Kompendium zu verschiedenen Aspekten der Strengen Logik/ Anfang

Die Leküre dieses Buches ersetzt die Lektüre Grundlagen der Strengen Logik von Walther Brüning nicht.

Vorwort

Eine Übersicht über die vier Stufen gibt das folgende dargestellte Bild. Für jede höhere Stufe ergeben sich mehr mögliche Gleichstellen, beginnend mit $0$, $4$ und $12$, und endend mit $32$ Gleichstellen, wenn man alle möglichen Geltungswertnormalformeln der zugehörigen Stufe rechnet und jeweils die niedrigere Stufe verdoppelt.

Übersicht über die ersten vier Stufen der Strengen Logik in einem Bild durch Untermengen dargestellt.

Die Einleitung behandelt die Grundlagen der zweiten und dritten Stufe anhand des Beispiels der Syllogistik - der Wurzel der Strengen Logik. Wie im Buch von Walther Brüning, sei hier auf Ganzformeln verzichtet - also Formeln, die die Information auf höherer Stufe zusammenfassen. Sie ist noch sehr nahe am Original, aber leider unentbehrlich für dieses Buch. Von unvollständigen Formeln können wir später die Analyse vollständiger Formeln aufbauen.

Reine Strenge Syllogistik – kategorische Urteile innerhalb der triadisch verlängerten dyadischen Stufe

Dieser Abschnitt behandelt die Reine Strenge Syllogistik. Individuen, oder präziser Existenzbestimmungen, können später eingeführt werden (Angewandte Logik), können aber auch später mit weiterer Notation der Reinen Logik umrissen werden.

Kategorische Urteile

Grundlagen

Syllogistische Argumente haben traditionell eine bestimmte Form: Zuerst werden zwei kategorische Urteile behauptet (Prämissen). Aus diesen folgt ein drittes kategorisches Urteil (Konklusion). Ein kategorisches Urteil setzt dabei immer zwei Begriffe in eine Beziehung. Dabei werden in der traditionellen Syllogistik vier Typen von Urteilen hinsichtlich der Beziehung zwischen Subjekt (S) und Prädikat (P) unterschieden. Brüning sieht die kategorischen Urteile als bestimmte Formeln zweiter Stufe, also zweier Sachverhalte.

• 
  SaP
• 
  SeP
• 
  SiP
• 
  SoP

Aus der Annahme der Urteile lassen sich Aussagen über die Erfülltheit der Begriffe herleiten: Die universellen Urteile behaupten, dass alle S P (SaP), bzw. ~P (SeP) sind. Das heißt also, dass ein S ohne P (SaP) bzw. ohne ~P (SeP) nicht existiert. Die partikulären Urteile behaupten, dass einige S P (SiP), bzw. ~P (SoP) sind. Aus den Urteilen lassen sich daher Wertebereiche negativer Geltung (N, für Negation), (A, für Affirmation) und unbestimmter Geltung (u) ableiten. So sagt SaP, dass es kein S ohne P geben kann (negative Geltung), es trifft jedoch zunächst keine Aussage darüber, ob es S und P gibt oder P ohne S. SiP hingegen trifft eine positive Aussage, nämlich dass es S gibt, die P sind (oder das S und P gemeinsam auftreten), lässt aber die Fragen, ob es auch S ohne P gibt oder P ohne S, unbestimmt. Die nebenstehende Grafik veranschaulicht dies für alle vier Urteilstypen (negative Geltung wird rot, positive grün dargestellt).

Es ergibt sich folgende tabellarische Übersicht über die Festlegungen, die die vier Urteilstypen jeweils über S und P treffen:

	SaP	SeP	SiP	SoP
S, P	u	N	A	u
~S, P	u	u	u	u
S, ~P	N	u	u	A
~S, ~P	u	u	u	u

Existenzbedingungen

Alle syllogisitsch benutzten Begriffe müssen positiver Geltung zugänglich sein. Alle Begriffe eines kategorischen Urteils (S, P, ~S und ~P) müssen also positiv zugänglich sein. Bei SaP und SeP gibt es Wertebereiche negativer Geltung. Wäre zum Beispiel die erste Stelle bei SaP nun negativer Geltung, gäbe es für S keine Möglichkeit affirmativer Geltung, das heißt es bleibt nur noch affirmative Geltung übrig. Analog ist mit den anderen Klassen zu verfahren. Die kategorischen Urteile können nun so umschrieben werden:

