Ing Mathematik: Fourier-Transformation

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  Joseph Fourier (1768-1830) französischer Mathematiker und Physiker
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  Oben das Wellenpaket $f(t)$ im Zeitbereich, darunter das Amplitudenspektrum $|{\mathcal {F(\omega }})|$

Fourier-Transformation

$F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-j\omega t}f(t){\text{d}}t$

$f(t)$ ist die Originalfunktion, $F(\omega )$ die Bild-, Spektralfunktion oder Fouriertransformierte. Der Kern der Transformation ist ${\text{e}}^{-j\omega t}$. Das Integral läuft auf der rellen Achse von $-\infty$ bis $\infty$.

Inverse Fourier-Transformation

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{j\omega t}F(\omega ){\text{d}}\omega$

Die Schreibweise ist nicht einheitlich! Manchmal findet sich auch der Normierungsfaktor ${\frac {1}{2\pi }}$ bei der Fouriertransformation und nicht bei der Inversen. Auch ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ bei der Fourier- und inversen Fourier-Transformation ist nicht unüblich.

Alternative Schreibweise

$f(t)\circ \!-\!\bullet F(\omega )$

oder

$F(\omega )\bullet \!-\!\circ f(t)$

In Hagedorn/Hochlehnert: Technische Schwingungslehre; Harri Deutsch, 2012 findet sich auch die Schreibweise $f(t)\circ \!-F(\omega )$

Sätze und Korrespondenztabellen

Siehe z.B.  Fourier-Transformation#Tabelle_wichtiger_Fourier-Transformations-Paare. Auch in Formelsammlungen (z.B. Bronstein) oder Büchern zu Integraltransformationen (z.B. Burg/Haf/Wille/Meister: Bd III, Preuß, Föllinger) sind umfangreiche Korrespondenztabellen enthalten.

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