Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Konstruktion von Maßen und des Maßintegrals – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

To-Do:

Brainstorming für didaktische Ansätze, Stichpunkte:

• Eine Vorstellung der Flächeneigenschaften von Nicht-Rechtecken ist (Komplement von guten Mengen ist gute Menge): Der Gesamtraum ist ein DIN A4-Blatt und wir schneiden eine Fläche heraus. Dann wiegen wir das ausgeschnittene Papierstück und der Rest des DIN A4-Blattes hat den Rest des Gewichtes.

• Fläche soll sich beim Drehen oder Verschieben im \R^2 nicht ändern

• Bei Rechtecken linke und untere Seite ohne Rand lassen in den Bildchen.

• Offene Fragen: Wieso nähert man beim Maßerweiterungssatz von außen und füllt nicht von innen aus? Gab es nicht bei der Verallgemeinerung eine Forderung nach innerer Regularität, oder ist diese schlicht schwerer zu beweisen oder auf \R^p nicht erfüllt?

Urspürnglich von außen und innen genähert. Dann zeigt Caratheodory Bedingung für Messbarkeit und diese wird dem Beweis zugrunde gelegt. Äußere Maß einfacher, da keine Disjunktheit vorausgegesetzt.

• Gibt es einen kürzeren/einfacheren speziellen Beweis für den Maßerweiterungssatz nur für die Konstruktion des Lebesguemaßes?

• Die Vervollständigungs-Sigma-Algebra ist in der vom äußeren Maß erzeugten enthalten, das haben wir bewiesen. WIESO (Beweis?) gilt auch das Umgekehrte, d.h. wieso ist S^\ast nicht noch viel größer?

• Der Ausblick ist im Moment am Ende des Einführungskapitels, da auch die Integrationstheorie in Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Finanzmathematik, partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis einfließen.

• Geschichte? Inhaltsproblem vor Maßproblem beschreiben. Danach erst Banach Tarski für n \geq 3. Motivationsteil, historisch anderer Weg. Paradoxie macht neue Theorie erforderlich.

• Für die guten Mengen soll Caratheodory Bedinugng gelten,. Wir kennen die guten Megen aber nioch nciht und fordern deshlab für alle AMengen. Eventuell ist die Forderung zu stark? Nein, erstaunlciherweise erhalten wir damit die allgemein guten Mengen.

• nicht Lebesgue-messbare Menge Konstruktion: siehe Maßproblem im Kapitel Maße.

Punktwolke wird einmal im äußeren Mass m*(Q\cap A) gemessen, da dicht, und einmal in m*(Q\cap AC) gemessen da Komplement der Punktwolke dicht. Tritt zweimal als Summand auf, daher Gleichheitszeichen nicht mehr möglich.

• Drüber Nachdenken warum der Ring in S* enthalten ist. Liegt daran, dass m additiv ist auf dem Ring und dass mit Ringelementen überdeckt wird. . Passt gerade.

Motivation der Maßtheorie

Das klassische Maßproblem, das heißt die eindeutige Zuordnung einer Länge zu allen Teilmengen von $\mathbb {R}$ ist nicht lösbar, wie wir im Kapitel über Maße zeigen. Nach dem Banach Tarski Paradoxon, kann man eine Kugel so geschickt in Teilmengen zerlegen, dass man diese Teilmengen verschieben und drehen kann und daraus zwei neue Kugeln desselben Volumens erhält. Beide Aussagen widersprechen unserer Intuition, lassen sich aber nicht ändern.

• Was machen wir? Die Lösung ist, dass wir nicht mehr probieren, allen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{p}$ eine Länge oder Fläche (oder ein Volumen) zuzuordnen. Wir unterteilen die Mengen in zwei Kategorien: die "guten" und die "schlechten" Mengen. Die "guten" Mengen sind ausreichend schön, dass man ihnen eine Länge oder Fläche zuordnen kann, bei den "schlechten" Mengen ist dies unmöglich. Solange man nur mit den "guten" Mengen arbeitet, funktioniert unsere Vorstellung von Längen und Flächen. Sobald man "schlechte" Mengen erzeugt, können Paradoxien wie beim Banach-Tarski-Paradoxon auftreten.

