Ing Mathematik: Fourierreihen

Zurück zu Konforme Abbildungen | Hoch zu Gesamtinhaltsverzeichnis | Vor zu Einführung in Funktionaltransformationen

Allgemeines

• 
  Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), französischer Mathematiker und Physiker
• 
  P-periodische Funktion
• 
  Zur Sägezahnfunktion

Siehe auch  Periodische Funktion,  Fourierreihe.

Fourierreihe für eine $2\pi$-periodische Funktion:

$f(x)\approx {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)$

$a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cdot \cos \left(kx\right)\mathrm {d} x\quad {\text{für }}k\geq 0$

$b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cdot \sin \left(kx\right)\mathrm {d} x\quad {\text{für }}k\geq 1$

bzw. in komplexer Schreibweise

$f(x)\approx \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\mathrm {e} ^{jkx}$

$c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cdot \ \mathrm {e} ^{-jkx}\mathrm {d} x$

Gerade und ungerade Funktionen

Ist f gerade oder ungerade, so vereinfachen sich die Formeln für die Fourierkoeffizienten:

• 
  gerade Funktion, $f(x)=f(-x)$
• 
  ungerade Funktion, $f(x)=-f(-x)$

Wenn f gerade ist, so gilt:

$a_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(x)\cos(kx){\text{d}}x;\quad b_{k}=0$

Ist f ungerade, so gilt:

$b_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(kx){\text{d}}x;\quad a_{k}=0$

P-periodische Funktionen

$f(x)\approx {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{P}}x\right)+b_{k}\sin \left({\frac {2\pi k}{P}}x\right)\right)$

$a_{k}={\frac {2}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\cdot \cos \left({\frac {2\pi k}{P}}x\right)\mathrm {d} x$

$b_{k}={\frac {2}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\cdot \sin \left({\frac {2\pi k}{P}}x\right)\mathrm {d} x$

Für gerade/ungerade Funktionen gilt oben Gesagtes.

Alternierende Funktionen

• 
  Alternierende Funktion

Für eine alternierende Funktion gilt $f(x)=-f(x+\pi )$.

$a_{2k}=0;\quad {\text{für}}\quad k\in \mathbb {N} _{0}$

$b_{2k}=0;\quad {\text{für}}\quad k\in \mathbb {N} ^{+}$

$a_{2k+1}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(t)\cos((2k+1)t){\text{d}}t;\quad {\text{für}}\quad k\in \mathbb {N} _{0}$

$b_{2k+1}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(t)\sin((2k+1)t){\text{d}}t;\quad {\text{für}}\quad k\in \mathbb {N} ^{+}$

Herleitung

Zur Herleitung der Fourierkoeffizienten gibt es wie üblich mehrere Möglichkeiten. Wir lehnen uns hier an die Darstellungsweise in Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band 1; Vieweg+Teubner, 2011 an. Dazu ist es nötig die sogenannten Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen einzuführen. Dies machen wir als ersten Schritt.

Orthogonalitätsrelationen

$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\sin(kx){\text{d}}x=\int _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)\cos(kx){\text{d}}x={\begin{cases}0,&{\mbox{falls }}\quad n\neq k,\\\pi ,&{\mbox{falls }}\quad n=k\end{cases}}$

$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\cos(kx){\text{d}}x=0$

$n,k\in \mathbb {N}$

Diese Formeln kann man aus den Additionstheoremen von sin und cos und Substitution (siehe Burg, Haf, Wille, Meister; Seite 316f), oder aus Integraltafeln (z.B. Bronstein) gewinnen.

Herleitung der Fourierkoeffizienten

Wir gehen davon aus, dass die Approximation

$f(x)\approx {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)$

möglich ist und ersetzen im Folgenden das Approximationszeichen durch das Gleichheitszeichen. Mathematiker würden nicht davon ausgehen, sondern diese Beziehung beweisen. Dies machen wir hier aber nicht.

Nun multiplizieren wir diese Gleichung mit $\cos(nx)$ und integrieren von $-\pi$ bis $\pi$.

$\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx){\text{d}}x={\frac {a_{0}}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\cos(nx){\text{d}}x+b_{k}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(kx)\cos(nx){\text{d}}x\right)$

Auch hier gehen wir hemdsärmelig davon aus, dass $\sum$ und $\int$ vertauschbar sind und das Integral aufgesplittet werden kann.

Setzen wir die Orthogonalitätsrelationen ein, so erhalten wir (es bleibt nur das Integral für $n=k$, alle anderen werden 0):

$\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx){\text{d}}x=a_{n}\pi ;\quad n\in \mathbb {N} _{0}$

Und somit sind die $a_{n}$ hergeleitet. Man muss nur noch durch $\pi$ dividieren.

Nun multiplizieren wir die Approximation initial mit $\sin(nx)$, integrieren wieder und setzen die Orthogonalitätsrelationen ein. Dies sei hier aber nicht ausgeführt, sondern dem interessierten Leser zur Übung überlassen.