	S P	~S P	S ~P	~S ~P
SaP	A	u	N	A
SeP	N	A	A	u
SiP	A	u	u	u
SoP	u	u	A	u

Unmittelbare Schlüsse

Es lassen sich eine Reihe von unmittelbaren Schlüssen (Subalternation (zum Beispiel SaP $\to$ SiP), Konversion, Obversion, Kontraposition, Partielle Inversion, Inversion; Kontradiktorischer Widerspruch, Konträrer Widerspruch, Subkontrarietät) ziehen.

Die Konversion wird unter anderem benötigt, um von einer syllogistischen Figur zu einer anderen zu kommen, weshalb sie hier gelb hinterlegt ist.

Ausgangsurteil (S•P)	a AuNA	e NAAu	i Auuu	o uuAu
Konversion (P•S)	i ANuA	e NAAu	i Auuu	- uAuu
Obversion (S•~P)	e NAAu	a AuNA	o uuAu	i Auuu
Kontraposition (~P•~S)	a AuNA	o uAAN	- uuuA	o uuAu
Partielle Inversion (~S•P)	o uAAN	i ANuA	- uAuu	- uuuA
Inversion (~S•~P)	i ANuA	o uAAN	- uuuA	- uAuu

Einführung eines dritten Begriffes für das syllogistische Schließen

Innerhalb eines Syllogismus werden insgesamt drei verschiedene Begriffe verwendet:

1. der Oberbegriff (lateinisch terminus major), der im Obersatz und auf der rechten Seite der Konklusion, d. h. als deren Prädikat (P) vorkommt;
2. der Unterbegriff (lateinisch terminus minor), der im Untersatz und auf der linken Seite der Konklusion, d. h. als deren Subjekt (S) vorkommt; und
3. der Mittelbegriff (M) (lateinisch terminus medius), der im Obersatz und im Untersatz, nicht aber in der Konklusion vorkommt.

Es muss also ein dritter Begriff eingeführt werden. Deshalb sind die logischen Formeln (also die Formeln für die kategorischen Urteile) je Urteil (Obersatz, Untersatz, Konklusion) zu verlängern und die Geltungswerte A und N werden ab nun klein geschrieben (a und n). Man kann dazu auch sagen, dass es triadisch (d. h. drei Sachverhalte sind miteinander verbunden) verlängerte dyadische (d. h. zwei Sachverhalte sind miteinander verbunden) Formeln sind. Es bilden sich sogenannte Gleichstellen.

	S M P	~S M P	S ~M P	~S ~M P	S M ~P	~S M ~P	S ~M ~P	~S ~M ~P
MaP	a	a	u	u	n	n	a	a
MeP	n	n	a	a	a	a	u	u
MiP	a	a	u	u	u	u	u	u
MoP	u	u	u	u	a	a	u	u
SaM	a	u	n	a	a	u	n	a
SeM	n	a	a	u	n	a	a	u
SiM	a	u	u	u	a	u	u	u
SoM	u	u	a	u	u	u	a	u
SaP	a	u	a	u	n	a	n	a
SeP	n	a	n	a	a	u	a	u
SiP	a	u	a	u	u	u	u	u
SoP	u	u	u	u	a	u	a	u

Regeln für das syllogistische Schließen

Ein Syllogismus besteht aus drei zweistelligen (dyadischen) Sachverhaltsverbindungen (zwei Prämissen und eine Konklusion). Also wird nur innerhalb derselben Stufe geschlussfolgert.