Länge oder Fläche von Intervallen und Rechtecken

• Intervalle (a,b] sind "gute" Mengen und haben die naheliegende Länge: b-a.

• Eine disjunkte (sich nicht überschneidende) Vereinigung von Intervallen ist eine "gute" Menge und soll die Summe der Einzellängen als Länge zugewiesen bekommen.

• Aber was tun im Mehrdimensionalen? Rechtecke haben einen naheliegenden Flächeninhalt: das Produkt der Seitenlängen, denn zwei identische Rechtecke aneinandergelegt, ergibt ein doppelt so großes Rechteck (die Fläche soll sich beim Verschieben nicht ändern, was man "translationsinvariant" nennt) und die eine Seitenlänge verdoppelt sich dabei. Bei drei Rechtecken verdreifacht sie sich. Analog gilt, wenn man zwei Rechtecke an der anderen Seite aneinanderlegt, dass sich die Fläche verdoppelt (siehe das Bild)

d.h. die Formel der Flächenbestimmung muss für jede Seite multiplikativ sein. Eben das Produkt der Seitenlängen. Wir bezeichnen Rechtecke daher als "gute" Mengen.

• Die endliche disjunkte Vereinigung von (sich nicht überschneidenden, aber durchaus sich berührenden) Rechtecken (siehe das Bild)

durch Überlappung verringert sich das Volumen

soll eine "gute" Menge sein und ihre Fläche soll dann die Summe der Flächen der einzelnen Rechtecke sein

${\text{Fläche }}\left(\biguplus _{i=1}^{n}{\text{Rechteck}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\text{Fläche (Rechteck}}_{i})$

Dabei bietet sich eine besondere Schreibweise für disjunkte Vereinigungen an:

$\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}:=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$

$\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}:=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$

• Ist die Vereinigung nicht disjunkt, so müssen wir sie disjunkt machen. Denn die Fläche zweier sich schneidender Mengen ist anschaulich kleiner als die Summe der Flächen der Einzelmengen (siehe das Bild):

Zwei sich überlappende Rechtecke

• Endliche Vereinigungen von Rechtecken lassen sich besonders leicht disjunkt machen, man erhält erneut endlich viele disjunkte Rechtecke.

Vereinigung ist als disjunkte Vereinigung darstellbar

• Man kann ein Rechteck aus einem anderen herausschneiden $A\backslash B$ und erhält eine Vereinigung von 0-4 disjunkten kleineren Rechtecken. Deren einzelne Fläche kennt man wieder und addiert sie auf zur Gesamtfläche.

• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 3 kleine disjunkte Rechtecke
• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 4 kleine disjunkte Rechtecke

• Bei der Differenz und Vereinigung endlich vieler disjunkter Rechtecke entstehen wieder endlich viele disjunkte Rechtecke.

To-Do:

einfaches Bild auch dafür

• Insgesamt sollte man also das mathematische Objekt der disjunkten endlichen Vereinigungen von Rechtecken betrachten, da dieses unter den relevanten Mengenoperationen Vereinigung und Differenz erhalten bleibt. Dort kennen wir die Fläche dann. Das folgende Bild sollte man sich dabei immer als Anschauung nehmen:

das große Ziel: Die Länge oder Fläche "guter" Mengen bestimmen

• Überdecke im Eindimensionalen eine beliebige Menge zur Längenbestimmung "minimal" mit Intervallen, da deren Länge bekannt ist. Da Punkte die Länge Null haben und deren überabzählbare Summe nicht definiert oder Null ist, kann man nicht sinnvoll mit Einpunktmengen überdecken.

