Ing Mathematik: Linienintegrale

Linienintegrale (auch Kurvenintegrale genannt) werden in der Literatur unterschiedlich eingeführt. So unterscheidet Wikipedia ( Kurvenintegral) zwischen Kurvenintegral 1. und 2. Art. Auch Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik; 7. Aufl., Harri Deutsch, 2008 kennt Kurvenintegrale 1. und 2. Art, sowie zusätzlich Kurvenintegrale allgemeiner Art. In Schark, Overhagen: Mathematik - Ein Lehr- und Übungsbuch, Band 4, 2. Aufl., Harri Deutsch, 2008 findet sich die Unterscheidung zwischen orientiertem und nichtorientiertem Kurvenintegral. Burg, Haf, Wille, Meister: Vektoranalysis; 2. Aufl., Springer, 2012 führen gleich 5 verschiedene Kurvenintegrale ein (skalare Kurvenintegrale über einem Skalarfeld und über einem Vektorfeld, sowie vektorielle Kurvenintegrale).

Ein orientiertes Kurvenintegral (lt. Wikipedia ein Kurvenintegral 2. Art) ist

$\int_{C} 𝐕 d 𝐫 = \int_{t_{0}}^{t_{1}} 𝐕 \frac{d 𝐫}{d t} d t = \int_{t_{0}}^{t_{1}} 𝐕 \dot{𝐫} d t$

Ein nichtorientiertes Kurvenintegral (lt. Wikipedia ein Kurvenintegral 1. Art) ist

$\int_{C} 𝝓 d s = \int_{t_{0}}^{t_{1}} ϕ \frac{d s}{d t} d t = \int_{t_{0}}^{t_{1}} ϕ | \frac{d 𝐫}{d t} | d t = \int_{t_{0}}^{t_{1}} ϕ | \dot{𝐫} | d t$

orientiertes Kurvenintegral
nichtorientiertes Kurvenintegral

Für geschlossene Kurven $C$ schreibt man auch $\int_{C} = \oint_{C}$ .

Beispiel: In Burg, Haf, Wille, Meister: Vektoranalysis findet sich auf Seite 93 folgende Aufgabe, aber (leider) keine Lösung. Der Lösungsweg soll deshalb hier gezeigt werden. Gegeben ist

$\int_{K} (x_{1}^{2} x_{2} d x_{1} + (x_{1} - x_{2} x_{1}) d x_{2}); K : x_{1} = 4 t, x_{2} = 3 t; (0 \leq t \leq 1)$

Lösung:

$d x_{1} = 4 d t; d x_{2} = 3 d t$

$𝐫 = [\begin{matrix} 4 t \\ 3 t \end{matrix}]; \dot{𝐫} = [\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}]$

$| \dot{𝐫} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$

$\int_{0}^{1} (16 t^{2} \cdot 3 t \cdot 5 \cdot 4 + (4 t - 3 t \cdot 4 t) \cdot 5 \cdot 3) d t = {[960 \frac{t^{4}}{4} + 60 \frac{t^{2}}{2} - 180 \frac{t^{3}}{3}]}_{0}^{1} = 210$

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