Walther Brüning: „Das [...] syllogistische Schlußverfahren kann auf die folgenden beiden Regeln zurückgeführt werden:

1. Ist von zwei a-Gleichstellen der Prämissen eine blockiert (durch ein n der anderen Prämisse), so muß das a der anderen Gleichstelle in die Konklusion eingehen (Die entsprechenden Gleichstellen der Konklusion sind also a).
2. Sind zwei Gleichstellen der Konklusion von den Prämissen her durch mindestens ein n blockiert, so müssen sie auch in der Konklusion beide n sein.“

Quelle: Grundlagen der strengen Logik

Nun ist es möglich zwei zufällige kategorischen Urteile zu behaupten (Synthese der Prämissen) und davon mögliche Informationen durch das Prinzip der Identität abzuleiten (Analyse der Konklusion). Zuerst ist noch sicherzustellen, dass sich die Prämissen nicht widersprechen, indem beide Regeln gleichzeitig angewandt würden. Aber das ist in der traditionellen Logik für kein Prämissenpaar der Fall.

Beispiele für streng logisches Schließen

Übersicht über die gültigen Syllogismen der traditionellen Syllogistik

Überblick über die gültigen Syllogismen in der traditionellen Syllogistik

Der Mittelbegriff kann entweder Subjekt oder Prädikat jeder Prämisse sein, wo er auftritt. Die unterschiedlichen Positionen des Ober-, Unter- und Mittelbegriffs erzeugen eine Klassifikation, bekannt als Figur. Unter der Voraussetzung, dass die Konklusion in jedem Falle S-P ist, sind die vier Figuren:

	Figur 1	Figur 2	Figur 3	Figur 4
Erste Prämisse	M–P	P–M	M–P	P–M
Zweite Prämisse	S–M	S–M	M–S	M–S

Figur 1

Barbara und Barbari

MaP: a a u u n n a a

SaM: a u n a a u n a

SaP: a u a u n a n a

SiP: a u a u u u u u

Die Schlüsselstellen sind fett und kursiv markiert. Wenn ein a markiert ist, kommt die erste Regel zur Anwendung. Wenn zwei n markiert sind, kommt die zweite Regel zur Anwendung. Der Rest der Konklusion ist unbestimmt (u).

Celarent und Celaront

MeP: n n a a a a u u

SaM: a u n a a u n a

SeP: n a n a a u a u

SoP: u u u u a u a u

Figur 2

Baroco

PaM: a a n n u u a a

SoM: u u a u u u a u

SoP: u u u u a u a u

Übersicht über die gültigen Syllogismen der vollständigen Syllogistik

Die traditionelle Syllogistik verwendet die Klassifikation der unterschiedlichen Figuren. Lässt man diese Fallen, muss man eine Normalform einführen, erhält dafür aber mit den zusätzlichen vier kategorischen Urteilen ã-, ë-, ï- und õ-Urteil statt 24 Syllogismen 48 Syllogismen.

	S P	~S P	S ~P	~S ~P
SãP	A	N	u	A
SëP	u	A	A	N
SïP	u	u	u	A
SõP	u	A	u	u

Überblick über die gültigen Syllogismen in der vollständigen Syllogistik

Ende der Einleitung

Die vollständige Syllogistik behandelt also alle möglichen kategorischen Urteile.

Was können wir aber folgern, wenn wir statt kategorischen Urteilen nur vollständige Formeln zulassen? Also nur Ausgangsformeln (also verlängerten Formeln) mit bestimmten Stellen? (also ohne unbestimmten Stellen). Das führt zur vollständigen Analyse der Geltungswertformeln dritter Stufe im nächsten Kapitel.

Neben den soeben gemachten Schlussfolgerung für Teilformeln (innerhalb der triadischen Stufe), interessieren wir uns dort auch für Ganzformeln, die die Informationen der niedrigeren Stufe auf der höheren zusammenfassen. Die Skizze von Walther Brüning dient als Vorlage - genauso, wie seine Definition der Ableitungsregeln dafür. Das heißt, die Gleichstellen werden dann verschwinden und die nächsthöhere Stufe kann dann als Ausgang genommen (also synthetisiert) werden. Zum Glück gibt Walther Brüning einen guten Vorschlag zur Benennung solcher neu entstandenen Formeln, denn es werden 256 Ganzformeln ( $=2^{\left(2^{3}\right)}$ ) sein - was er auch genau so in seinem Buch festhält. Aber zuvor seien im nächsten Kapitel noch einmal die 16 ( $=2^{\left(2^{2}\right)}$ ) vollständigen Ausgangsformeln wiedergegeben, also die vollständigen Ganzformeln zweiter Stufe.