• Im Zweidimensionalen überdecke "minimal" mit Rechtecken und addiere deren Einzelflächen auf.

• Auf den Rechtecken und ihren endlichen disjunkten Vereinigungen haben wir eine klare Vorstellung vom Volumen. Jetzt wollen wir z.B. auch krummlinig berandete Flächen wie Kreise bestimmen. Es stellt sich heraus, dass wir allen "guten" Mengen eine eindeutige "gute" Fläche zuordnen können, die wir aus den Rechtecken konstruieren können durch "mehrfache" Komplementbildung oder abzählbare Vereinigung. Das sagt uns der Maßerweiterungssatz, auf den wir nun hinarbeiten.

• Die Flächenfunktion soll jetzt auch verallgemeinert werden von den disjunkten Rechtecken zu den gerade beschriebenen Vereinigungen und Komplementen der "guten" Mengen. Wir fordern die abzählbare Additivität bei abzählbaren Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen. D.h. wird eine Menge $A$ aus abzählbar vielen "guten" Mengen $A_{i}$ disjunkt zusammengesetzt, so soll ihre Fläche Summe der Flächen der Einzelteile $A_{i}$ sein, in mathematischer Schreibweise:

${\text{Fläche }}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\text{Fläche }}(A_{i})$

• Naheliegend für die Flächenbestimmung einer beliebigen Menge im $\mathbb {R} ^{2}$ ist

1. die minimale Überdeckung mit endlich vielen Rechtecken. Man wählt zunehmend kleinere Rechtecke und verfeinert die Näherung schrittweise. Als Grenzwert erhält man den "genauen" Wert der Fläche.
2. das Ausfüllen mit endlich vielen disjunkten Rechtecken. Man wählt zunehmend kleinere Rechtecke und verfeinert die Näherung schrittweise. Als Grenzwert erhält man den "genauen" Wert der Fläche.
3. die "minimale" Überdeckung mit abzählbar unendlich vielen Rechtecken. Wir wählen dabei nur abzählbar viele Rechtecke zur Überdeckung, weil die Summe nur für abzählbar viele Elemente definiert ist.
4. das Ausfüllen mit abzählbar unendlich vielen disjunkten Rechtecken. Wir wählen dabei nur abzählbar viele Rechtecke zum Ausfüllen, weil die Summe nur für abzählbar viele Elemente definiert ist.

Die dritte Variante ist unsere Option. Es gibt auch eine Ausfüllung von innen, die wir hier jedoch nicht betrachten wollen.

• Warum keine Kreise oder Anderes nehmen zum Überdecken? Weil man mit Kreisen so schwierig überdecken kann, weil sie nicht aneinanderpassen, sondern so viele Lücken hinterlassen. Sie erfüllen nicht die Eigenschaft, dass bei Vereinigung und Differenz wieder dasselbe mathematische Objekt entsteht. Warum soll man sich damit rumärgern, wenn man mit Rechtecken doch zum Ziel kommt?

• Man könnte versuchen die "guten" Mengen darzustellen als abzählbare disjunkte Vereinigung von Rechtecken, aber dafür sind die "guten" Mengen zu "kompliziert" aus den Rechtecken konstruiert, da man den Prozess der abzählbaren Vereinigung und Komplementbildung ggf. unendlich oft wiederholen muss, um das ganze Mengensystem der "guten" Mengen zu erhalten. Wir gehen daher einen Umweg im Maßerweiterungssatz und erhalten tatsächlich eine eindeutige Fortsetzung des Flächenbegriffes auf die "guten" Mengen.

kleine Schritte: abzählbar additive Flächen-Funktionen auf den Rechtecken

Nun müssen wir uns schrittweise die mathematischen Methoden erarbeiten, um sie aufeinander aufzubauen: Wird ein Rechteck $A$ aus abzählbar vielen Rechtecken $A_{n}$ zusammengesetzt, so soll die Fläche von $A$ gleich der abzählbaren Summe der Flächen der Rechtecke $A_{n}$ sein:

