertanstiegs. Zum Gradienten siehe z.B. Ing_Mathematik:_Funktionen_mehrerer_Veränderlicher#Gradient.

Siehe auch  Richtungsableitung und  Gradient (Mathematik).

Rechenregeln

Es gelten im Wesentlichen dieselben Rechenregeln wie für den zweidimensionalen Fall.

Totales Differenzial

$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i$

Siehe auch  Totales Differential

Höhere partielle Ableitungen

Genauso wie im zweidimensionalen Fall kann man partielle Ableitungen wieder ableiten. Dies haben wir schon im Kapitel Ing_Mathematik:_Funktionen_mehrerer_Veränderlicher#Partielle_Ableitung kurz angesprochen. Insbesondere gilt auch der Satz von Schwarz.

Satz von der impliziten Funktion

Wann kann man die implizit gegebene Funktion $f(x,y)=0$ nach y auflösen? Gesucht ist also $y=g(x)$.

Beispiele:

• $x^2+y^2+10=0$ lässt sich im $ℝ$ nicht nach $y$ auflösen.
• $x^2+y=0$ lässt sich dagegen schon eindeutig auflösen.

Der Satz von der impliziten Funktion gibt nun Kriterien an, in denen sich die gegebene Funktion $f$ nach y auflösen lässt.

Dieser Satz ist einigermaßen komplex und sei hier nicht weiter ausgeführt. Aber prinzipiell kann man sagen, dass die Funktion auflösbar ist, wenn

$f(x_0,y_0)=0$ und $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ne 0$ gilt.

Beispiel:

$x^2+y=0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=1\ne 0$.

D.h. diese Funktion lässt sich nach $y$ auflösen: $y=-x^2$. Dies gilt für alle $x,y$.

Siehe auch  Satz von der impliziten Funktion

Extremalprobleme

Ohne Nebenbedingungen

Es gelte für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion $f(x,y)$:

$f_x(x_0,y_0)=0;f_y(x_0,y_0)=0;f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2>0$

Dann ist der Punkt $(x_0,y_0)$

• eine echte Maximalstelle, wenn $f_{xx}(x_0,y_0)<0$
• eine echte Minimalstelle, wenn $f_{xx}(x_0,y_0)<0$

Siehe auch  Extremwert

Beispiel: $z=x^2+xy+y^2-3ax-3by$

$z_x=2x+y-3a=0$

$z_y=x+2y-3b=0$

Dies ist ein lineares Gleichungssystem und kann z.B. mittels Gauß gelöst werden. Oder auch mit einem CAS (siehe z.B. Maxima), was wir hier machen:

$z_{xx}=2;z_{yy}=2;z_{xy}=1$

$z_{xx}{z}_{yy}-z_{xy}^2=2\cdot 2-1^2=3>0$

Daraus folgt: Der Punkt an der Stelle $(2a-b,2b-a,-3(a^2+b^2-ab))$ ist ein Minimum.

Mit Nebenbedingungen

Siehe vorerst  Lagrange-Multiplikator

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