Kompendium zu verschiedenen Aspekten der Strengen Logik/ Ende

Zusammenfassung

Es wurde lange diskutiert, ob zwischen ${\textstyle NP}$-Problemen und ${\textstyle P}$-Problemen eine Unterscheidung besteht. Das lässt sich mithilfe der Strengen Logik beweisen. Es ergibt sich, dass ${\textstyle NP}$-Probleme in der Reinen Logik eine Entsprechung der Angewandten Logik haben.

Allgemeines.

Das angegebene Schlussverfahren kann auf den Modus ponens angewandt werden:

’In den verschiedenen Abschnitten der strengen Speziellen Logik werden jeweils einige zusätzliche Aspekte herausgestellt, die sich in dem entsprechenden Zusammenhang als besonders nützlich erweisen.

Das ist zum Beispiel der Fall bei den Bedingungsschlüssen der Prädikatenlogik […].

Es ist aber wichtig zu sehen, daß alle diese Aspekte grundsätzlich für die gesamte Reine Logik Gültigkeit haben. […]’ (siehe das Buch, S.100)

Bedingungsschlüsse.

’Die Bedingungen, von denen die Schlüsse hier ausgehen, sind in Sachverhaltsverbindungen formuliert, deren Geltungswertformeln neben Unbestimmtheitszeichen nur ${\textstyle N}$ enthalten.’ (siehe das Buch, Seite 104).

Modus Ponens.

Die erste Prämisse ist eine Bedingung dyadischer (d. h. zwei Sachverhalte sind miteinander verbunden) Stufe (deshalb Großbuchstabe). Es handelt sich um einen Bedingungssatz (Es gibt kein ${\textstyle F}$ ohne ${\textstyle G}$.). Die zweite Prämisse ist eine dyadisch verlängerte henadische (d. h. einen Sachverhalt betreffend) Formel (deshalb Kleinbuchstaben und Gleichstellen); ebenso die Konklusion. (Das unterstrichen geschriebene ${\textstyle a}$ geht in die Konklusion ein, weil das andere ${\textstyle a}$ der Gleichstelle von einem ${\textstyle N}$ blockiert wird.). Das hochgestellte ${\textstyle c}$ bedeutet condicio (siehe v. a. Seite 106):

Modus Ponens in der Strengen Logik

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
	${\textstyle G}$	${\textstyle G}$	${\textstyle \sim G}$	${\textstyle \sim G}$
${\textstyle F\supset ^{c}G}$	${\textstyle u}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$
${\textstyle F}$	${\textstyle {\underline {a}}}$	${\textstyle u}$	${\textstyle a}$	${\textstyle u}$
${\textstyle G}$	${\textstyle a}$	${\textstyle a}$	${\textstyle u}$	${\textstyle u}$

Die Spalten sind nach den verschiedenen möglichen Kombinationen getrennt. Die Verlängerung der Geltungswertformeln der Prämisse ${\textstyle F}$ bzw. der Konklusion ${\textstyle G}$ ergibt sich durch die Einführung des jeweils zweiten Begriffes ${\textstyle G}$ bzw. ${\textstyle F}$. Ihr Wert bleibt deshalb bei der Erweiterung gleich (es bilden sich Gleichstellen). ${\textstyle a}$ – kurz für Affirmation (entspricht wahr); ${\textstyle N}$ – kurz für Negation (entspricht falsch); ${\textstyle u}$ – kurz für unbestimmt; ${\textstyle \sim X}$ – kurz für Komplement von ${\textstyle X}$.

Das wäre also ein Beispiel für einen Bedingungsschluss.

Umschreibungen

${\textstyle P}$-Probleme

${\textstyle P}$-Probleme können mit der Puren Logik so umschrieben werden:

${\textstyle P}$-Probleme

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
	${\textstyle G}$	${\textstyle G}$	${\textstyle \sim G}$	${\textstyle \sim G}$
${\textstyle F}$ und ${\textstyle \sim F}$ nicht	${\textstyle {\underline {a}}}$	${\textstyle n}$	${\textstyle a}$	${\textstyle n}$
${\textstyle F\cap ^{c}G}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$
${\textstyle G}$ und ${\textstyle \sim G}$ nicht	${\textstyle a}$	${\textstyle a}$	${\textstyle n}$	${\textstyle n}$
${\textstyle Ganzformel}$	${\textstyle A}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$

Sie sind also bidirektional (Genauso gut könnte man von ’${\textstyle G}$ und ${\textstyle \sim G}$ nicht’ auf ’${\textstyle F}$ und ${\textstyle \sim F}$ nicht’ schließen.). Ganzformeln fassen die (relevante) Information auf einer höheren Stufe zusammen.