${\text{Fläche }}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }Rechteck_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\text{Fläche }}(Rechteck_{i})$

Das ist scheinbar selbstverständlich, muss aber explizit gefordert werden oder bewiesen werden. Unsere Flächenfunktion auf den Rechtecken erfüllt das, was wir beweisen.

kleine Schritte: Grenzwerte von Mengen und Stetigkeit der Flächenfunktion

Endliche Additivität ist naheliegend, unter welchen Bedingungen liegt jedoch Sigma-Additivität vor? Wir zeigen, dass Sigma-Additivität (fast) gleich bedeutend ist zur Stetigkeit von oben oder von unten von der Flächenfunktion.

Dazu müssen wir den Grenzwert von Mengenfolgen betrachten (wenn er existiert):

Die Folge der Mengen $\left(\left[0,1+{\frac {1}{n}}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ wird immer kleiner (wir sagen, sie ist monoton fallend) und hat den Grenzwert

$[0,1]=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left[0,1+{\frac {1}{n}}\right)$

Die Folge der Mengen $\left(\left[0,1-{\frac {1}{n}}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ wird immer größer (wir sagen sie ist monoton steigend) und hat den Grenzwert

$[0,1)=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[0,1-{\frac {1}{n}}\right)$

d.h. die $1$ ist nicht mehr dabei, da sie in allen Mengen nicht enthalten ist, aber jede Zahl nahe und kleiner gleich $1$ wird ab einem $n_{0}$ überdeckt durch $\left[0,1-{\frac {1}{n_{0}}}\right)$ und alle späteren Intervalle.

"Grenzwerte" von Mengenfolgen sind also etwa Naheliegendes: Wenn die Menge $A_{i}$ jeweils in der Menge $A_{i+1}$ ineinander enthalten sind, nähern sie sich ihrer Vereinigung an. Enthält umgekehrt die Menge $A_{i}$ die Menge $A_{i+1}$, so nähern sie sich dem Durchschnitt an.

Die Flächenfunktion heißt stetig von unten: Für endliche disjunkte Vereinigungen von Rechtecken $A_{n}$, die von unten (monoton steigend) gegen eine endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken gehen, gilt

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\text{Fläche }}(A_{n})={\text{Fläche }}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)$

Die Flächenfunktion heißt stetig von oben: Für endliche disjunkte Vereinigungen von Rechtecken $A_{n}$, die von oben (monoton fallend) gegen eine endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken gehen, gilt

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\text{Fläche }}(A_{n})={\text{Fläche }}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)$

Die Flächenfunktion heißt stetig in der leeren Menge: Für endliche disjunkte Vereinigungen von Rechtecken $A_{n}$, die von oben (monoton fallend) gegen die leere Menge gehen, gilt

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\text{Fläche }}(A_{n})={\text{Fläche }}\left(\emptyset \right)$=0

Diese Eigenschaft benötigen wir im Kapitel des Maßfortsetungssatzes.

kleine Schritte: Eigenschaften des Systems der "guten" Mengen

Auf den Rechtecken und ihren endlichen disjunkten Vereinigungen haben wir eine klare Vorstellung von ihrer Fläche. Es stellt sich heraus, dass wir allen "guten" Mengen $S$ eine eindeutige "gute" Fläche zuordnen können, die wir aus den Rechtecken konstruieren können durch "mehrfache" Komplementbildung oder abzählbare Vereinigung:

1. Die Grundmenge ist in $S$: $W\in S$
2. Komplemente sind wieder in $S$: Aus $A\in S$ folgt $A^{C}\in S$
3. Abzählbare Vereinigungen sind wieder in $S$:

Aus $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\in S$ folgt $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in S$

