konform = bijektiv, winkel- und orientierungstreu.
Siehe auch Konforme Abbildung
Möbiustransformationen sind konforme Abbildungen der Zahlenkugel auf sich.
w
(
z
)
=
a
z
+
b
c
z
+
d
{\displaystyle w(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
mit
a
d
−
b
c
≠
0
{\displaystyle ad-bc\neq 0}
heißt Möbiustransformation oder lineare Transformation.
Grundtypen:
Verschiebung:
w
(
z
)
=
z
+
a
{\displaystyle w(z)=z+a}
Drehstreckung:
w
(
z
)
=
a
z
{\displaystyle w(z)=az}
Inversion:
w
(
z
)
=
1
z
{\displaystyle w(z)={\frac {1}{z}}}
e
=
a
d
−
b
c
;
f
2
=
e
{\displaystyle e=ad-bc;\quad f^{2}=e}
a
′
=
a
f
;
b
′
=
b
f
{\displaystyle a'={\frac {a}{f}};\quad b'={\frac {b}{f}}\ }
D.h.
a
′
d
′
−
b
′
c
′
=
1
{\displaystyle a'd'-b'c'=1}
w
(
z
)
=
a
′
z
+
b
′
c
′
z
+
d
′
{\displaystyle w(z)={\frac {a'z+b'}{c'z+d'}}}
Beispiel: Normiere
w
(
z
)
=
2
z
+
3
z
+
1
{\displaystyle w(z)={\frac {2z+3}{z+1}}}
a
=
2
;
b
=
3
;
c
=
1
,
d
=
1
{\displaystyle a=2;\ b=3;\ c=1,\ d=1}
e
=
a
d
−
b
c
=
2
−
3
=
−
1
{\displaystyle e=ad-bc=2-3=-1}
f
2
=
e
=
−
1
⇒
f
=
i
{\displaystyle f^{2}=e=-1\Rightarrow f=i}
a
′
=
2
i
=
−
2
i
;
b
′
=
3
i
=
−
3
i
;
c
′
=
d
′
=
1
i
=
−
i
{\displaystyle a'={\frac {2}{i}}=-2i;\ b'={\frac {3}{i}}=-3i;\ c'=d'={\frac {1}{i}}=-i}
a
′
d
′
−
b
′
c
′
=
(
−
2
i
)
(
−
i
)
−
(
−
3
i
)
(
−
i
)
=
2
i
2
−
3
i
2
=
1
{\displaystyle a'd'-b'c'=(-2i)(-i)-(-3i)(-i)=2i^{2}-3i^{2}=1}
Normierte Form:
w
(
z
)
=
−
2
i
z
−
3
i
−
i
z
−
i
{\displaystyle w(z)={\frac {-2iz-3i}{-iz-i}}}
Gegeben seinen die Punkte
z
1
,
z
2
,
z
3
,
w
1
,
w
2
,
w
3
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},w_{1},w_{2},w_{3}}
z
−
z
1
z
−
z
3
z
2
−
z
3
z
2
−
z
1
=
w
−
w
1
w
−
w
3
w
2
−
w
3
w
2
−
w
1
{\displaystyle {\frac {z-z_{1}}{z-z_{3}}}{\frac {z_{2}-z_{3}}{z_{2}-z_{1}}}={\frac {w-w_{1}}{w-w_{3}}}{\frac {w_{2}-w_{3}}{w_{2}-w_{1}}}}
Beispiel:
z
1
=
1
;
z
2
=
0
;
z
3
=
−
1
{\displaystyle z_{1}=1;\ z_{2}=0;\ z_{3}=-1}
w
1
=
1
;
w
2
=
i
;
w
3
=
−
1
{\displaystyle w_{1}=1;\ w_{2}=i;\ w_{3}=-1}
z
−
1
z
+
1
0
+
1
0
−
1
⏟
−
1
=
w
−
1
w
+
1
i
+
1
i
−
1
⏟
−
i
{\displaystyle {\frac {z-1}{z+1}}\underbrace {\frac {0+1}{0-1}} _{-1}={\frac {w-1}{w+1}}\underbrace {\frac {i+1}{i-1}} _{-i}}
z
−
1
z
+
1
=
w
−
1
w
+
1
i
{\displaystyle {\frac {z-1}{z+1}}={\frac {w-1}{w+1}}i}
(
z
−
1
)
(
w
+
1
)
=
(
w
−