Umschreibung von ${\textstyle P}$-Problemen in der Angewandten Logik.

Dazu schreibt Brüning: ’In der Angewandten Logik kann die Geltung individueller Sachverhalte zunächst im Sinne von bloßen ’Existenz’-Bestimmungen eingeführt werden. Wird eine ${\textstyle A}$-Stelle durch einen e-Index zusätzlich bezeichnet (${\textstyle A^{e}}$), so soll damit gesagt sein, daß die Stelle nicht nur ’offen’ ist, sondern daß hier auch Individuen (in unbestimmter Zahl) ’existieren’. Dabei ist ’Existenz’ im Sinne logischer Festsetzung verstanden. Es geht hier nicht um Aussagen über real Bestehendes.

In gewissen überschaubaren Zusammenhängen kann die e-Indizierung auch einfach dadurch ersetzt werden, daß man alle ${\textstyle A}$-Stellen als existentiell bestimmt versteht.’ (Seite 162)

Umschreibung von ${\textstyle NP}$-Problemen.

Weg $1$: Locker

Einleitung

Das ${\textstyle P}$-${\textstyle NP}$-Problem ist trivial:
Für drei Variablen bzw. Sachverhalte gibt es 255 verschiedene Möglichkeiten:
$$2^{{\binom {3}{3}}*8}-1=2^{8}-1=255$$

Davon sind 254 erfüllbar:
$$2^{2^{3}}-2=256-2=254$$

Für vier Variablen bzw. Sachverhalte gibt es ${\textstyle {4294967295}}$ verschiedene Möglichkeiten:
$$2^{{\binom {4}{3}}*8}-1=2^{32}-1={4294967295}$$

Davon sind erfüllbar (SAT mit 4 Variablen.pdf ) (Die Anzahl der ${\textstyle A}$s der Ganzformel ist gleich der Anzahl der möglichen Belegungen):
$$2^{2^{4}}-2={65536}-2={65534}$$

Für fünf Variablen bzw. Sachverhalte gibt es ${\textstyle {18446744073709551615}}$ verschiedene Möglichkeiten:
$$2^{{\binom {5}{3}}*8}-1=2^{80}-1={18446744073709551615}$$

Davon sind erfüllbar:
$$2^{2^{5}}-2={4294967296}-2={4294967294}$$

Allgemein gibt es für ${\textstyle n}$ Sachverhalte...
$$2^{{\binom {n}{3}}*8}-1\,\,\,$$ mögliche Formeln...

...mit...
$$2^{2^{n}}-2\,\,\,...$$ erfüllbaren Formeln. Da gilt: $${\frac {2^{2^{n}}-2}{2^{{\binom {n}{3}}*8}-1}}<<0(\to 0)$$ für $n\leq 9$

Und: $${\frac {2^{2^{n}}-2}{2^{{\binom {n}{3}}*8}-1}}>>0(\to \infty )$$ für $n>9$

...ist davon auszugehen, dass ${\textstyle P}$ mit herkömmlichen Computern ungleich ${\textstyle NP}$ ist.

Umschreibung von $NP$-Problemen.-Ein-Beispiel

Bei ${\textstyle NP}$-Problemen (Entscheidungsprobleme) hingegen ist bekannt, dass die Lösung ein individueller Sachverhalt ist (z. B. ${\textstyle SAT}$-Problem: Es gibt mindestens eine Belegung (Erfüllbarkeit)). Es handelt sich also um Angewandte Logik und um einen indviduellen Sachverhalt. Hier soll er ${\textstyle f^{i}}$ heißen.

Schauen wir uns ein SAT-Problem an:

Übersicht über ein Beispiel für ein SAT-Problem.

Schritt $1$: Existiert Franz?

Wenn es die Möglichkeit gibt, dass Franz exisiert, schreiben wir $A$:

Franz hat die Möglichkeit zu existieren

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
$Franz$ ist möglich	${\textstyle A}$	${\textstyle u}$

Falls aber Franz nicht existiert, lautet die Geltungswertformel:

Franz kann nicht exisitieren

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
$Franz$ ist unmöglich	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$

Wenn wir aber fragen: "Existiert Franz?", bekommt Franz eine Eigenschaft aus einer höheren Ebene.