Das sagt uns der Maßerweiterungssatz. Die "guten" Mengen sind dabei abhängig vom angestrebten Maß: Ist das Maß anspruchsvoll, gibt es weniger "gute" Mengen, denen es eine Fläche zuordnen kann (z.B. das Lebesguemaß). Ist das Maß sehr einfach, z.B. das Einpunktmaß, so kann es allen Mengen ein Volumen zuordnen.

kleine Schritte: das Lebesguemaß

Das Lebesguemaß soll nun unsere Flächenfunktion verallgemeinern: es soll nicht nur endlichen disjunkten Vereinigungen von Rechtecken eine Fläche zuordnen, sondern den "guten" Mengen. Es hat nur zwei Eignehscfaten:

${\begin{aligned}{\text{Fläche }}(\emptyset )=&0\\{\text{Fläche }}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=&\sum _{i=1}^{\infty }({\text{Fläche }}A_{i})\end{aligned}}$

endlich: der Maßfortsetzungssatz

Jetzt suchen wir die Fortsetzung der Flächenfunktion von den endlichen Vereinigungen disjunkter Rechtecke auf die "guten" Mengen. Dazu konstruieren wir uns ein äußeres Maß auf allen Teilmengen von $\mathbb {R} ^{p}$ als minimale Überdeckung mit abzählbar vielen Elementen aus dem Ring, in mathematischer Schreibweise

$m^{\ast }:Pot(W)\rightarrow [0,\infty ],Q\mapsto \inf \left\{\sum _{n=1}^{\infty }m(A_{n})\ |\ A_{n}\in R,Q\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right\}$

Je feiner die überdeckenden Rechtecke werden und je weniger sich die überdeckenden Rechtecke überschneiden, umso besser wird die Näherung sein, wie man an folgenden Überdeckungen eines Fünfecks sieht.

• 
  Grobe Überdeckung des Fünfecks mit Rechtecken
• 
  Feine Überdeckung des Fünfecks mit Rechtecken

Drei Eigenschaften des äußeren Maßes sind

1. Das äußere Maß der leeren Menge ist Null: $m^{\ast }(\emptyset )=0$
2. Das äußere Maß ist monoton: Für $Q_{1}\subset Q_{2}$ gilt $m^{\ast }(Q_{1})\leq m^{\ast }(Q_{2})$
3. Das äußere Maß einer abzählbaren Vereinigung ist kleiner gleich der Summe der äußeren Maße der Einzelmengen: $m^{\ast }\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }Q_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }m^{\ast }(Q_{n})$

Erstaunlicherweise wird dieses äußere Maß zu einer "allgemeinen" Flächenfunktion auf den Teilmengen, die alle Teilmengen von $\mathbb {R} ^{p}$ bzgl. dem äußeren Maß additiv aufteilen, diese Teilmengen bilden die "allgemein guten" Mengen $S^{\ast }$.

Für die Konstruktion der "allgemein guten" Mengen müssen wir das äußere Maß $m^{\ast }$ und die "allgemein guten" Mengen $S^{\ast }$ aufeinander abstimmen:

$m^{\ast }$ soll mindestens additiv werden für Elemente aus den "allgemein guten" Mengen $S^{\ast }$. Eine Forderung wäre z.B. "Betrachte für $S^{\ast }$ nur Elemente $A,B$ aus $W$, für die gilt"

$m^{\ast }(A\uplus B)=m^{\ast }(A)+m^{\ast }(B)$

Das ist fast richtig. Wir wollen noch das Komplement einbringen. Damit mit $A$ auch das Komplement von $A$ in $S^{\ast }$ ist, muss die Beziehung symmetrisch in $A$ und $A^{C}$ sein. Dazu verwenden wir, dass sich jede beliebige Menge $Q\in W$ disjunkt aufteilen lässt gemäß

$Q=(Q\cap A)\uplus (Q\cap A^{C})$

Wegen $(A^{C})^{C}=A$ ist die Forderung symmetrisch in $A$ und $A^{C}$

$Q=(Q\cap (A^{C})^{C})\uplus (Q\cap A^{C})$

Jetzt haben wir disjunkte Mengen und lassen die gewünschte Additivität von $m^{\ast }$ einfließen, indem wir Elemente in $S^{\ast }$ zulassen, für die für alle $Q\in W$gilt:

