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Pierre-Simon Laplace (1749-1827) französischer Mathematiker und Physiker
Laplace-Transformation

Wikipedia hat einen Artikel zum Thema:

Laplace-Transformation

Laplace-Transformation

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t,\qquad s\in \mathbb {C}$

$\mathrm {e} ^{-st}$ ist der Kern der Transformation. Das Integral läuft auf der rellen Achse von $0$ bis $\infty$ .

Es gibt auch eine zweiseitige Laplace-Transformation, die von Föllinger als ${\mathcal {L}}_{II}$ (bzw. bei Wikipedia als ${\mathcal {B}}$ ) bezeichnet wird. Der einzige Unterschied zur normalen (einseitigen) Laplace-Transformation besteht darin, dass dort bei $-\infty$ gestartet wird.

Inverse Laplace-Transformation

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F\right\}(t)={\frac {1}{2\pi \mathrm {j} }}\int _{\gamma -\mathrm {j} \infty }^{\gamma +\mathrm {j} \infty }\mathrm {e} ^{st}F(s)\,\mathrm {d} s={\begin{cases}f(t)&{\text{für }}t\geq 0\\0&{\text{für }}t<0\end{cases}}$

Alternative Schreibweise

$f(t)\circ \!-\!\bullet F(s)$

oder

$F(s)\bullet \!-\!\circ f(t)$

Rücktransformation

Mittels Korrespondenztabellen
Mittels Residuensatz
Mittels Inverser Laplace-Transformation
etc.

Sätze und Korrespondenztabellen

Siehe z.B. Korrespondenztabellen. Auch in Formelsammlungen (z.B. Bronstein) oder Büchern zu Integraltransformationen (z.B. Burg/Haf/Wille/Meister: Bd III, Preuß, Föllinger) sind umfangreiche Korrespondenztabellen enthalten. Bronson/Costa: Differential Equations; 5th ed., Mc Graw Hill, 2022 enthält ebenfalls eine Korrespondenzliste mit vielen Einträgen zur Laplace-Transformation.

Additionssatz oder Linearitätsregel

${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}=\alpha F(s)+\beta G(s);\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,{\text{konst.}}$

Der Beweis oder die Herleitung ist einfach:

${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\int _{0}^{\infty }(\alpha f(t)+\beta g(t)){\text{e}}^{-st}{\text{d}}t=\alpha \underbrace {\int _{0}^{\infty }f(t){\text{e}}^{-st}{\text{d}}t} _{F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}+\beta \underbrace {\int _{0}^{\infty }g(t){\text{e}}^{-st}{\text{d}}t} _{G(s)={\mathcal {L}}\{g(t)\}}=\alpha F(s)+\beta G(s)$

Die Linearität besteht also aus zwei Komponenten:

Überlagerung oder Superposition: $\varphi (f+g)=\varphi (f)+\varphi (g)$
Verstärkung: $\varphi (\alpha f)=\alpha \varphi (f)$

Faltung

$(f*g)(t)=\sigma (t)\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau ){\text{d}}\tau$ .

$(f*g)(t)\circ \!-\!\bullet F(s)G(s)$

Siehe auch Faltung (Mathematik).

Der Beweis für die Gültigkeit der obigen Korrespondenz findet sich z.B. in Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation; VDE, 2021, Seite 58ff

Verschiebungssatz

Es gibt zwei Verschiebungssätze im Originalbereich. Von praktischer Bedeutung ist aber nur die Verschiebungsregel nach rechts. Diese soll nachfogend bereitgestellt werden.

$f(t-T)\circ \!-\!\bullet {\text{e}}^{-sT}F(s)$

Herleitung:

${\mathcal {L}}\{f(t-T)\}=\int _{0}^{\infty }f(t-T){\text{e}}^{-st}{\text{d}}t$

Subst.:

$u=t-T;\quad t=u+T;\quad {\text{d}}t={\text{d}}u$

$\int _{-T}^{\infty }f(u)_{-T}{\text{e}}^{-s(u+T)}{\text{d}}u={\text{e}}^{-sT}\int _{-T}^{\infty }f(u){\text{e}}^{-su}{\text{d}}u$

Es sei nun $f(t)=0$ für $t<0$ . Dies gilt oft für reale Systeme. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so wird die Verschiebungsregel komplizierter (siehe z.B. Föllinger).

${\text{e}}^{-sT}\underbrace {\int _{0}^{\infty }f(u){\text{e}}^{-su}{\text{d}}u} _{F(s)}$

Somit ist die vereinfachte Verschiebungsregel hergeleitet.