Schritt $2$: Ist ein $SAT$-Problem entscheidbar?

Gibt es also eine mögliche Belegung der Variablen, sodass entscheidbar ist, ob ein $SAT$-Problem lösbar ist?

Wenn es keine Möglichkeit gibt, dass eine Entscheidung exisiert, schreiben wir:

Ein $SAT$-Problem ist unlösbar

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
$SAT$-Problem ist unlösbar	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$

Schritt $3$: Ist ein $SAT$-Problem erfüllbar?

Falls aber eine Lösung existiert, schließen sie sich gegenseitig aus, denn die Geltungswertformeln dazu lauten:

Ein $SAT$-Problem ist lösbar

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
Es gibt eine Belegung	${\textstyle A}$	${\textstyle N}$
Es gibt keine Belegung	${\textstyle N}$	${\textstyle A}$

Schritt $4$: Synthese individueller Sachverhalte - Existiert Franz? - Existiert eine Erfüllung der Variablenbelegung, wenn es lösbar ist?

Wenn es lösbar ist, kann entweder die Erfüllung oder die Nicht-Erfüllung der Variablenbelegung eines $SAT$-Problems das Ergebnis sein.

Die Geltungswertformel heißt damit ${\textstyle A^{i}A^{i}}$. D.h. Bei individuellen Sachverhalten kann nur eins der ${\textstyle A^{i}}$ zu ${\textstyle A}$ werden und die restlichen ${\textstyle A^{i}}$s werden dann zu ${\textstyle N}$ (Siehe Seite 164ff und Seite 109ff. Ein individueller Sachverhalt kann nicht geteilt werden.). Dass beide ${\textstyle A^{i}A^{i}}$ zu ${\textstyle N}$ werden, stellt keinen Widerspruch dar (${\textstyle NN}$, ebd.). Beim Schließen bleiben die ${\textstyle A^{i}}$s immer zusammen (ebd.).

Franz - existiert er?

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
$f^{i}$	${\textstyle A^{i}}$	${\textstyle A^{i}}$

"Individuelle Begriffe entziehen sich wegen ihrer komplexen Struktur der genauen logischen Analyse." - schrieb Walther Brüning in seinem Buch (S. 164).

Wir behaupten nun faktisch diesen individuellen Sachverhalt. Dazu Brüning: "Vorausgesetzt ist dabei, daß die so verknüpften Sachverhaltsverbindungen nicht analytisch (positiv oder negativ) aufeinander bezogen sind, d. h. daß zwischen ihnen keine Identitäts- oder Widerspruchsverhältnisse bestehen." (S. 97).

Schritt $5$: Franz ist äquijunkt (nicht identisch!) Eva

Franz sei mit Eva liiert; das heißt Franz und Eva machen alles zusammen. Nach Diskussionen könnte es auch sein, dass sie zusammen Dinge unterlassen. Sie sind also sozusagen zwei äquijunkte Individuen.

Wir brauchen diese erste individuelle Sachverhaltsverbindung, um zu beurteilen, ob ein komplizierterer Sachverhalt einem einfacheren, zerlegbaren Sachverhalt äquijunkt ist.

Ein $SAT$-Problem ist äquijunkt einem anderen individuellen Sachverhalt

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
	${\textstyle G}$	${\textstyle G}$	${\textstyle \sim G}$	${\textstyle \sim G}$
Entweder nur $F$ und $G$ zusammen oder nur $\sim F$ und $\sim G$ zusammen. $F\cap ^{i}G$ (Äquijunktion)	${\textstyle A^{i}}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle A^{i}}$

Nun soll es aber im Weiteren nicht über das $SAT$-Problem als $NP$-Problem handeln, sondern wir schauen uns das $SAT$-Problem direkt an.

Schritt $6$: Einschränkung auf das $Exakt$-$3$-$SAT$-Problem mit individuellen Klauseln

Beginnen wir nun von der anderen Seite: Wir synthetisieren die einfachste Klasse von $SAT$-Problemen. Das einfachste $3$-$SAT$-Problem Beispiel besteht aus höchstens $3$ Literalen jeweils pro Klausel.

