Arten linearer Abbildungen – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir betrachten zur Erklärung die aus der Schule bekannte einfache Abbildung , dabei fassen wir die reellen Zahlen als Vektorraum über dem Körper auf. Diese Abbildung ist strukturerhaltend in dem Sinne, dass es egal ist, ob ich die Addition von zwei Elementen im Urbildraum oder im Bildraum durchführe, das Ergebnis ist immer dasselbe. Für die obige Abbildung gilt:

sei , dann gilt

Ebenso ist es egal, ob mit einem Skalar multipliziert wird oder , das Ergebnis ist das gleiche. Für die obige Abbildung gilt:

sei , dann gilt

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die obige beiden Kriterien erfüllt

  1. Additivität:
  2. Homogenität:

nennen wir linear.

Es gibt besondere lineare Abbildungen mit speziellen Eigenschaften, die in der Mathematik häufig vorkommen und benutzt werden. Wir wollen uns diese speziellen linearen Abbildungen (Homomorphismen) einmal etwas genauer anschauen[1].


injektive, surjektive und bijektive Abbildungen[Bearbeiten]

Wir verweisen hier auch auf das Kapitel "Grundlagen der Mathematik" in "Mathe für Nicht-Feaks" [2]

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise Beispiel
injektiv
  • Verschiedene Argumente des Definitionsbereichs werden auf verschiedene Funktionswerte des Zielbereichs abgebildet.
  • Jeder Funktionswert in besitzt höchstens ein Urbild in .
  • Ist , dann ist

oder äquivalent:

Beispiel Injektivität
surjektiv
  • Jeder Funktionswert des Zielbereichs wird mindestens einmal durch die Abbildung getroffen.
  • Jeder Funktionswert in besitzt mindestens ein Urbild in .

Beispiel Surjektivität
bijektiv bzw. umkehrbar
  • Die Abbildung ist surjektiv und injektiv.
  • Jeder Funktionswert in besitzt genau ein Urbildin .
  • Es gibt für die Funktion eine Umkehrfunktion.

Beispiel Bijektivität

Wieso sind Abbildungen mit obigen Eigenschaften wichtig?[Bearbeiten]

Bildung der Umkehrfunktion

injektiv: Injektive Abbildungen haben die schöne Eigenschaft, dass aus der Gleichung automatisch folgt. Dies ist insbesondere bei der Umformung von Gleichungen hilfreich.

bijektiv: Bijektive Abbildungen sind umkehrbar. Dies bedeutet, dass man eine neue Abbildung von der ursprünglichen Zielmenge in die ursprüngliche Definitionsmenge definieren kann, so dass für alle ist.

surjektiv: Surjektive Abbildungen erlauben es dir für jedes Element ein (im Allgemeinen nicht eindeutiges) Element zu finden, sodass gilt. Vielleicht findest du surjektive Funktionen auf den ersten Blick langweilig, da jede Funktion in ihr Bild surjektiv ist. Dennoch ist es oftmals die Eigenschaft, die am schwierigsten nachzuprüfen ist. Beispielsweise ist es einfach, eine injektive Funktion zu finden. Wenn wir nun zeigen könnten, dass diese Funktion surjektiv ist, so besitzen die beiden Mengen und die gleiche Mächtigkeit, sind also gleich groß. In der Tat ist dies mit Hilfe von Cantors erstem Diagonalargument[3] möglich, woraus das bemerkenswerte Resultat folgt, dass die beiden Mengen und gleich mächtig sind. Dieses Beispiel, welches im Kapitel Mächtigkeit von Mengen [4] vertieft wird, soll dir zeigen, dass der Wichtigkeitsfaktor der Surjektivität durch interessante und kontraintuitive Zielmengen ins Spiel kommt.