Im Endeffekt haben wir so die Fourierkoeffizienten hergeleitet. Genaueres zur Konvergenz der Fourierreihen siehe z.B. Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 430ff.

Herleitung der P-periodischen Darstellungsweise

Aus obiger Zeichnung ergibt sich

${\frac {2\pi }{t}}={\frac {P}{x}}$.

Somit ist $x={\frac {P}{2\pi }}t,\,t={\frac {2\pi }{P}}x,\,{\text{d}}x={\frac {P}{2\pi }}{\text{d}}t,\,{\text{d}}t={\frac {2\pi }{P}}{\text{d}}x$.

Die $2\pi$-periodische Darstellungsweise ist somit (wir führen hier $t$ ein):

$f(t)\approx {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left(kt\right)+b_{k}\sin \left(kt\right)\right)$

Einsetzen der obigen Formel für t

$f(x)\approx {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left({\frac {2k\pi }{P}}x\right)+b_{k}\sin \left({\frac {2k\pi }{P}}x\right)\right)$

Selbiges für die Fourierkoeffizienten

$a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cdot \cos \left(kt\right)\mathrm {d} t$

$b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cdot \sin \left(kt\right)\mathrm {d} t$

Wir benötigen noch die Umrechnung der Integrationsgrenzen:

$t=-\pi ={\frac {2\pi }{P}}x;\,x=-{\frac {P}{2}}$

Für $t=\pi$ ist der Rechengang identisch und wird nicht nochmal vorgeführt.

Und somit gilt

$a_{k}={\frac {2}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\cdot \cos \left({\frac {2\pi k}{P}}x\right)\mathrm {d} x$

$b_{k}={\frac {2}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\cdot \sin \left({\frac {2\pi k}{P}}x\right)\mathrm {d} x$

Man sieht, das Ganze ist keine Hexerei, wurde aber trotzdem explizit gezeigt, damit das Prozedure ein für alle Mal geklärt ist.

Herleitung der komplexen Schreibweise

Als ersten Schritt ersetzen wir die sin/cos-Schreibweise durch die e-Schreibweise:

$\sin(kx)={\frac {{\text{e}}^{jkx}-{\text{e}}^{-jkx}}{2j}}$

$\cos(kx)={\frac {{\text{e}}^{jkx}+{\text{e}}^{-jkx}}{2}}$

Die Fourierreihe ist somit

$f(x)\approx {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)=c_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\underbrace {\frac {a_{k}-jb_{k}}{2}} _{c_{k}}{\text{e}}^{jkx}+\underbrace {\frac {a_{k}+jb_{k}}{2}} _{c_{-k}}{\text{e}}^{-jkx}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}{\text{e}}^{jkx}$

Berechnung der Fourierkoeffizienten:

$a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\frac {e^{jkx}+{\text{e}}^{-jkx}}{2}}{\text{d}}x$

$b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\frac {e^{jkx}-{\text{e}}^{-jkx}}{2j}}{\text{d}}x$

$c_{k}={\frac {a_{k}-jb_{k}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\text{e}}^{-jkx}{\text{d}}x$

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die Funktion

Gesucht ist die Fourierreihenentwicklung.

Die Funktion $f(t)=t\,$ für $\,0<t\leq \pi$ ist gerade. Es gelten somit die Beziehungen:

$a_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(t)\cos(kt){\text{d}}t;\quad b_{k}=0$

$f(t)\approx {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left(kt\right)+b_{k}\sin \left(kt\right)\right)$

Für $k=0$: $\quad a_{0}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }t\,\underbrace {\cos(0)} _{1}{\text{d}}t={\frac {2}{\pi }}{\frac {t^{2}}{2}}|_{0}^{\pi }=\pi$

Für $k\in \mathbb {N} ^{+}$: $\quad a_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }t\,\cos(kt){\text{d}}t={\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {\cos(kt)}{k^{2}}}+{\frac {t\,\sin(kt)}{k}}\right]_{0}^{\pi }={\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {(-1)^{n}}{k^{2}}}+0-{\frac {1}{k^{2}}}-0\right]={\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {(-1)^{n}}{k^{2}}}-{\frac {1}{k^{2}}}\right]$

Somit:

$f(t)\approx {\frac {\pi }{2}}-{\frac {4}{\pi }}\left[{\frac {\cos t}{1^{2}}}+{\frac {\cos(3t)}{3^{2}}}+{\frac {\cos(5t)}{5^{2}}}+...\right]$

Beispiel 2

Jäger/Mastel/Knaebel stellen im Buch Technische Schwingungslehre; 9.Aufl., Springer, 2016 auf Seite 15 folgende Aufgabe. Gegeben sei die Funktion

$0\leq t<T/2{\text{:}}\quad f(t)=H$

$T/2\leq t\leq T{\text{:}}\quad f(t)={\frac {2H}{T}}\left(t-{\frac {T}{2}}\right)$

Gesucht: Diese Funktion ist durch eine Fourierreihe bis zur 3. Ordnung zu approximieren. Die Fourierkoeffizienten sind zu berechnen.