Schränken wir diese Klasse zusätzlich ein auf das $Exakt$-$3$-$SAT$-Problem; das heißt das zusätzlich jede der Klauseln genau drei Literale enthält.

Zuletzt schränken wir auf individuelle Klauseln ein, dass heißt das alle Literale innerhalb einer Klausel verschieden sein müssen; also dass keines doppelt vorkommt.

Alle diese Probleme sind $NP$-vollständig.

Schritt $7$: Franz, Eva und ihre Freundinnen gehen mit dem Kollektiv der sozialistischen Eigenbrödler Eis essen - Die Klassenvereinigung von Literalen zu Klauseln

Franz und Eva und ihre zwei Freundinnen Anna und Maria entschläßen sich (nach einer Diskussion) mit dem Kollektiv der sozialisitschen Eigenbrödler Eis essen zu gehen.

Jeder und jede entschließt sich zudem seine oder ihre Lieblingssorte für ihr Stanizel (bzw. Tüte) zu bestellen. Das Angebot sei, dass ein Stanizel mit einer Kugel sehr viel koste, aber es gäbe ein Sonder-Sonderangbeot, dass ein Stanizel mit drei Kugeln vergleichsweise günstig wäre. Das Kollektiv bestelle zuerst, während Franz und Eva und ihre zwei Freundinnen noch überlägen.

Das Kollektiv bestellt also drei Stanizel mit jeweils drei Kugeln. Niemand im Kollektiv hat dieselbe Lieblingssorte, weshalb alle Kugeln unterschiedlich sind.

Nun ergeben sich auch drei individuelle Gruppen: Die Fruchtgruppe (Melone, Mango und Banane), die 'klassisch' Gruppe (Vanille, Schokolade und Erbeere) und die 'moderne Gruppe (Nutella, Cookies und Schlumpfeis).

Sehen wir uns eins der drei Stanizel genauer an: Es ist die Vereinigung von drei individuellen Sachverhalten.

Die Klassenvereinigung ist ein bestimmter Klassenausschnitt (Selektionsoperator), also wird zunächst keine eigene Klasse erzeugt. Deshalb ist eine Klasse äquijunkt zu einer Klassenvereinigung zu definieren (synthetisieren), falls man mit ihr weiterarbeiten will.

Für jedes der drei Stanizel, also für jede Klausel definieren wir die Vereinigung der Eiskugeln bzw. Literale folgendermaßen:

Individuelle Literale werden zu individuellen Klauseln (Stanizel)

	${\textstyle K}$	${\textstyle \sim K}$	${\textstyle K}$	${\textstyle \sim K}$	${\textstyle K}$	${\textstyle \sim K}$	${\textstyle K}$	${\textstyle \sim K}$	${\textstyle K}$	${\textstyle \sim K}$	${\textstyle K}$	${\textstyle \sim K}$	${\textstyle K}$	${\textstyle \sim K}$	${\textstyle K}$	${\textstyle \sim K}$
	${\textstyle P}$	${\textstyle P}$	${\textstyle \sim P}$	${\textstyle \sim P}$	${\textstyle P}$	${\textstyle P}$	${\textstyle \sim P}$	${\textstyle \sim P}$	${\textstyle P}$	${\textstyle P}$	${\textstyle \sim P}$	${\textstyle \sim P}$	${\textstyle P}$	${\textstyle P}$	${\textstyle \sim P}$	${\textstyle \sim P}$
	${\textstyle Q}$	${\textstyle Q}$	${\textstyle Q}$	${\textstyle Q}$	${\textstyle \sim Q}$	${\textstyle \sim Q}$	${\textstyle \sim Q}$	${\textstyle \sim Q}$	${\textstyle Q}$	${\textstyle Q}$	${\textstyle Q}$	${\textstyle Q}$	${\textstyle \sim Q}$	${\textstyle \sim Q}$	${\textstyle \sim Q}$	${\textstyle \sim Q}$
	${\textstyle R}$	${\textstyle R}$	${\textstyle R}$	${\textstyle R}$	${\textstyle R}$	${\textstyle R}$	${\textstyle R}$	${\textstyle R}$	${\textstyle \sim R}$	${\textstyle \sim R}$	${\textstyle \sim R}$	${\textstyle \sim R}$	${\textstyle \sim R}$	${\textstyle \sim R}$	${\textstyle \sim R}$	${\textstyle \sim R}$
$K$ ist mit der Vereinigung von $P$, $Q$ und $R$ äquijunkt. ${\textstyle K\cap ^{i}(P\bigsqcup ^{i}Q\bigsqcup ^{i}R)}$	${\textstyle A^{i}}$	${\textstyle N}$	${\textstyle A^{i}}$	${\textstyle N}$	${\textstyle A^{i}}$	${\textstyle N}$	${\textstyle A^{i}}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$

Es ergeben sich bei einem Stanizel bzw. einer Klausel $4A^{i}$s.