$m^{\ast }(Q)=m^{\ast }(Q\cap A)+m^{\ast }(Q\cap A^{C})$

Das ist schon alles. Wir rechnen nach: Die Mengen $A$, die bezüglich $m^{\ast }$ alle anderen Mengen $Q\subset W$ additiv aufteilen, bilden ein System der "allgemein guten" Mengen und auf diesen lebt eine verallgemienrte Flächenfunktion. Allein die Wahl von $S^{\ast }$ und die Konstruktion des äußeren Maßes $m^{\ast }$ bedingt das.

Die Additivität der Flächenfunktion auf den Rechtecken und die Eigenschaften der endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken gehen noch nicht ein. Das rechnen wir im zweiten Teil nach: die "guten" Menge sind in den "allgemein guten" Mengen enthalten!

Im dritten Teil zeigen wir, dass die erzeugte Flächenfunktion auf $S^{\ast }$ für die endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken dasselbe Ergebnis liefert, d.h. wir haben tatsächlich eine Fortsetzung erhalten. Das mussten wir prüfen, denn es hätten ja auch ganz andere Werte herauskommen können. Erst in diesem Beweisschritt geht ein, dass für ein aus abzählbar vielen Rechtecken zusammengesetzte endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken gefordert wurde

${\text{Fläche }}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }Rechteck_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\text{Fläche }}(Rechteck_{i})$

Eindeutigkeit der Maßfortsetzung

Die Eindeutigkeit lässt sich beweisen, da sich $\mathbb {R} ^{p},p\geq 1$ mit abzählbar vielen Mengen endlichen Maßes ausschöpfen lässt. Man benötigt im Beweis die Endlichkeit des Maßes für die Zugehörigkeit des Komplementes zu den "guten" Mengen. Dann kann man das eigentliche Maß als Grenzwert von endlichen Maßen definieren. Damit ist das angekündigte eindeutige Lebesguemaß gefunden. Dieses lebt sogar auf den "allgemein guten" Mengen.

Teilmengen von Lebesgue-Nullmengen sind auch "allgemein gute" Mengen

Wieviel mehr Mengen sind die "allgemein guten" Mengen nun? Hat eine "gute" Menge das Maß Null, so sind alle ihre Teilmengen auch "allgemein gute" Mengen. Das Lebesguemaß ordnet ihnen einfach die Fläche Null zu, egal wie wild diese Teilmengen konstruiert sind. Beachte: dabei geht die Eigenschaft des Maßes (Null) ein, sinnvoll überdecken mit Rechtecken lassen sich diese Mengen ggf. nicht.

Messbare Abbildungen

Seien $(W_{1},S_{1}),(W_{2},S_{2})$ gegeben. Wir nennen eine Abbildung $f:W_{1}\rightarrow W_{2}$ messbar, wenn sie zwischen den $S_{i}$ vermittelt, d.h. $f^{-1}$ "gute" auf "gute" Mengen abbildet

$\forall A\in S_{2}:f^{-1}(A)\in S_{1}$

und schreiben dann

$f:(W_{1},S_{1})\rightarrow (W_{2},S_{2})$

Gibt es nun genügend interessante messbare Abbildungen? Ja. Stetige Abbildungen sind messbar, die Identität:$id:(W,S)\rightarrow (W,S)$, die konstanten Abbildungen und z.B. für $A\in S$ die Indikatorfunktionen

$1_{A}:(W,S)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} ),x\mapsto {\begin{cases}1&{\text{für }}x\in A\\0&{\text{für }}x\in A^{C}\\\end{cases}}$

sind alle messbar.