1
)
(
z
+
1
)
i
{\displaystyle (z-1)(w+1)=(w-1)(z+1)i}
z
w
−
w
+
z
−
1
=
i
(
z
w
−
z
+
w
−
1
)
{\displaystyle zw-w+z-1=i(zw-z+w-1)}
w
(
z
−
1
)
+
(
z
−
1
)
=
i
w
(
z
+
1
)
−
i
(
z
+
1
)
{\displaystyle w(z-1)+(z-1)=iw(z+1)-i(z+1)}
w
(
z
−
1
−
i
(
z
+
1
)
)
=
(
1
−
z
)
−
i
(
z
+
1
)
{\displaystyle w(z-1-i(z+1))=(1-z)-i(z+1)}
w
=
(
1
−
z
)
−
i
(
z
+
1
)
(
z
−
1
)
−
i
(
z
+
1
)
{\displaystyle w={\frac {(1-z)-i(z+1)}{(z-1)-i(z+1)}}}
w
=
−
z
(
1
+
i
)
+
1
−
i
z
(
1
−
i
)
−
1
−
i
=
−
z
(
1
+
i
)
+
(
1
−
i
)
z
(
1
−
i
)
−
(
1
+
i
)
=
z
+
i
z
i
+
1
{\displaystyle w={\frac {-z(1+i)+1-i}{z(1-i)-1-i}}={\frac {-z(1+i)+(1-i)}{z(1-i)-(1+i)}}={\frac {z+i}{zi+1}}}
Beispiel: Abbildung der unteren Halbebene auf das Innere des Einheitskreises
Es gilt wie oben berechnet:
z
1
=
1
;
z
2
=
0
;
z
3
=
−
1
{\displaystyle z_{1}=1;\ z_{2}=0;\ z_{3}=-1}
w
1
=
1
;
w
2
=
i
;
w
3
=
−
1
{\displaystyle w_{1}=1;\ w_{2}=i;\ w_{3}=-1}
w
=
z
+
i
z
i
+
1
{\displaystyle w={\frac {z+i}{zi+1}}}
z.B. für
z
=
−
i
{\displaystyle z=-i\quad }
w
=
0
{\displaystyle \quad w=0}
Eine Inverse von
a
z
+
b
c
z
+
d
{\displaystyle \quad {\frac {az+b}{cz+d}}\quad }
w
(
z
)
=
d
z
−
b
−
c
z
+
a
{\displaystyle \quad w(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}
Sei
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
elliptisch:
a
+
d
∈
R
;
|
a
+
d
|
<
2
{\displaystyle a+d\in \mathbb {R} ;|a+d|<2}
parabolisch:
a
+
d
∈
R
;
|
a
+
d
|
=
2
{\displaystyle a+d\in \mathbb {R} ;|a+d|=2}
hyperbolisch:
a
+
d
∈
R
;
|
a
+
d
|
>
2
{\displaystyle a+d\in \mathbb {R} ;|a+d|>2}
loxodromisch:
a
+
d
∉
R
{\displaystyle a+d\notin \mathbb {R} }
Siehe auch Möbiustransformation
Nikolai Jegorowitsch Joukowski (1847-1921) russischer Mathematiker und Aerodynamiker Siehe z.B. Kutta-Schukowski-Transformation
f
(
z
)
=
1
2
(
z
+
1
z
)
;
z
≠
0
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right);\ z\neq 0}
f
(
z
)
=
f
(
1
z
)
;
z
≠
0
{\displaystyle f(z)=f\left({\frac {1}{z}}\right);z\neq 0}
Die Joukowski-Funktion ist vor allem in der Strömungsmechanik von Interesse. Sie ist eine konforme Abbildung, die Kreise in der komplexen Ebene in Formen transformiert, die Tragflügelprofilen ähneln.
Konforme Abbildung
Konforme Abbildung (Tragflügel und Kreis)
August Ferdinand Möbius (1790-1868) deutscher Mathematiker
Inversion