Bei $3$ Stanizeln bzw. $3$ Klauseln entspricht das $12A^{i}$s.

Schritt $8$: Franz will nur die beste Eiskugel der drei Stanizel - Der Klassendurchschnitt von $3$ individuellen Klauseln zu $f^{i}$

Nun beställen Eva, Maria und Anna ihre Stanizel. Sie bestellten nur jeweils eine Kugel für ihre Stanizel. Weiters haben sie alle unterschiedliche Lieblingskategorien. Während Eva am Liebsten Fruchtsorten hat, hat Anna am Liebsten die klassischen Sorten, während Maria am Liebsten moderne Sorten hat.

Sie hatten jetzt lange Zeit zu überlegen und in dieser Zeit haben sie jeweils von den zugehörigen Gruppen des Kollektivs die Stanizel gekostet. Nach reiflicher Überlegung entscheiden sie sich gemäß ihrer Kategorien für ihre Lieblingssorte ihres Lieblingsstanizel, dass sie gekostet haben.

Franz ist als letzter dran. Er hat alles genau beobachtet. Welche Kugel soll er nähmen? Hin- und Hergerissen, fragt er die Eisverkäuferin mutig, ob sie ihm ein Stanizel mit Drittel Kugeln machen kann? Nämlich mit ein Drittel Melone, ein Drittel Vanille und ein Drittel Nutella. Als er es in den Händen hält, kann er sein Glück kaum fassen.

Franz' Kugel ist das Beste aus drei Welten

	${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle \sim f^{i}}$	${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle \sim f^{i}}$	${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle \sim f^{i}}$	${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle \sim f^{i}}$	${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle \sim f^{i}}$	${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle \sim f^{i}}$	${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle \sim f^{i}}$	${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle \sim f^{i}}$
	${\textstyle B}$	${\textstyle B}$	${\textstyle \sim B}$	${\textstyle \sim B}$	${\textstyle B}$	${\textstyle B}$	${\textstyle \sim B}$	${\textstyle \sim B}$	${\textstyle B}$	${\textstyle B}$	${\textstyle \sim B}$	${\textstyle \sim B}$	${\textstyle B}$	${\textstyle B}$	${\textstyle \sim B}$	${\textstyle \sim B}$
	${\textstyle C}$	${\textstyle C}$	${\textstyle C}$	${\textstyle C}$	${\textstyle \sim C}$	${\textstyle \sim C}$	${\textstyle \sim C}$	${\textstyle \sim C}$	${\textstyle C}$	${\textstyle C}$	${\textstyle C}$	${\textstyle C}$	${\textstyle \sim C}$	${\textstyle \sim C}$	${\textstyle \sim C}$	${\textstyle \sim C}$
	${\textstyle D}$	${\textstyle D}$	${\textstyle D}$	${\textstyle D}$	${\textstyle D}$	${\textstyle D}$	${\textstyle D}$	${\textstyle D}$	${\textstyle \sim D}$	${\textstyle \sim D}$	${\textstyle \sim D}$	${\textstyle \sim D}$	${\textstyle \sim D}$	${\textstyle \sim D}$	${\textstyle \sim D}$	${\textstyle \sim D}$
Das Element $f^{i}$ gehört zum Durchschnitt der Klassen $B$, $C$ und $D$. ${\textstyle f^{i}\supset (B\sqcap C\sqcap D)}$ [Eigentlich großes: $\sqcap$]	${\textstyle A^{i}}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$

Schritt $9$: Die Diskussion im Eissalon - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Franz dasselbe bestellt hätte, wenn er als erster bestellt hätte

Während dem Eis essen, beginnt eine Diskussion, die zu folgender Frage führt: Wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit, dass Franz dasselbe bestellt hätte, falls er als erster bestellt hätte?

