Arten linearer Abbildungen – Mathe für Nicht-Freaks

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Es gibt lineare Abbildungen mit speziellen Eigenschaften, die in der Mathematik häufig vorkommen und benutzt werden, wie z.B. bildet ein <def>Monomorphismus</def> unterschiedliche Bilder des Startvektorraums auf unterschiedliche Bilder des Zielvektorraums ab, d.h. für einen Monomorphismus gilt für mit auch . Mit diesen können wir Gleichungen umformen und zeigen, wie viele Lösungen ein Gleichungssystem hat. Ein Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen bildet einen Vektorraum ähnlich (das werden wir später noch genauer erklären) auf einen anderen Vektorraum ab, damit können wir Eigenschaften eines Vektorraums, den wir schon kennen, auf einen noch nicht bekannten Vektorraum übertragen. Wir wollen uns diese speziellen linearen Abbildungen (Homomorphismen) genauer anschauen[1].

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To-Do:

noch besser angeben, wie diese speziellen Eigenschaften auf die Struktur von Vektorräumen wirken

Wiederholung: Begriff der linearen Abbildung[Bearbeiten]

Wir betrachten zur Erklärung die aus der Schule bekannte einfache Abbildung , dabei fassen wir die reellen Zahlen als Vektorraum über dem Körper auf. Diese Abbildung ist strukturerhaltend in dem Sinne, dass es egal ist, ob ich die Addition von zwei Elementen im Urbildraum oder im Bildraum durchführe, das Ergebnis ist immer dasselbe. Für die obige Abbildung gilt:

sei , dann gilt

Ebenso ist es egal, ob mit einem Skalar multipliziert wird oder , das Ergebnis ist das gleiche. Für die obige Abbildung gilt:

sei , dann gilt

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die obige beiden Kriterien erfüllt

  1. Additivität:
  2. Homogenität:

nennen wir linear.

Wiederholung: Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen sind Funktionen. Im Buch „Grundlagen der Mathematik“ haben wir im Kapitel „Abbildungen“ die Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität kennen gelernt. Dementsprechend können auch lineare Abbildungen injektiv, surjektiv und bijektiv sein. Solche lineare Abbildungen haben besondere Namen, die wir später besprechen werden. Zunächst wiederholen wir, was injektive, surjektive und bijektive Funktionen sind:

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise Beispiel
injektiv
  • Verschiedene Argumente des Definitionsbereichs werden auf verschiedene Funktionswerte des Zielbereichs abgebildet.
  • Jeder Funktionswert in besitzt höchstens ein Urbild in .
  • Ist , dann ist

oder äquivalent:

Beispiel Injektivität
surjektiv
  • Jeder Funktionswert des Zielbereichs wird mindestens einmal durch die Abbildung getroffen.
  • Jeder Funktionswert in besitzt mindestens ein Urbild in .

Beispiel Surjektivität
bijektiv bzw. umkehrbar
  • Die Abbildung ist surjektiv und injektiv.
  • Jeder Funktionswert in besitzt genau ein Urbildin .
  • Es gibt für die Funktion eine Umkehrfunktion.

Beispiel Bijektivität

Wieso sind Abbildungen mit obigen Eigenschaften wichtig?[Bearbeiten]

Bildung der Umkehrfunktion

injektiv: Injektive Abbildungen haben die schöne Eigenschaft, dass aus der Gleichung automatisch folgt. Dies ist insbesondere bei der Umformung von Gleichungen hilfreich.

bijektiv: Bijektive Abbildungen sind umkehrbar. Dies bedeutet, dass man eine neue Abbildung von der ursprünglichen Zielmenge in die ursprüngliche Definitionsmenge definieren kann, so dass für alle ist.

surjektiv: Surjektive Abbildungen erlauben es dir für jedes Element ein (im Allgemeinen nicht eindeutiges) Element zu finden, sodass gilt. Vielleicht findest du surjektive Funktionen auf den ersten Blick langweilig, da jede Funktion in ihr Bild surjektiv ist. Dennoch ist es oftmals die Eigenschaft, die am schwierigsten nachzuprüfen ist. Beispielsweise ist es einfach, eine injektive Funktion zu finden. Wenn wir nun zeigen könnten, dass diese Funktion surjektiv ist, so besitzen die beiden Mengen und die gleiche Mächtigkeit, sind also gleich groß. In der Tat ist dies mit Hilfe von Cantors erstem Diagonalargument[2] möglich, woraus das bemerkenswerte Resultat folgt, dass die beiden Mengen und gleich mächtig sind. Dieses Beispiel, welches im Kapitel Mächtigkeit von Mengen [3] vertieft wird, soll dir zeigen, dass der Wichtigkeitsfaktor der Surjektivität durch interessante und kontraintuitive Zielmengen ins Spiel kommt.

Liste der verschiedenen Arten von linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Seinen im Folgenden und Vektorräume über dem Körper . Wir werden folgende linearen Abbildungen betrachten:

  1. Ein Vektorrraum-Monomorphismus ist ein injektiver Vektorraum-Homomorphismus , das heißt, verschiedene Argumente des Definitionsbereichs werden auf verschiedene Funktionswerte des Zielbereichs abgebildet.
  2. Ein Vektorraum-Epimorphismus ist ein surjektiver Vektorraum-Homomorphismus , das heißt, jeder Funktionswert des Zielbereichs wird mindestens einmal durch die lineare Abbildung getroffen.
  3. Ein Vektorraum-Isomorphismus ist ein bijektiver Vektorraum-Homomorphismus , das heißt, die Abbildung ist surjektiv und injektiv.
  4. Ein Vektorraum-Endomorphismus ist ein Vektorraum-Homomorphismus, dessen Definitionsbereich gleich seinem Zielbereich ist, also .
  5. Ein Vektorraum-Automorphismus ist ein Vektorraum-Isomorphismus, dessen Definitionsbereich gleich seinem Zielbereich ist, also ist bijektiv.

Monomorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Monomorphismus)

Ein Monomorphismus zwischen -Vektorräumen ist eine injektive lineare Abbildung , d.h. aus folgt

Beispiele von Vektorraum-Monomorphismen[Bearbeiten]

Die Abbildung mit ist ein Vektorraum-Monomorphimus, denn sei

, dann ist und daraus folgt direkt und damit ist injektiv.

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Aufgabe (Nachweis eines Monomorphismus)

Zeige, dass für die Abbildung ein Monomorphismus ist. Auf diese Art und Weise kann man jeden Vektorraum injektiv in einen Vektorraum abbilden, falls .

Epimorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Epimorphismus)

Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine surjektive lineare Abbildung , d.h. jeder Funktionswert in W besitzt mindestens ein Urbild in V. Formal bedeutet das

Beispiele von Vektorraum-Epimorphismen[Bearbeiten]

Wir betrachten zunächst den Vektorraum und wählen einen beliebigen Vektor . Im vorhergehenden Kapitel haben wir gesehen, dass die Abbildung für ein Monomorphismus ist. Dies wir auf natürliche Weise dadurch erreicht, dass der Bildvektor mit Nullen aufgefüllt wird. Diese Abbildung kann nicht surjektiv sein, denn z.B. für den Vektor existiert sicher kein Vektor mit

Betrachten wir , dann ist die Abbildung gleich die Identität . Damit ist eine Bijektion, genauer eine bijektive lineare Abbildung.

Betrachten wir nun die letzte Möglichkeit . Die lineare Abbildung . Bei dieser Abbildung schneiden wir einfach die letzten Komponenten ab. Damit ist klar, warum wir fordern müssen. Diese Abbildung ist Epimorphismus aber kein Momomorphismus, denn sei , dann existiert ein für das gilt und damit ist die lineare Abbildung surjektiv.

Diese Abbildung ist aber kein Monomorphismus, denn es gilt , aber , damit ist die lineare Abbildung nicht injektiv.

Isomorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Isomorphismus)

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung . Die beiden Vektorräume heißen dann isomorph zueinander und wir schreiben . Das bedeutet, jeder Funktionswert in W besitzt genau ein Urbild in V.

Da es zu jedem Funktionswert genau ein Urbild gibt, können wir für die lineare Abbildung eine Umkehrfunktion definieren, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist, also

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Hinweis

Die Umkehrabbildung wird meist geschrieben.

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Satz (Die Umkehrabbildung ist ein Isomorphismus[4].)

Sei ein Isomorphismus, dann ist auch die Umkehrabbildung ein Isomorphismus.

Es genügt, wenn wir zeigen, dass eine lineare Abbildung ist, denn dann ist sie als Umkehrabbildung auch bijektiv.

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Beweis (Die Umkehrabbildung ist ein Isomorphismus[4].)

für gilt:

Damit ist die Umkehrfunktion additiv.

Weiter ist für und

Damit ist die Umkehrfunktion homogen.

Damit haben wir gezeigt, die Umkehrabbildung ist linear.

Für die Umkehrabbildung zu gilt damit

Beispiele für Vektorraum-Isomorphismen[Bearbeiten]

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To-Do:

Echtes Beispiel einfügen

Sei . Es gilt: ist ein Isomorphismus, also falls , denn die lineare Abbildung ist die Umkehrabbildung zu , da . Damit ist die Umkehrabbildung von und es gilt .

Ganz analog gilt . Damit ist die Umkehrabbildung von und es gilt .

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Aufgabe (Existenz eines Isomorphismus)

Es seien endlich dimensionale Vektorräume über dem Körper . Zeige, dass es genau dann einen Isomorphismus gibt, wenn .

Setze hier die sogenannte Dimensionsformel als gegeben voraus. Dabei ist der Kern von definiert als . Diese Dimensionsformel werden wir im Kapitel Isomorphiesatz und Dimensionsformel herleiten.

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Lösung (Existenz eines Isomorphismus)

Angenommen, es gibt einen Isomorphismus . Da surjektiv ist, gilt . Da auch injektiv ist, wird nur auf abgebildet, damit gilt .

Nach der Dimensionsformel gilt: .

Nehmen wir nun an . Dann gibt es eine Basis von und eine Basis von . Mit dem Prinzip der linearen Fortsetzung kannst Du verifizieren, dass es einen Isomorphismus mit gibt.

Insbesondere existiert damit ein Vektorraumisomorphismus .

Endomorphismus[Bearbeiten]

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To-Do:

genau erklären, warum Endomorphismen wichtig sind und was ds besondere an ihnen ist

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Definition (Endomorphismus)

Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Vektorräume und gleich sind:

Beispiele für Vektorraum-Endomorphismus[Bearbeiten]

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Aufgabe (Endomorphismus)

Zeige, die Abbildung ist eine Endomorphismus

Automorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Automorphismus)

Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung bei der die Vektorräume und gleich sind: .

Ein Automorphismus ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus.

Beispiele für Vektorraum-Automorphismen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Automorphismus)

Zeige, die Abbildung ist ein Automorphismus.