Liste der verschiedenen Arten von linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Seinen im Folgenden und Vektorräume über dem Körper . Wir werden folgende linearen Abbildungen betrachten:

  1. Ein Vektorrraum-Monomorphismus ist ein injektiver Vektorraum-Homomorphismus , das heißt, verschiedene Argumente des Definitionsbereichs werden auf verschiedene Funktionswerte des Zielbereichs abgebildet.
  2. Ein Vektorraum-Epimorphismus ist ein surjektiver Vektorraum-Homomorphismus , das heißt, jeder Funktionswert des Zielbereichs wird mindestens einmal durch die lineare Abbildung getroffen.
  3. Ein Vektorraum-Isomorphismus ist ein bijektiver Vektorraum-Homomorphismus , das heißt, die Abbildung ist surjektiv und injektiv.
  4. Ein Vektorraum-Endomorphismus ist ein Vektorraum-Homomorphismus, dessen Definitionsbereich gleich seinem Zielbereich ist, also .
  5. Ein Vektorraum-Automorphismus ist ein Vektorraum-Isomorphismus, dessen Definitionsbereich gleich seinem Zielbereich ist, also ist bijektiv.

Monomorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Monomorphismus)

Ein Monomorphismus zwischen -Vektorräumen ist eine injektive lineare Abbildung , d.h. aus folgt

Beispiele von Vektorraum-Monomorphismen[Bearbeiten]

Die Abbildung mit ist ein Vektorraum-Monomorphimus, denn sei

, dann ist und daraus folgt direkt und damit ist injektiv.

Sei nun und .

Es gilt: ist ein Monomorphismus

Auf diese Art und Weise kann man jeden Vektorraum injektiv in einen Vektorraum abbilden, falls .

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Aufgabe (Nachweis einer linearen Abbildung)

Zeige, die Abbildung

und für die Abbildung

ist jeweils eine lineare Abbildung.

Epimorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Epimorphismus)

Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine surjektive lineare Abbildung , d.h. jeder Funktionswert in W besitzt mindestens ein Urbild in V. Formal bedeutet das

Beispiele von Vektorraum-Epimorphismen[Bearbeiten]

Sei . Es gilt: ist ein Epimorphismus, aber kein Monomorphismus.

Sei , dann existiert ein für das gilt und damit ist die lineare Abbildung surjektiv.

Diese Abbildung ist aber kein Monomorphismus, denn es gilt , aber , damit ist die lineare Abbildung nicht injektiv.

Isomorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Isomorphismus)

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung . Die beiden Vektorräume heißen dann isomorph zueinander und wir schreiben . Das bedeutet, jeder Funktionswert in W besitzt genau ein Urbild in V.

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Hinweis

Damit gibt es für die lineare Abbildung eine Umkehrfunktion , die meist geschrieben wird, die auch ein Isomorphismus ist[5], denn für gilt:

Damit ist die Umkehrfunktion additiv.

Weiter ist für und

Damit ist die Umkehrfunktion homogen

Für die Umkehrabbildung zu gilt

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Aufgabe

Zeige, für einen Isomorphismus gilt .


Beispiele für Vektorraum-Isomorphismen[Bearbeiten]

Sei . Es gilt: ist ein Isomorphismus, also falls , denn die lineare Abbildung ist die Umkehrabbildung zu , da . Damit ist die Umkehrabbildung von und es gilt .

Ganz analog gilt . Damit ist die Umkehrabbildung von und es gilt .


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Aufgabe (Nachweis eines Isomorphismus)

Zeige, die obige Abbildung ist injektiv und surjektiv.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

weitere Beispiele als Aufgabe einfügen. siehe auch Downloads Übung 10 und http://www.math.fu-berlin.de/users/tscho/aufgabensammlung/lina.pdf

Endomorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Endomorphismus)

Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Vektorräume und gleich sind:

Beispiele für Vektorraum-Endomorphismus[Bearbeiten]

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Aufgabe (Endomorphismus)

Zeige, die Abbildung ist eine Endomorphismus

Automorphismus[Bearbeiten]

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Definition (Automorphismus)

Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung bei der die Vektorräume und gleich sind: .

Ein Automorphismus ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus.

Beispiele für Vektorraum-Automorphismen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Automorphismus)

Zeige, die Abbildung ist ein Automorphismus.