Franz hat gepokert, das ist allen Beteiligten an der Diskussion klar. Zum Glück ist Paul aus dem Kollektiv der Mathmatiker und sagt: Die Wahrscheinlichkeit für dasselbe Ereignis, ist die Wahrscheinlichkeit aller Fälle durch die Wahrscheinichkeit aller möglichen Fälle.

Nun ja, sagt Emilia aus dem Kollektiv. Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit $1$, also ein sicheres Ereignis.

Damit will sich Erich aus dem Kollektiv aber nicht zufrieden geben. Er sagt, dass man die Teilwahrscheinlichkeiten doch irgendwie aufsummieren könnte und dann eventuell eine Gesamtwahrscheinlichkeit bekäme.

Bei der hitzigen Diskussion halten die Beteiligten folgendes fest:

• Die Wahrscheinlichkeit wäre unter 100% gewesen.

• Die Wahrscheinlichkeit der eintretenden Ereignisse wäre die Aufeinanderfolge der Fälle für die Möglichkeiten, dass er jeweils alle Kugeln der Stanizel des Kollektivs errät mal den Fall, dass er jeweils die Auswahl von Eva, Anna und Maria errät: $[((1/3)*1/3)*1/3]*1/3=1/81$

• Die Wahrscheinlichkeit der möglichen Fälle wäre die Wahrscheinlichkeit, dass er alle Kugeln aufeinanderfolgend richtig zuweist - Nehme ich oder nehme ich nicht: ${\binom {9}{1}}+{\binom {9}{2}}+{\binom {9}{3}}+{\binom {9}{4}}+{\binom {9}{5}}+{\binom {9}{6}}+{\binom {9}{7}}+{\binom {9}{8}}$

mit

${\begin{aligned}{\binom {n}{k}}&={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.\end{aligned}}$

Da dies das einfachste denkbare Beispiel für ein $NP$-Problem ist und sich alle $SAT$ Varianten darauf reduzieren lassen, wäre die Wahrscheinlichkeit, dass Franz sich von vornherein richtig entschieden hätte:

${\frac {81}{510}}={\frac {1}{2\pi }}$

Synthese von Einleitung und Umschreibung

Kehren wir zu Schritt 4 der Umschreibung zurück. Wir haben faktisch diesen individuellen Sachverhalt behauptet: $((b\bigsqcup ^{i}c\bigsqcup ^{i}d)\sqcap ^{i}(e\bigsqcup ^{i}f\bigsqcup ^{i}g)\sqcup ^{i}(h\bigsqcup ^{i}i\bigsqcup ^{i}j))\Supset k^{i}$

(Eigentlich: Großes $\sqcup ^{i}$)

Das sind ${\textstyle 10}$ Sachverhalte! Die verschiedenen Grade der Verknüpfung dürfen aber nicht miteinander vermengt werden (Grundlagen der Strengen Logik, S. 98). Der logische Gehalt von Sachverhaltsverbindungen würde zwar gänzlich erhalten bleiben (S.97), aber da die Selektionsoperatoren (Durchschnitt, Vereinigung, etc.) keine Sachverhaltsverbindungen sind - sondern bloße Selektionen von Teilbereichen (S. 125) - kann er faktisch gar nichts nach sich ziehen, sondern nur äquijunkt sein: $((b\bigsqcup ^{i}c\bigsqcup ^{i}d)\sqcap ^{i}(e\bigsqcup ^{i}f\bigsqcup ^{i}g)\sqcup ^{i}(h\bigsqcup ^{i}i\bigsqcup ^{i}j))\cap k^{i}$

In der Einleitung haben wir aber gesehen, dass ab ${\textstyle 10}$ Sachverhalten nur noch faktisch sinnvoll geschlossen werden kann, weil...

$${\begin{aligned}{\frac {2^{2^{10}}-2}{2^{{\binom {10}{3}}*8}-1}}=1,872597015481579*10^{305}>>0\end{aligned}}$$

Und deshalb ist ein neues ${\textstyle NP}$-Problem zu synthetisieren.

