Ing Mathematik: Distributionen

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Hier soll nur eine einfache und kurze Einführung in die Distributionentheorie erfolgen.

Einige wichtige Personen, die die Distributionentheorie entwickelten:

• 
  Jacques Hadamard (1865 - 1963) französischer Mathematiker
• 
  Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) britischer Physiker
• 
  Laurent Schwartz (1915 - 2002) französischer Mathematiker
• 
  Sergei Lwowitsch Sobolew (1908 - 1989) sowjetischer Mathematiker

Die Distributionentheorie ist noch eine relativ junge Wissenschaft. Erst 1950 wurde eine vollständige Theorie von L. Schwartz vorgestellt.

Funktional

$\langle f,\varphi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\varphi (t)\mathrm {d} t$

ist ein Funktional. $\varphi (t)$ wird Testfunktion genannt.

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\mathrm {d} t=1$

Die Delta-Distribution

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Die Delta-Distribution (auch Dirac-Funktion oder Stoßfunktion genannt)

$\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&{\mbox{falls }}\quad x=0,\\0,&{\mbox{falls }}\quad x\neq 0\end{cases}}$

ist keine Funktion im herkömmlichen Sinne.

Ausblend-Eigenschaft der Delta-Funktion:

$\delta (f)=\langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)$

Siehe  Delta-Distribution.

Träger

Der Träger (oder Support) von $f$ besteht aus der abgeschlossenen Menge

$\operatorname {Tr} (f)=\operatorname {supp} (f)={\overline {\{x\in A\mid f(x)\neq 0\}}}$

Siehe auch  Träger_(Mathematik).

Derivation

Integriert man

$\langle {\dot {f}},\varphi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\underbrace {\varphi (t)} _{u}\underbrace {{\dot {f}}(t)\mathrm {d} t} _{\mathrm {d} v}$

partiell, so folgt mit

$\mathrm {d} u=\mathrm {d} \varphi ,\;v=f$

$\langle {\dot {f}},\varphi \rangle =\varphi f|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }f{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t$

Da $\varphi (\infty )=\varphi (-\infty )=0$ folgt

$\langle {\dot {f}},\varphi \rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\dot {\varphi }}\mathrm {d} t=-\langle f,{\dot {\varphi }}\rangle$.

Die verallgemeinerte Ableitung wird auch als Derivierte $\mathrm {D} f$ bezeichnet.

$\langle \mathrm {D} f,\varphi \rangle =-\langle f,{\dot {\varphi }}\rangle$.

Siehe auch  Derivation (Mathematik)

Heaviside-Funktion

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• 
  Oliver Heaviside (1850 - 1925) britischer Mathematiker und Physiker

$\sigma (x)={\begin{cases}0:&x<0\\1:&x\geq 0\end{cases}}$

Die Derivierte der Heaviside-Funktion ist die Delta-Funktion: $\langle \mathrm {D} \sigma ,\varphi \rangle =\langle \delta ,\varphi \rangle$.

Dies lässt sich grafisch einfach zeigen:

Siehe auch  Heaviside-Funktion.

Siehe allgemein auch  Distribution (Mathematik), Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Bd. III; 5. Aufl., Vieweg+Teubner, 2009, Seite 263ff und Riemer, Seemann, Wauer, Wedig: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik; 3. Aufl., Springer Vieweg, 2019, Seite 185ff.

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