Übung:Versuchen Sie die allgemeine Formel ( $f(t)\neq 0$ für $t<0$ ) selbst herzuleiten. Als Resultat sollten Sie

$f(t-T)\circ \!-\!\bullet {\text{e}}^{-sT}\left[F(s)+\int _{-T}^{0}f(u){\text{e}}^{-su}{\text{d}}u\right]\quad$ für $\quad T>0$

erhalten.

Ähnlichkeitssatz

$f(at)\circ \!-\!\bullet {\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right);\quad a>0$

Herleitung mit der Substitution $u=at;\quad {\text{d}}t={\frac {du}{a}}$

$\int _{0}^{\infty }f(at)e^{-st}{\text{d}}t={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\infty }f(u)e^{-{\frac {su}{a}}}{\text{d}}u={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)$

Dämpfungssatz

${\text{e}}^{-at}f(t)\circ \!-\!\bullet F(s+a)$

Differentiation

Gegeben sei eine Funktion $f(t)$ . Gesucht ist die Laplace-Transformierte für die Ableitung.

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=\int _{0}^{\infty }f'(t){\text{e}}^{-st}{\text{d}}t$ .

Partielle Integration:

$u={\text{e}}^{-st};\quad dv=f'{\text{d}}t;\quad {\text{d}}u=-se^{-st}{\text{d}}t;\quad v=f$

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=uv|_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }v{\text{d}}u=[{\text{e}}^{-st}f]_{0}^{\infty }+s\int _{0}^{\infty }f{\text{e}}^{-st}{\text{d}}t=0-f(+0)+s{\mathcal {L}}\{f(t)\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(+0)$

oder

$f'(t)\circ \!-\!\bullet sF(s)-f(+0)$ .

Allgemein gilt:

$f^{(n)}(t)\circ \!-\!\bullet s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}f^{(k)}(+0)s^{n-k-1}$ .

Übung: Versuchen Sie diese allgemeine Formel selbst herzuleiten. Gelingt das nicht, dann lohnt sich ein Blick z.B. in das entsprechende Buch von Otto Föllinger.

Man muss nun zwischen gewöhnlicher und verallgemeinerte Ableitung unterscheiden. Die bisher gezeigte Variante bezieht sich auf die gewöhnliche Ableitung. Bei technischen Systemen tritt aber die verallgemeinerte Ableitung (Derivierte) auf. Hier gilt dann

$Df(t)\circ \!-\!\bullet sF(s)-f(-0)$ .

Dies macht nur einen Unterschied, wenn $f(t)$ an der Stelle 0 nicht stetig ist. Ist $f(t)$ an der Stelle $t=-0$ gleich 0, dann gilt sogar die sehr leicht zu merkende Form

$Df(t)\circ \!-\!\bullet sF(s)$

$D^{2}f(t)\circ \!-\!\bullet s^{2}F(s)$

usw.

Integration

$\int _{0}^{t}f(\tau ){\text{d}}\tau \circ \!-\!\bullet {\frac {1}{s}}F(s)$

Anfangswert- und Endwertsatz

Anfangswertsatz:

$\lim _{t\rightarrow +0}f(t)=\lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)$

Endwertsatz:

$\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{s\rightarrow 0}sF(s)$

Herleitung einiger Korrespondenzen

Sprungfunktion

Oliver Heaviside (1850-1925) britischer Mathematiker und Physiker
Sprungfunktion

Gegeben sei die Sprung- oder Heaviside-Funktion:

$\sigma (t)={\begin{cases}0;&t<0\\1;&t>0\end{cases}}$

Gesucht ist die Laplace-Transformierte:

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\sigma (t)\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }1\cdot \mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t$

Dieses uneigentliche Integral lässt sich einfach mittels Substitution lösen.

$u=-st;\quad dt=-{\frac {1}{s}}{\text{d}}u$

$-{\frac {1}{s}}\int {\text{e}}^{u}{\text{d}}u=-{\frac {1}{s}}{\text{e}}^{-st}|_{0}^{\infty }=-{\frac {1}{s}}\left[\underbrace {{\text{e}}^{-\infty }} _{\rightarrow 0}-\underbrace {{\text{e}}^{0}} _{1}\right]={\frac {1}{s}}$

$\sigma (t)\circ \!-\!\bullet {\frac {1}{s}}\quad$ oder einfacher $\quad 1\circ \!-\!\bullet {\frac {1}{s}}$

Rampenfunktion

Rampenfunktion

Gegeben sei die Rampenfunktion:

$f(t)={\begin{cases}0;&t<0\\t;&t>0\end{cases}}$

Gesucht ist die Laplace-Transformierte:

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }t\cdot \mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t$

Die Lösung kann mittels partieller Integration und Anwendung der Regel von de L'Hospital erfolgen. Versuchen Sie dies eigenständig durchzuführen (Übung)! Es sollte

$t\circ \!-\!\bullet {\frac {1}{s^{2}}}$

herauskommen.