Umschreibung von ${\textstyle NP}$-Problemen

Nun können wir ${\textstyle NP}$-Probleme tatsächlich umschreiben:
$B\bullet C$
$C\bullet D$
${\underline {B\bullet D}}$
$Ganzformel\Supset k^{i}$

Weg $2$: Formal

Bei ${\textstyle NP}$-Problemen (Entscheidungsprobleme) hingegen ist bekannt, dass die Lösung ein individueller Sachverhalt ist (z. B. ${\textstyle SAT}$-Problem: Es gibt mindestens eine Belegung (Erfüllbarkeit)). Es handelt sich also um Angewandte Logik und um einen indviduellen Sachverhalt. Hier soll er ${\textstyle g^{i}}$ heißen. Die Geltungswertformel heißt damit ${\textstyle A^{i}A^{i}}$. D.h. Bei individuellen Sachverhalten kann nur eins der ${\textstyle A^{i}}$ zu ${\textstyle A}$ werden und die restlichen ${\textstyle A^{i}}$s werden dann zu ${\textstyle N}$ (Siehe Seite 164ff und Seite 109ff. Ein individueller Sachverhalt kann nicht geteilt werden.). Dass beide ${\textstyle A^{i}A^{i}}$ zu ${\textstyle N}$ werden, stellt keinen Widerspruch dar (${\textstyle NN}$, ebd.). Beim Schließen bleiben die ${\textstyle A^{i}}$s immer zusammen (ebd.).

Ein Beispiel für ein SAT-Problem in der Strengen Logik mit drei Variablen (x, y, z - in der Logistik; p, q, r - in der Strengen Logik), die durch Klassenvereingung bzw. -durchschnitt individueller Sachverhalte zu einer eindeutigen Lösung gelangen. Klassenvereingung und Klassendurchschnitt sind in der Strengen Logik bestimmte Klassenausschnitte (d. h. Selektionsoperatoren). Der behandelte Sachverhalt ist individuell. (Dieses Bild sollte langfristig durch ein besseres (.svg) ersetzt werden.)

Als Prämisse bei ${\textstyle NP}$-Problemen gilt, dass zusätzlich zu einem Bedingungssatz ${\textstyle F\supset ^{c}G}$ (${\textstyle uuNu}$), auch ein verifier ${\textstyle F\subset ^{c}G}$ (${\textstyle uNuu}$) vorhanden sein muss. Daraus ergibt sich als Bedingungssatz: ${\textstyle F\cap ^{c}G}$ (${\textstyle uNNu}$).

Zunächst ist ohne Bedeutung, ob ${\textstyle F\supset ^{c}G}$ (${\textstyle uuNu}$) oder ${\textstyle F\subset ^{c}G}$ (${\textstyle uNuu}$) als verifier interpretiert wird, weil beide transitiv, aber nicht symmetrisch sind. Bei ’Festsetzung bestimmter Bedeutungen für die Begriffe’ ist aber auf eine Unterscheidung zu achten (Es entsteht ein anderer Schlusszusammenhang, Seite 43).

Zuerst wird mit dem Bedingungssatz ${\textstyle F\supset ^{c}G}$ (${\textstyle uuNu}$) geschlossen. Wie schon erwähnt müssen ${\textstyle A^{i}}$-Stellen beim Schließen zusammenbleiben. Deshalb folgt entweder ${\textstyle g^{i}}$ (${\textstyle A^{i}A^{i}}$) oder ${\textstyle f^{i}}$ (${\textstyle A^{i}A^{i}}$):

Erster Schritt von ${\textstyle NP}$-Problemen

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
	${\textstyle G}$	${\textstyle G}$	${\textstyle \sim G}$	${\textstyle \sim G}$
${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle (a^{i})}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle (a^{i})}$
${\textstyle F\supset ^{c}G}$	${\textstyle u}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$
Entweder:
${\textstyle g^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$
Oder:
${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$
${\textstyle Ganzformel}$	${\textstyle (A^{i})}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle (A^{i})}$

Jetzt könnte das Problem also schon gelöst sein. Nur könnte man das nicht beweisen. Also wird mit dem verifier ${\textstyle F\subset ^{c}G}$ (${\textstyle uNuu}$) noch einmal geschlossen.

Pro Synthese kann man aus verlängerten Individuenvariablen nur einmal schließen.