Im Bild die Indikatorfunktion zu $A=(0,5\ ,\ 1\rbrack \cup (2\ ,\ 4\rbrack ]\cup (4,5\ ,\ 5\rbrack$

Wie bei den stetigen Funktionen in der Analysis I sind auch die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient messbarer Funktionen soweit definiert messbar, zudem das Supremum, das Infimum, der Limes superior, der Limes inferior und - wenn existent - der Limes einer Folge messbarer Funktionen.

Am meisten interessiert uns, was wir aus der Indikatorfunktion machen können.

Wir betrachten die Menge der primitiven Funktionen, d.h. der nichtnegativen (!) Linearkombinationen von Indikatorfunktionen

$P:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}(w):0\leq a_{i}<\infty ,A_{i}\in S,n\in \mathbb {N} ,\sum _{i=1}^{n}A_{i}=W\right\}$

Wir beweisen dann den entscheidenden Satz, dass sich jede nicht-negative messbare Funktion als (monoton steigende) Folge von primitiven Funktionen darstellen lässt. Das hilft uns entscheidend für den

Konstruktionsweg des Integrals

Wir gelangen naheliegend zum Integralbegriff: Wir schreiben im Folgenden ${\displaystyle }$m für die eindeutige Fortsetzung $m^{\ast }$.

Das Integral der Indikatorfunktion $1_{A}$ definieren wir als einzig plausiblen Wert als

$\int 1_{A}dm:=m(A)$

Das Integral der Treppenfunktionen $\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}$ definieren wir plausibel als nicht-negative Linearkombination

$\int \sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}dm:=\sum _{i=1}^{n}a_{i}m(A_{i})$

Die nächste entscheidende Definition ist die des Integrals einer positiven messbaren Funktion $f$. Wir hatten gesehen, dass eine Folge $u_{n}$ von Treppenfunktionen existiert, die monoton steigend gegen $f$ geht. Jetzt definieren wir das Integral von $f$ als Grenzwert von Integralen der $u_{n}$

$\int fdm:=\lim _{n\rightarrow \infty }\int u_{n}dm$

und zeigen, dass diese Definition unabhängig von der gewählten Folge der $u_{n}$ ist. Damit ist die Definition eindeutig.

Dieses Integral ist additiv, positive Faktoren $c\geq 0$ kann man herausziehen und es ist monoton, d.h. es gilt

${\begin{aligned}\int (u+v)dm&=\int udm+\int vdm\\\int cudm&=c\int udm\\u\leq v\Rightarrow \int udm&\leq \int vdm\end{aligned}}$

Wir erhalten den ersten entscheidenden Satz für die Anwendung, die Vertauschung von Integral und Grenzwert unter sehr allgemeinen Bedingungen:

Satz von der monotonen Konvergenz: Es gilt für eine monoton steigende Folge nicht-negativer messbarer Funktionen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm=\int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm$

Wir definieren dann integrierbare Funktion als jene messbaren Funktionen, bei denen das Integral des positiven Teiles von f und des negativen Teiles von f jeweils endlich sind. Das Integral wird dann naheliegend definiert als Differenz beider Teile

$\int fdm:=\int f^{+}dm-\int f^{-}dm$

Wir zeigen dann, dass es linear und monoton ist

${\begin{aligned}\int (f+g)dm&=\int fdm+\int gdm\\\int cfdm&=c\int fdm\\f\leq g\Rightarrow \int fdm&\leq \int gdm\end{aligned}}$

und gelangen zum wichtigen

Satz von der majorisierten Konvergenz: Bei einer Folge messbarer Funktionen $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, die punktweise einen Grenzwert hat und für die alle $f_{n}$ nach oben und unten beschränkt sind durch ein integrierbares $g$ (Majorante), lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm=\int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm$

Ausblick

Die Maß- und Integrationstheorie benötigen wir in der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie, in der Statistik und Finanzmathematik, in der Funktionalanalysis und für die partiellen Differentialgleichungen