Exponentialfunktion

$f(t)={\text{e}}^{at};\quad a\in \mathbb {C}$

${\mathcal {L}}(s)=\int _{0}^{\infty }{\text{e}}^{at}{\text{e}}^{-st}{\text{d}}t=\int _{0}^{\infty }{\text{e}}^{-(s-a)t}{\text{d}}t$

Substitution:

$u=-(s-a)t;\quad dt=-{\frac {1}{s-a}}{\text{d}}u$

Nach einigen elementaren Rechenschritten (führen Sie diese explizit aus (Übung)) folgt die Korrespondenz

${\text{e}}^{at}\circ \!-\!\bullet {\frac {1}{s-a}}$ .

Sinus und Cosinus

$f(t)=\sin {\omega t}$

Den Sinus durch die e-Funktion ausdrücken:

${\mathcal {L}}\{\sin {\omega t}\}={\mathcal {L}}\left\{{\frac {{\text{e}}^{j\omega t}-{\text{e}}^{-j\omega t}}{2j}}\right\}$

Linearitätsregel:

${\frac {1}{2j}}{\mathcal {L}}\left\{{\text{e}}^{j\omega t}\right\}-{\frac {1}{2j}}{\mathcal {L}}\left\{{\text{e}}^{-j\omega t}\right\}$

Einsetzen der Laplace-Korrespondenz für die Exponentialfunktion:

${\frac {1}{2j}}{\frac {1}{s-j\omega }}-{\frac {1}{2j}}{\frac {1}{s+j\omega }}$

Auf gemeinsamen Nenner bringen (diesen Zwischenschritt können Sie als Übung ausführen) und somit folgt unmittelbar:

$\sin \omega t\circ \!-\!\bullet {\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$

Übung:: Leiten Sie die Laplace-Korrespondenz für $f(t)=\cos \omega t$ her. Die Lösung finden Sie in jeder tauglichen Formelsammlung bzw. in den einschlägigen Büchern zu den Integraltransformationen. Aber mit den Kenntnissen, die Sie bisher erlangt haben, sollten Sie das auch selbstständig zusammenbringen.

Dirac-Funktion

Paul Dirac (1902-1984) britischer Physiker
Dirac-Funktion

Symbolische Darstellung der Dirac-Funktion:

$\delta (t)={\begin{cases}0;&t\neq 0\\\infty ;&t=0\end{cases}}$

Darstellung nach Schark/Overhagen:

$\delta (t)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {1}{\tau }}\left(\sigma (t)-\sigma (t-\tau )\right)$

Laplace-Korrespondenz:

$\delta (t)\circ \!-\!\bullet 1$

Herleitungsskizze:

Es gilt: $\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{0}^{\tau }\delta (t){\text{d}}t=1$

Somit folgt:

$\int _{0}^{\infty }\delta (t){\text{e}}^{-st}dt=\underbrace {\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{0}^{\tau }\delta (t)\underbrace {{\text{e}}^{-st}} _{\rightarrow {\text{e}}^{0}=1}{\text{d}}t} _{1}+\underbrace {\lim _{\tau \rightarrow 0}\int _{\tau }^{\infty }0} _{0}=1$

Herleitung siehe auch Föllinger: Regelungstechnik; 10.Aufl., Hüthig, Seite 598ff oder Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation; 11. Aufl., VDE, Seite 22ff. Auch Schark/Overhagen behandeln diese Thematik in ihrem Buch Mathematik - Ein Lehr- und Übungsbuch, Band 4; 2. Aufl., Harri Deutsch auf den Seiten 334 bis 335.

Die Dirac-Funktion ist keine herkömmliche Funktion, sondern eine verallgemeinerte Funktion (die z.B. als Distribution darstellbar ist).

Anwendung in der Regelungstechnik

Beispiel zum Anfangs- und Endwertsatz

LTI-Glied
Beispiel für Anfangs- und Endwertsatz

Gegeben sei ein LTI-Glied mit $Y(s)=G(s)U(s)$ . $G(s)={\frac {1}{s+2}}$ . Das Eingangssignal $U(s)$ sei der Einheitssprung $\sigma (t)$ . Es werde der Anfangswert des Ausgangssignals berechnet.

$\lim _{t\rightarrow 0}y(t)=\lim _{s\rightarrow \infty }sY(s)=\lim _{s\rightarrow \infty }s\underbrace {\frac {1}{s+2}} _{G(s)}\underbrace {\frac {1}{s}} _{U(s)}=\lim _{s\rightarrow \infty }{\frac {1}{s+2}}=0$