Es folgt also eine neuerliche Synthese der Prämissen. Je nachdem, ob man die Individuenvariable als diesselbe (idente) anerkennt, ergeben sich zwei Möglichkeiten:

Die erste Möglichkeit soll nun festsetzen, dass sich das Individuum aus der Prämisse nicht ändert (ident):

Zweiter Schritt von ${\textstyle NP}$-Problemen mit einem identen Individuum

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
	${\textstyle G}$	${\textstyle G}$	${\textstyle \sim G}$	${\textstyle \sim G}$
${\textstyle f^{i}}$	${\textstyle (a^{i})}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle (a^{i})}$
${\textstyle Ganzformel}$	${\textstyle (A^{i})}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle (A^{i})}$
${\textstyle F\subset ^{c}G}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$	${\textstyle u}$
${\textstyle Ganzformel}$	${\textstyle A^{i}}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle A^{i}}$

Es folgt ${\textstyle P\neq NP}$. (Verschränkung: Vertrauen kann nicht bewiesen werden.)

Die Klammern sollen eine Fallunterscheidungen anzeigen. In den Prämissen werden also ${\textstyle 2^{3}=8}$ Möglichkeiten unterschieden. Es liegt nahe, daher die vierte Stufe darauf zu untersuchen. Es ergibt sich folgendes Resultat für die Wahrscheinlichkeit einer zufälligen Lösung auf tetradischer Stufe (aus: Logische Grundlagen der Quantenphysik 2), wenn innerhalb der Stufe geschlossen wird (${\textstyle 2^{3}}$ Geltungswertstellen):

Wahrscheinlichkeit, dass eine triadisch verlängerte tetradische resultierende Teilformel in der Ganzformel keine unbestimmten Stellen enthält:

${\textstyle \varpi _{\pi }\approx {\frac {16777215}{66577}}+{\frac {65535}{8649}}=259,574...\to \varpi ={\frac {\varpi _{\pi }}{\pi _{Ann.}^{4}}}={\underline {2,6}}426...}$

Wahrscheinlichkeit, dass eine triadisch verlängerte tetradische resultierende Teilformel als tetradische Ganzformel darstellbar ist:

${\textstyle 2_{e}\approx {\frac {16777215}{88412,43809}}+{\frac {65535}{13568,0619}}+{\frac {255}{178}}=196,0234...\to 2={\frac {2_{e}}{\pi _{Ann.}^{4}}}=1,9956...}$

Die Chance, dass es sich um ein realisiertes ${\textstyle NP}$-Problem und nicht ${\textstyle P}$-Problem handelt, ist also ungefähr ${\textstyle {\dfrac {\pi }{\varpi }}}$ (${\textstyle \approx 1,20}$). Während die Chance für ein realisiertes ${\textstyle P}$-Problem ${\textstyle {\dfrac {\varpi }{\pi }}}$ (${\textstyle \approx 0,83}$) in Gegensatz zu einem ${\textstyle NP}$-Problem ist.

Die zweite Möglichkeit soll nun festsetzen, dass sich das Individuum aus der Prämisse ändert (unterschiedlich):

Zweiter Schritt von ${\textstyle NP}$-Problemen mit einem unterschiedlichen Individuum

	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$	${\textstyle F}$	${\textstyle \sim F}$
	${\textstyle G}$	${\textstyle G}$	${\textstyle \sim G}$	${\textstyle \sim G}$
${\textstyle f_{zwei}^{i}}$	${\textstyle (a^{i})}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle a^{i}}$	${\textstyle (a^{i})}$
${\textstyle F\cap ^{c}G}$	${\textstyle u}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle u}$
${\textstyle Ganzformel}$	${\textstyle (A^{i})}$	${\textstyle N}$	${\textstyle N}$	${\textstyle (A^{i})}$

Da wieder nur einmal geschlossen werden kann, folgt ${\textstyle P=NP}$. (Souveränität: Vertrauen muss bewiesen werden.)

Konklusion

Sofern ${\textstyle NP}$-Probleme behauptet (synthetisiert) werden, folgt aus ihnen eine durchschnittlich (wesentlich) längere Laufzeit gegenüber (synthetisierten) ${\textstyle P}$-Problemen. Entscheidungsprobleme sind individuelle Sachverhalte. Die längere Laufzeit wird durch die Klarheit über eine Entscheidung abgegolten.

Bisher hatten Bereiche der Logik transgressiven Charakter. Mit Hilfe der Strengen Logik ist zu beweisen:

Rein logisch sind ${\textstyle NP}$- und ${\textstyle P}$-Probleme unterschiedlich.