Ing Mathematik: Singularitäten

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Isolierte Singularitäten

Siehe auch  Isolierte Singularität

• 
  Gammafunktion, links Polstellen.
• 
  Plot der Funktion ${\text{e}}^{\frac {1}{z}}$. Wesentliche Singularität im Nullpunkt

Hebbare Singularitäten

$\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)\$ existiert , z.B.

$f(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {\sin z}{z}}\underbrace {=} _{\text{l'Hospital}}\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {\cos z}{1}}=1$

Pole

$\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=\infty$, z.B.

$f(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {1}{z}}$

Wesentliche Singularitäten

$\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)$ existiert nicht, z.B.

$f(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\text{e}}^{\frac {1}{z}}$

Übungen

Bestimmen Sie die singulären Punkte:

• $f(z)={\frac {z}{z^{2}+1}}$
• $f(z)={\frac {2}{z-z^{3}}}$
• $f(z)={\frac {5}{\sin z}}$
• $f(z)=5\sin {\frac {1}{z}}$

Residuen

Sei $f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}$ eine Laurentreihe. Das Residuum ist dann

${\text{Res}}(f,z_{0})=a_{-1}$

Berechnung bei

• einer hebbaren Singularität: ${\text{Res}}(f,z_{0})=a_{-1}=0$
• einem Pol n-ter Ordnung: ${\text{Res}}(f,z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {{\text{d}}^{n-1}}{{\text{d}}z^{n-1}}}[(z-z_{0})^{n}f(z)]$
• einem Pol 1-ter Ordnung: ${\text{Res}}(f,z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)$
• einer Quotientenfunktion $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$ ​ mit einfacher Nullstelle von $h(z)$ bei $z_{0}$​: ${\text{Res}}(f,z_{0})={\frac {g(z_{0})}{h'(z_{0})}}$
• einer wesentlichen Singularität: Entwicklung in eine Laurentreihe und daraus $a_{-1}$ ablesen.

Siehe auch  Residuum (Funktionentheorie).

Beispiel 1: Berechnen Sie das Residuum von $f(z)={\frac {e^{z}}{z^{2}+1}}\$ an der Stelle $z=i$

Polstellen: $z^{2}+1=0$

$z=\pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {i^{2}}}=\pm i$

Dies ist ein Pol 1.Ordnung.

${\text{Res}}(f,z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)$

${\text{Res}}(f,i)=\lim _{z\rightarrow i}(z-i){\frac {e^{z}}{z^{2}-1}}=\lim _{z\rightarrow i}(z-i){\frac {e^{z}}{(z-i)(z+i)}}={\frac {e^{i}}{2i}}$

Beispiel 2: Residuum von $f(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}(z+2)}};\ z=1$

Pole:

• $z=1$ ... Pol 2. Ordnung
• $z=-2$ ... Pol 1. Ordnung

$z_{0}=1;\ n=2$

${\text{Res}}(f,1)=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {1}{(2-1)!}}{\frac {{\text{d}}^{2-1}}{{\text{d}}z^{2-1}}}[(z-z_{0})^{2}f(z)]=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}(z-1)^{2}{\frac {1}{(z-1)^{2}(z+2)}}=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}{\frac {1}{(z+2)}}$

${\text{Res}}(f,1)=\lim _{z\rightarrow 1}\left[-{\frac {1}{(z+2)^{2}}}\right]=-{\frac {1}{3^{2}}}=-{\frac {1}{9}}$

Beispiel 3: Berechne das Residuum von $f(z)={\frac {z}{z-1}};\ z=1$

Einfacher Pol bei $z=1$

Quotientenfunktion: ${\text{Res}}(f,1)={\frac {g(1)}{h'(1)}}={\frac {1}{1}}=1$

Beiepiel 4: Berechnen Sie das Residuum von $f(z)={\text{e}}^{\frac {1}{z}};\ z=0$

Es liegt eine wesentliche Singularität vor. Die Laurentreihe lautet:

$f(z)={\text{e}}^{\frac {1}{z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!z^{n}}}=1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\dots$

Der Koeffizient von $z^{-1}$ ist $a_{-1}={\text{Res}}(f,0)=1$

Übungen: Berechnen Sie die Residuen von

• $f(z)=z{\text{e}}^{1/z};\ z=0$
• $f(z)={\frac {e^{z}}{(z-1)^{2}}};\ z=1$
• $f(z)={\frac {1-\cos z}{z^{2}}};\ z=0$

Residuensatz

$\oint _{C}f(z){\text{d}}z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}{\text{Res}}(f,z_{k})$

Siehe auch  Residuensatz.

Beispiel: Berechne das Integral $f(z)=\int _{|z|=1}{\frac {1}{z^{2}+1}}{\text{d}}z$

Einfache Pole: $z=\pm i$

Beide Pole sind innerhalb $|z|=1$

Residuen mittels Quotientenfunktion:

${\text{Res}}(f,i)={\frac {g(i)}{h'(i)}}={\frac {1}{2z}}={\frac {1}{2i}}=-{\frac {1}{2}}i\quad$ und

${\text{Res}}(f,-i)={\frac {g(-i)}{h'(-i)}}={\frac {1}{2z}}={\frac {1}{-2i}}={\frac {1}{2}}i\quad$

Residuensatz:

$\oint _{C}f(z){\text{d}}z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}{\text{Res}}(f,z_{k})=2\pi i({\frac {1}{2}}i-{\frac {1}{2}}i)=0$

Übung: Berechnen Sie $\int _{|z|=5}{\frac {{\text{e}}^{2z}}{z^{2}(z^{2}+2z+2)}}{\text{d}}z$

Partialbruchzerlegungen

Siehe vorerst  Partialbruchzerlegung.

Gamma-Funktion

Siehe vorerst  Gammafunktion.

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