Ing Mathematik: Komplexe Abbildungen

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Seien $z$ und $w$ komplexe Zahlen: $z,w\in \mathbb {C}$.

Gaußsche Zahlenebene und riemannsche Zahlenkugel

Die gaußsche Zahlenebene ist schon aus Band 1 bekannt.

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}};\ \varphi =\arctan {\frac {b}{a}}$

$a=r\cos {\varphi };\ b=r\sin {\varphi }$

Darstellung als geordnetes Paar:

$z=(a,b)$

Darstellung in kartesischen Koordinaten oder Normaldarstellung:

$z=a+ib$

mit $i$ als imaginäre Einheit. $a$ ist der Realteil $\Re$ und $b$ der Imaginärteil $\Im$. Statt $a$ wird oft auch $x$, statt $b$ auch $y$ geschrieben.

Es gilt: $i^{2}=-1$

Darstellung in Polarkoordinaten:

$z=r{\text{e}}^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

$\varphi ={\text{arg}}(z)$ ... Argument von z; $r=|z|$ ... Betrag von z.

Das Argument ist nicht eindeutig bestimmt, da $\tan \varphi =\tan(\varphi +k\pi );\ k\in \mathbb {Z}$. Der Hauptwert des Arguments liegt im Bereich $-\pi <\varphi \leq \pi$.

Multiplikation von komplexen Zahlen:

$z_{1}z_{2}=rs{\text{e}}^{(\varphi +\psi )i}$

Winkel zwischen komplexen Zahlen: Dies kann mittels Skalarprodukt dargestellt werden. Damit keine Verwechslung mit der Multiplikation eintritt, sei das Skalarprodukt hier mittels $\odot$ bezeichnet.

$z\odot w=|z||w|\cos \angle \quad \Rightarrow \quad \angle =\arccos {\frac {z\odot w}{|z||w|}}=\arccos {\frac {xu+yv}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}$

Eine andere Möglichkeit der Darstellung von komplexen Zahlen ist die riemannsche Zahlenkugel.

• 
• 

N ist der Nordpol. Er entspricht dem unendlich fernen Punkt $\infty$. S = 0 ist der Südpol. Seien $\ A,B\$ Punkte auf der gaußschen Zahlenebene. Diesen Punkten entprechen $\alpha ,\beta$ auf der riemannschen Zahlenkugel. Die Umrechnung erfolgt via Schnitt einer Geraden mit einer Kugel.

${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ist die erweiterte komplexe Zahlenebene. Es gelten folgende Rechenregeln:

$z+\infty =\infty$

$z\cdot \infty =\infty$

${\frac {z}{\infty }}=0$

${\frac {z}{0}}=\infty$

Übungen:

• Stellen Sie $z=4-2i$ in Polarkoordinaten dar.
• Stellen Sie $z=12{\text{e}}^{\pi i}$ in kartesischen Koordinaten dar.

Elementare Funktionen

Potenzen und Wurzeln

$z^{n}=r^{n}{\text{e}}^{in\varphi }$

${\sqrt[{n\,}]{z}}={\sqrt[{n\,}]{r}}{\text{e}}^{i{\frac {\varphi +2k\pi }{n}}}\quad$ mit $\quad k=0,1,\dots ,n-1$

• 

Siehe auch  Wurzeln aus komplexen Zahlen.

Übung: Bestimmen Sie die Nullstellen von $f(z)=z^{5}-i$

Polynome

$w=f(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\ ;\quad a_{k}\in \mathbb {C}$

Rationale Funktionen

$f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$

$p(z),\ q(z)$ seinen Polynome, $q(z)\neq 0$.

Exponentialfunktion

${\text{e}}^{z}={\text{e}}^{x+iy}={\text{e}}^{x}{\text{e}}^{iy}=\underbrace {{\text{e}}^{x}\cos y} _{u}+i\underbrace {{\text{e}}^{x}\sin y} _{v}=u+iv=w$

Funktionalgleichung: ${\text{e}}^{z_{1}+z_{2}}={\text{e}}^{z_{1}}{\text{e}}^{z_{2}}$

Die Funktion ist in imaginärer Richtung periodisch.

• 
  Realanteil der komplexen Exponentialfunktion
• 
  Imaginäranteil der komplexen Exponentialfunktion

${\text{e}}^{2k\pi i}=\underbrace {\cos(2k\pi )} _{1}+i\underbrace {\sin(2k\pi )} _{0}=1$ für $\quad k\in \mathbb {Z}$

Logarithmus

$\log(z)=\log \left({r{\text{e}}^{i\varphi }}\right)=\log {|r|}+i(\varphi +2k\pi )$ mit $k\in \mathbb {Z}$. Der komplexe Logarithmus ist somit nicht eindeutig. Dies lässt sich grafisch mittels der riemannschen Fläche visualisieren:

Für $k=0$ ergibt sich der Hauptwert oder Hauptzweig des Logarithmus: ${\text{Log}}(z)=\log _{0}(z)=\log {|r|}+i\varphi$.

Einsehen lässt sich das so:

$\log \left({r{\text{e}}^{i\varphi }}\right)=\log \left(r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\right)$

$\cos(\varphi +2k\pi )=\cos \varphi \underbrace {\cos(2k\pi )} _{1}-\sin \varphi \underbrace {\sin(2k\pi )} _{0}=\cos \varphi$

$\sin(\varphi +2k\pi )=\sin \varphi \underbrace {\cos(2k\pi )} _{1}+\cos \varphi \underbrace {\sin(2k\pi )} _{0}=\sin \varphi$

Winkel- und Hyperbelfunktionen

$\sin z={\frac {{\text{e}}^{iz}-{\text{e}}^{-iz}}{2i}}$

$\cos z={\frac {{\text{e}}^{iz}+{\text{e}}^{-iz}}{2}}$

$\cos ^{2}z+\sin ^{2}z=1$

$\sinh z={\frac {{\text{e}}^{z}-{\text{e}}^{-z}}{2}}$

$\cosh z={\frac {{\text{e}}^{z}+{\text{e}}^{-z}}{2}}$

$\cosh ^{2}z-\sinh ^{2}z=1$

$\sin {iz}=i\sinh z$

$\sinh {iz}=i\sin z$

$\cos {iz}=\cosh z$

$\cosh {iz}=\cos z$

Bücher und Skripten

• Burg, Haf, Wille: Funktionentheorie; Teubner, 2004, ISBN 3-519-00480-1
• Furlan: Das gelbe Rechenbuch 3; Martina Furlan, 2012, ISBN 978-3-931645-02-1
• Günter, Kusmin: Aufgabensammlung zur höheren Mathematik 2; Harri Deutsch, 1993, ISBN 3-8171-1346-3
• Petry: Einführung in die Funktionentheorie; Wikibooks
• Schark, Overhagen: Mathematik - Ein Lehr- und Übungsbuch, Band 4; Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3-8171-1823-6
• Struckmeier: Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften (PDF); Technische Universität Hamburg-Harburg, 2012
• Timmann: Repetitorium der Funktionentheorie; Binomi, 2007, ISBN 978-3-923923-56-4

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