Ing Mathematik: Taylor im Rn

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Die Taylor-Formel einer Veränderlichen

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  Brook Taylor (1685-1731) britischer Mathematiker
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  Colin Maclaurin (1698-1746) schottischer Mathematiker
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  Oskar Schlömilch (1823-1901) deutscher Mathematiker
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  Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) französischer Mathematiker
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  Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) französischer Mathematiker

Taylorreihe von $f$ mit Entwicklungsstelle $a$:

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\dotsb +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x)$

$R_{n}$ ist das Restglied.

Die oft verwendete Restgliedformel von Lagrange lautet:

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

Diese Restgliedformel ist ein Spezialfall der Restgliedformel von Schlömilch. Des Weiteren hat auch Cauchy eine Restgliedformel entwickelt, die ebenfalls ein Spezialfall der schlömilchschen Formel ist. Diese seinen hier aber nicht angegeben. Wer sie braucht oder daran Interesse hat, der sei z.B. auf Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band I: Analysis, 9. Auflage, Springer, Seite 238f verwiesen.

Eine Taylorreihe um den Entwicklungspunkt $a=0$ wird auch maclaurinsche Reihe genannt.

Taylor-Formel für Funktionen von zwei Veränderlichen

${\begin{aligned}f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+{\frac {1}{1!}}\left(f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\right)+\\+{\frac {1}{2!}}\left(f_{xx}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{2}+2f_{xy}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0})+f_{yy}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})^{2}\right)+\cdots \\\cdots +{\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{n-j}(y-y_{0})^{j}+R_{n}\end{aligned}}$

Das Restglied lautet:

$R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}\sum _{j=0}^{n+1}{\binom {n+1}{j}}{\frac {\partial ^{n+1}f}{\partial x^{n-j+1}\partial y^{j}}}(x_{0}+\xi (x-x_{0}),y_{0}+\xi (y-y_{0}))(x-x_{0})^{n-j+1}(y-y_{0})^{j};\quad 0\leq \xi \leq 1$

Siehe auch Bronstein: Taschenbuch der Mathematik; 7. Aufl., Harri Deutsch, Seite 452 und [1].

Taylor-Formel für Funktionen von m Veränderlichen

Siehe vorerst z.B. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik; Seite 453 oder Burg, Haf, Wille, Meister: Analysis, Seite 488ff. Siehe auch  Taylorreihe#Mehrdimensionale_Taylorreihe und  Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen

Beispiele

Beispiel 1: Die kinetische Energie

Wie kommt man vom relativistischen $E=mc^{2}$ auf die klassische kinetische Energie $E_{\text{kin}}=m{\frac {v^{2}}{2}}$? Antwort: „Mit einer klassischen Taylorreihe“.

Gemäß der Speziellen Relativität ist die Energie E(v) einer mit Geschwindigkeit v fliegenden Masse m die Summe aus der berühmten Ruheenergie E und der kinetischen Energie, deren klassische Approximation wir nun nachrechnen.

Zur Erläuterung siehe z.B. auch  Relativistische_Masse.

Es sei

$\gamma (v)=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

der  Lorentz-Faktor.

Lt.  Relativistische_Masse#Motivation_für_die_Verwendung_der_relativistische_Masse gilt:

$E_{\text{kin}}(v)=mc^{2}(\gamma -1)=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)$

$E_{\text{kin}}(0)=mc^{2}(1-1)=0$

$E_{\text{kin}}'(v)=mc^{2}\left(-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(-{\frac {2v}{c^{2}}}\right)\right)$

$E_{\text{kin}}'(0)=0$

$E_{\text{kin}}''(v)=mc^{2}\left(-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(-{\frac {2}{c^{2}}}\right)-{\frac {3}{4}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}}\left(-{\frac {2v}{c^{2}}}\right)^{2}\right)$

$E_{\text{kin}}''(0)=m$

Somit lautet die Entwicklung in eine Taylorreihe um den Punkt 0:

$E_{\text{kin}}(v)=E_{\text{kin}}(0)+E_{\text{kin}}'(0){\frac {v}{1!}}+E_{\text{kin}}''(0){\frac {v^{2}}{2!}}=0+0+{\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {mv^{2}}{2}}$

Das ist das gesuchte Ergebnis. Gültig ist es für $v\ll c$.

Beispiel 2: Zweidimensionale Funktion

Es werde die Funktion $f(x,y)={\text{e}}^{x}\sin y$ mit einer Taylorreihe um den Punkt $(0,0)$ approximiert.

Lösungsmöglichkeit 1: Mit der zweidimensionalen Taylorformel

$f(x,y)={\text{e}}^{x}\sin y$

$f(0,0)={\text{e}}^{0}\cdot 0=0$

$f_{x}(x,y)={\text{e}}^{x}\sin y;\quad f_{y}(x,y)={\text{e}}^{x}\cos y$

$f_{x}(0,0)=1\cdot 0=0;\quad f_{y}(0,0)=1\cdot 1=1$

$f_{xx}(x,y)={\text{e}}^{x}\sin y;\quad f_{yy}(x,y)=-{\text{e}}^{x}\sin y;\quad f_{xy}={\text{e}}^{x}\cos y$

$f_{xx}(0,0)=1\cdot 0=0;\quad f_{yy}(0,0)=0;\quad f_{xy}(0,0)=1$

$f(x,y)=0+{\frac {1}{1!}}\left(1\cdot y\right)+{\frac {1}{2!}}\left(0+2xy+0)\right)+\cdots =y+xy+\cdots$

Lösungsmöglichkeit 2: Produkt aus den eindimensionalen Taylorentwicklungen

Die Taylorreihen für ${\text{e}}^{x}$ und $\sin y$ lassen sich einfach mit der Formel für die eindimensionale Taylorreihe erstellen (man mache dies übungsweise). Alternativ kann man sie auch aus einer Formelsammlung gewinnen oder man weiß sie auswendig. Nur die Terme die wir brauchen sind angeschrieben.

${\text{e}}^{x}=1+x+\cdots$

$\sin y=y\mp \cdots$

Das Produkt ergibt die selbe Formel wie oben:

${\text{e}}^{x}\sin y=(1+x)(y)+\cdots =y+xy+\cdots$

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