Ing Mathematik: Quaternionen

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William Rowan Hamilton (1805-1865) irischer Mathematiker und Physiker
Olinde Rodrigues (1795-1851) französischer Mathematiker
Gimbal Lock: Wenn der Nickwinkel (grün) 90° beträgt, haben Drehungen um die Roll- (blau) und die Gierachse (violett) denselben Effekt. Eine Rotation um die Rollachse des ursprünglichen Koordinatensystems ist nicht mehr möglich. (Quelle: Gimbal Lock)
Einordnung der Quaternionen

Eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen sind die hyperkomplexen Zahlen. Dazu gehören auch die Quaternionen. Die Quaternionen werden auch als hamiltonsche Zahlen $ℍ$ bezeichnet. Entdeckt wurden die Quaternionen ursprünglich jedoch von Olinde Rodrigues. Quaternionen haben z.B. in der Roboterkinematik, Computergrafik und der Steuerung von Satelliten Bedeutung. Mit ihnen können 3D-Drehungen ohne Gimbal Lock (kardanische Blockade) beschrieben werden, und das speicher- und recheneffizient, sowie numerisch stabil.

Allgemeines

Quaternion: $q = a + i b + j c + k d \in ℍ$

mit den imaginären Einheiten: $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$

$a, b, c, d \in ℝ$

$a$ sei der Realteil oder Skalarteil einer Quaternion.

$i b + j c + k d$ wird auch Imaginärteil oder Vektorteil genannt.

Die Konjugierte der Quaternion ist: $\overline{q} = a - i b - j c - k d$

Die Länge oder Norm des Quaternions: $| q | = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}}$

Es gilt:

$i j = k; j k = i; k i = j; j i = - k; k j = - i; i k = - j$

Es seinen nun: $q_{1} = a_{1} + i b_{1} + j c_{1} + k d_{1}$ und $q_{2} = a_{2} + i b_{2} + j c_{2} + k d_{2}$

Addition zweier Quaternionen: $q_{1} + q_{2} = (a_{1} + a_{2}) + i (b_{1} + b_{2}) + j (c_{1} + c_{2}) + k (d_{1} + d_{2})$

Aufgabe: Multiplizieren sie zwei Quaternionen $q_{1} q_{2} = (a_{1} + i b_{1} + j c_{1} + k d_{1}) (a_{2} + i b_{2} + j c_{2} + k d_{2})$

Die Multiplikation ist i. A. nicht kommutativ: $q_{1} q_{2} \neq q_{2} q_{1}$

Inverse einer Quaternion: $q^{- 1} = \frac{\overline{q}}{| q |^{2}}$

Einheitsquaternion (Versor): |q| = 1

Reines Quaternion: $q = 0 + i b + j c + k d$

Skalarprodukt: $⟨ q_{1}, q_{2} ⟩ := a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} + d_{1} d_{2}$

Aufgabe: Leiten Sie das Kreuzprodukt $q_{1} \times q_{2}$ her. Siehe dazu ev. auch Quaternion#Kreuzprodukt oder recherchiere im Internet (z.B. mittels KI).

Trigonometrische Form der Quaternion: $q = r (\cos φ + n_{q} \sin φ) = r (\cos φ + (i n_{x} + j n_{y} + k n_{z}) \sin φ)$ mit dem Einheitsvektor $n_{q} = \frac{(b, c, d)^{T}}{| (b, c, d)^{T} |}$ . $φ$ ist die Hälfte des Drehwinkels im 3D-Raum.

Drehungen

Drehung um den Winkel $Θ$ um die Achse $n_{q}$ : $q = | q | (c o s (\frac{Θ}{2}) + n_{q} \sin (\frac{Θ}{2}))$ .

Transformationsformel eines Vektors $v$ : $v^{'} = q v q^{- 1} = q v \overline{q}$ .

Zahlenbeispiel: Gegeben sei ein Punkt $P = (1, 0, 0)$ . Die Drehachse sei die z-Achse $n = (0, 0, 1)$ . Der Drehwinkel sei 90° oder im Bogenmaß $\frac{π}{2}$ .

$q = 1 (\cos \frac{π}{4} + (0, 0, 1)^{T} \sin \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + k)$

$\overline{q} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - k)$

$p = i$

$p^{'} = q p \overline{q} = \frac{1}{2} (1 + k) \cdot i (1 - k) = \frac{1}{2} (i + j + j - i) = j$ .

Dies entspricht dem Punkt $P^{'} = (0, 1, 0)^{T}$ .

Das obige Zahlenbeispiel kann natürlich auch rechnergestützt bearbeitet werden, z.B. mit Python und dem externen Python-Modul pyquaternion:

from pyquaternion import Quaternion
import numpy as np

q = Quaternion(axis=[0.0, 0.0, 1.0], angle=np.pi/2.)
p = np.array([1.0, 0.0, 0.0])
p_str = q.rotate(p)

np.set_printoptions(suppress=True)
print(p_str)

Ausgabe:

[0. 1. 0.]

Es gibt auch noch andere Python-Bibliotheken, die zum Rechnen mit Quaternionen gedacht sind. Diese seien hier aber nicht aufgezählt. Bei Interesse recherchieren Sie ggf. im WWW.

Einige Begriffe im Zusammenhang mit 3D-Rotationen in der Computergrafik:

LERP (Linear Interpolation): Dient dazu, um sanfte Drehungen zwischen zwei Orientierungen zu berechnen. Bewirkt aber unrunde Bewegungen.
SLERP (Spherical LERP): Ergibt flüssigere Bewegungen, ist aber aufwändiger.

Biquaternionen

William Kingdon Clifford (1845-1879) britischer Mathematiker

Mittels Biquaternionen lassen sich allgemeine Starrkörperbewegungen (Rotation + Verschiebung) beschreiben. Sie wurden von William Kingdon Clifford eingeführt und sind eine Verallgemeinerung der Quaternionen.

Biquaternion: $q = a + i b + j c + k d$

mit den imaginären Einheiten: $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$

$a, b, c, d \in ℂ$

Andere Möglichkeiten Drehungen zu beschreiben

Roll, Pitch, Yaw
zu den Richtungskosinussen
Leonhard Euler (1707-1783) Schweizer Mathematiker und Physiker
Gerolamo Cardano (1501-1576) italienischer Mathematiker und Arzt

Eulersche Winkel und Kardanwinkel ( Roll, Pitch, Yaw)
Richtungskosinus
Euler-Rodrigues-Formel
Drehung um beliebige Achse

Einige Weblinks

Gedruckte Bücher

Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik; 7.Auflage, Harri Deutsch, 2008, Seite 294ff
Foley: Four-Dimensional Angles: The Mathematics of Quaternions; epubli, 2026

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