Diese Aufgabe sei nachfolgend gelöst.

$f(t)\approx {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}t\right)+b_{k}\sin \left({\frac {2\pi k}{T}}t\right)\right)$

$a_{k}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cdot \cos \left({\frac {2\pi k}{T}}t\right)\mathrm {d} t$

$b_{k}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cdot \sin \left({\frac {2\pi k}{T}}t\right)\mathrm {d} t$

Für $a_{0}$ ergibt sich

$a_{0}={\frac {2}{T}}\left[\int _{0}^{T/2}H{\text{d}}t+\int _{T/2}^{T}{\frac {2H}{T}}\left(t-{\frac {T}{2}}\right){\text{d}}t\right]={\frac {2}{T}}\left[Ht\right]_{0}^{T/2}+{\frac {4H}{T^{2}}}\left[{\frac {t^{2}}{2}}-{\frac {T}{2}}t\right]_{T/2}^{T}={\frac {3}{2}}H$

Weiter geht es für $a_{1},a_{2},a_{3}$

$a_{k}={\frac {2}{T}}\left[\int _{0}^{T/2}H\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}t\right){\text{d}}t+\int _{T/2}^{T}{\frac {2H}{T}}\left(t-{\frac {T}{2}}\right)\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}t\right){\text{d}}t\right]$

Diese Integrale kann man nun natürlich händisch mittels Substitution, partieller Integration oder Integraltafeln lösen. Diese Vorgehensweise ist aber mühsam und fehlerträchtig. Einfacher geht das mit einem Computer Algebra System (CAS). Dazu gibt es später in diesem Buch eigene Kapitel (z.B. Ing Mathematik: Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima oder Ing Mathematik: Python). Nachfolgend sei die Prozedur mittels Maxima gezeigt.

Für $k=3\;$ ergibt sich beispielsweise

2/T * (integrate(H*cos(2*%pi*3/T*t), t, 0, T/2) + integrate(2*H/T*(t-T/2)*cos(2*%pi*3/T*t), t, T/2, T)); 
Is T positive, negative or zero?

positive;
                                     2 H
(%o9)                               ──────
                                         2
                                    9 %pi

Wenn man für k in obigem Code noch 1 oder 2 einsetzt, so erhält man die Fourierkoeffizienten

$a_{1}={\frac {2H}{\pi ^{2}}};\quad a_{2}=0;\quad a_{3}={\frac {2H}{\pi ^{2}3^{2}}};\quad ...$

Gleiches für die $b_{k};\;k\in \mathbb {N} ^{+}$:

$b_{k}={\frac {2}{T}}\left[\int _{0}^{T/2}H\sin \left({\frac {2\pi k}{T}}t\right){\text{d}}t+\int _{T/2}^{T}{\frac {2H}{T}}\left(t-{\frac {T}{2}}\right)\sin \left({\frac {2\pi k}{T}}t\right){\text{d}}t\right]$

$b_{1}={\frac {H}{\pi }};\quad b_{2}=-{\frac {H}{2\pi }}\quad b_{3}={\frac {H}{3\pi }};\quad ...$

Und somit

$f(t)\approx {\frac {3H}{4}}+{\frac {2H}{\pi ^{2}}}\left(\cos \left({\frac {2\pi }{T}}t\right)+{\frac {1}{9}}\cos \left({\frac {6\pi }{T}}t\right)\right)+{\frac {H}{\pi }}\left(\sin \left({\frac {2\pi }{T}}t\right)-{\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {4\pi }{T}}t\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {6\pi }{T}}t\right)\right)$

Übungen

Leiten Sie die Fourierreihen für folgende $2\pi$-periodische Funktionen her

1. $y=x\quad {\text{für}}\quad 0<x<2\pi$
2. $y=a\quad {\text{für}}\quad 0<x<\pi ;\quad y=-a\quad {\text{für}}\quad \pi <x<2\pi ;$
3. $y=0\quad {\text{für}}\quad -\pi <x<0;\quad y=\sin {x}\quad {\text{für}}\quad 0<x<\pi$

Weblinks

• Embacher: Fourierreihen: Beispiele, Uni Wien, PDF
• Lichtenegger: Kapitel 10 Fourier-Reihen, TU Graz, PDF
• Fröhlich: Kurz-Skriptum zu Fourierreihen, HS Regensburg, PDF
• Steinicke: Fourierreihen, MU Leoben, PDF

Zurück zu Konforme Abbildungen | Hoch zu Gesamtinhaltsverzeichnis | Vor zu Einführung in Funktionaltransformationen